成都市5年理科数学零诊试题及答案.docx
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成都市5年理科数学零诊试题及答案
成都市2013级高中毕业班摸底测试
数学试题参考答案(理科)
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
1.A;
2.D;
3.C;
4.D;
5.A;
6.B;
7.C;
8.C;
9.A;
10.B;
1.D;
12.D.
一、选择题:
(每小题5分,共60分)
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:
(每小题5分,共20分)
1;;
43;
(,)
13.
2
14.30
15.
9
16.285.
三、解答题:
(共70分)
17.(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,
∴AO⊥BC,∴AO⊥OB′,AO⊥OC..............................................................................4分
又∵OB′∩OC=O,∴AO⊥平面B′OC.........................................................................6分
(Ⅱ)由三视图知,直线OB′,OA,OC两两垂直,且OC=OB′=1,OA=3,建立如图所示空间直角坐标系O-xyz.
则A(3,0,0),C(0,1,0),B′(0,0,1).
∴AC→=(-3,1,0),AB′=(-3,0,1).
{
设平面AB′C的法向量为m=(x,y,z).
则m·AC→=0,即{-3x+y=0可取m=(1,3,3).……9分
m·AB′=0-3x+z=0.
又n=(1,0,0)为平面B′OC的法向量,
∴cos〈m,n〉=m·n119
|m|n|1×1919
∴二面角A-B′C-O的余弦值为19.
19
…………12分
18.(本小题满分12分)
π
解:
(Ⅰ)f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+3).…………2分
由-π+2kπ≤x+π≤π+2kπ,得5ππ+2kπ,k∈Z.
232
-6+2kπ≤x≤6
5π
∴f(x)的单调递增区间为[
kπ+2kπ]k∈Z.
…………6分
-+2π,66
π
22π2
(Ⅱ)g(x)=[f(x)]-2=4sin(x+3)-2=-2[1-2sinx+3)].
2π
…………8分
=-2cos2x+).
3
高三数学(理科)摸底测试参考答案第1页(共4页)
π2π2π7π
∵x∈[0,],∴2x+∈[,].
4336
(2π1
∴cos2x+)∈[-1,-].
32
∴1函≤数g(x()≤)2的.值....域....是....[.....,....].............................................................................................1分
gx12
(
12分
19.本小题满分12分)
∴第3,4,5组共有60名志愿者
解:
(Ⅰ)第3组的人数为0.3×10=30,第4组的人数为0.2×10=20,第5组的人数为0.1×10=10.
.
:
∴用分层抽样的方法在这3组志愿者中抽取6名志愿者每组抽取的人数分别为
302010
第3组:
×6=3;第4组:
×6=2;第5组:
×6=1.
606060
∴应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人.........................................................6分
(Ⅱ)记第3组的3名志愿者分别为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者分别为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者的可能情况有:
(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),
(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),
(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),
(共B有1,B2)种,不(同B1的,C结1果),(B2,C1),…………分
15.
9
,:
其中第3组的3名志愿者A1A2A3都没有被抽中的可能情况有
(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),
共有3种不同的结果.
34
∴第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为1-=
12分
155........................................
20.(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)由题意,知动点P(x,y)到定点E(-1,0),F(1,0)的距离之和等于4(大于|EF|),
∴动点P的轨迹是以(-1,0),(1,0)为焦点,长轴长为4的椭圆.
∴a=2,c=1,b2=3.
曲线
x2y2
∴G的标准方程为4
()
+3=1...............................................4分
Ⅱ设直线2l的2方程为y=k(x-1)(k≠0).
xy
代入+3=1,得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.
显然△4>0.设A(x1,