高中函数专题复习doc.docx
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高中函数专题复习doc
函数专题复习
知识要点:
1,函数的定义
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合八屮的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
A-B为从集合A到集合B的一个函数,记作:
y=f(x),xeAo
其小,x叫做白变量,x的取值范围A叫做函数的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)xGA}叫做函数的值域(range)0
注意:
1“y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”;
2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值,一个数,而不是f乘x.例,判断下列函数f(x)Mg(x)是否表示同一个函数,说明理由?
(1)f(x)=(x—1)°;g(x)=1;
(2)f(x)=x;g(x)=
(3)f(x)=x2;f(x)=(x+l)2;(4)f(x)=|x|;g(x)=辰
2,构成函数的三要素
定义域、对应关系和值域
3,区间的概念
(1)区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间;
(2)无穷区间;
4,映射的定义
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都冇唯一确定的元素y与Z对应,那么就称对应f:
ATr为从集合A到集合B的一个映射,记作“f:
ATb”
说明:
(1)这两个集合冇先后顺序,A到B的射与B到A的映射是截然不同的.其中f表示具体的对应法则;
(2)“都有唯一”什么意思?
包含两层意思:
一是必有一个;二是只有一个,也就是说有H.只有一个的意思。
例题:
下列哪些对应是从集合A到集合B的映射?
(1)A={P|P是数轴上的点},B二R,对应关系f:
数轴上的点与它所代表的实数对应;
(2)A={P|P是平面直角体系中的点},B={(x,y)|xER,yeR},对应关系f:
平面直角体系中的点与它的坐标对应;
(3)A={三角形},B={x|x是圆},对应关系f:
每一个三角形都对应它的内切圆;
(4)A={x|x是新华中学的班级},B={x|x是新华中学的学生},对应关系f:
每一个班级都对应班里的学生。
注:
函数是一种特殊的映射!
即非空数集间的映射。
5,函数的表示方法
(1)解析法:
必须注明两数的定义域;
(2)图彖法:
是否连线;
(3)列表法:
选取的自变虽要冇代表性,应能反映定义域的特征。
6,函数定义域的求法
法则:
A,分式的分母不能为0;B,偶次方根根号下不能为负;
C,对数的真数部分必须大于0,如果对数函数的底数中也含冇自变量,则底数大于0且不等于1;
D,指数函数的底数大于0且不等于1;
E,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,他们本身对定义域的限制;
F,由有限函数的四则运算得到的函数的,其定义域为这冇限个函数的定义域的交集;
G,由实际问题建立的隊I数,具定义域受具休条件限制。
例1,解不等式10g2[l+丄]V1
\兀一1丿
7,函数值域的求法
(1)配方法
例,求/(x)=22x+,-2x+24-3的值域。
(2)换元法
例,同上例
(3)判別式法
例,求函数沪肘的值域。
(4)利用均值不等式
X
例,求函数y=-f—的值域
yjX~\
(5)反函数法
r2_1
例1,求函数)U—的值域
F+1
例2,求函数y=(2x+2)2的值域
8,函数表达式的求法
(1)待定系数法:
在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。
例设/(兀)是一次函数,fi/[/(x)]=4x+3,求/(兀)
(2)配凑法:
已知复合函数/[§(%)]的表达式,求/(兀)的解析式,f[gM]的表达式容易配成g(x)的运算形式时,常用配凑法。
但要注意所求函数/(x)的定义域不是原复合函数的定义域,而是g(x)的值域。
例已知/(x+-)=x2+-^(x>0),求/(兀)的解析式
XX
(3)换元法:
已知复合函数的表达式时,还可以用换元法求/(兀)的解析式。
与配凑法一样,耍注意所换元的定义域的变化。
例已知/(J7+1)=兀+2伍,求/(%+1)
(4)代入法:
求已知函数关丁某点或者某条直线的对称函数时,般用代入法。
例已知:
函数y=x2+x与y=g(x)的图象关于点(-2,3)对称,求g(x)的解析式
(5)构造方程组法:
若已知的函数关系较为抽象简约,则町以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式。
例设/(兀)满足/a)—2/(b=兀,求/(兀)
例设/(兀)为偶函数,g(兀)为奇函数,又/(兀)+g(兀)试求/(兀)和g(%)的解析式X-}
(6)赋值法:
当题屮所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式。
例已知:
/(0)=1,对于任意实数x、y,等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y-^l)恒成立,
求f(x)o
(7)递推法:
若题屮所给条件含有某种递进关系,则町以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。
例设/(X)是定义在川+上的函数,满足/
(1)=1,对任意的自然数都冇
/(a)+/(b)=f(a+b)-ab,求/(x)
典型例题:
I,已知函数y=f(x)的定义域是[0,1],求函数g(兀)=/*(兀+。
)+于(兀-的定义域。
2,己知函数y=空二!
•的值域是{y|y<0}u{y|y>3},求此函数的定义域。
x-l
3'函数尸忌尸的定义域是
4,己知a〉0且gl,若关于兀的方nlog.(x-3)-log,(x+2)-log,(x-1)=1有实根,求d的取值范围。
5,对于定义域为实数集R的函数/(对二一一@为常数),回答下而问题。
X1
(1)若/
(1)=—,贝iJq=;
(2)若函数的值域为{y|-4 =? 6,已知/(3兀+1)=4兀+3,求/(兀)° 7,已知/(兀)为一次函数且/[/(x)]=4x-3,求/(x)o 10,/(兀)表示兀+1与x2-1—者中的较大者,求/(兀)的表达式。 11,求函数y二2兀一3—丁13—4兀的值域。 5()r 12,设丿=旦罕(兀>0),求函数的最大值。 1+JT 13, /(X)表示兀+1与兀2_1二者中的较大者,求/(兀)的表达式。 函数的单调性与奇偶性 知识要点 1,增函数 一般地,设函数y二f(x)的定义域为I, 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个口变量X],X2,当x, 思考: 仿照增函数的定义说出减函数的定义。 注意: ①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ©必须是对于区间D内的任意两个自变量Xj,X2;当Xj 2,函数的单调性定义 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间: 3,判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤: ①任取X[,x2^D,.n.X| ®作差f(Xi)-f(x2); ®变形(通常是因式分解和配方); ④定号(即判断差f(xj—f(X2)的正负); ®下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). 4,单调性的运算法则 A,设C为常数,A是函数/(兀)的一•个单调区间,贝I」 当C>0时,0*(%)与/(对在A上单调性相同; 当CvO时,Cf(x)与/(x)在A上单调性相反。 B,A是函数/(兀)的一个单调区间,且在A上/(兀)H0,则丿匚与/(兀)的单调性相反。 f(x) C,若于(对与g(x)在区间A上恒为正且均为递增函数则/(x)q? (x)在A上也单调递增 D,复合函数的单调性: 设y二f(u)上=鸭(兀)且当代人时底B则复合函数的单调性/(0(兀))的单调性表示为: 若)=f(u),u=y/(x)单调性相同,则歹=/(0(兀))为单 调增函数,否则为减函数。 5,偶函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(—x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. 仿照偶函数的定义给出奋函数的定义 注意: a,函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;b,由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任 意一个X,则一X也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。 c,/(X)若既是奇函数又是偶函数,则/(x)=0,反过来,不一定成立。 如/(x)=0(-l<%<2)就不是。 6,具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关丁•原点对称。 典型例题 1,讨论函数在区间(-1,1)的单调性。 3,若不等式x2+or+l>0对一切xg(0,1]成立,求a的最小值。 且x>0吋, 4,已知十(兀)的定义域为R,且对任意的兀,y都有/(x+y)=/(x)/(y), /(x)>1o求证: 函数y=/(x)在R上单调递增。 x2,(x>1) 5, 已知分段函数/(兀)=|兀,(-1S51),判断它的奇偶性。 _北~,(兀v_1) 7,定义在R上的偶函数/(x)满足: 对任意的xpx26(-8,0](兀|工兀2),有 (兀2—兀|)./*(兀2)_•广(兀1)]>0,则当nwN*,比较/(-/? ),/(,? +! )的大小。 8,已知/(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(―,0)±是单调递增函数,若 (2/+a+1)v/(3/_2a+1),求实数g的取值范围。 2x 9,己知/(%)=—^(氏/? ),讨论函数/(兀)的性质,并作出图像。 1H"X
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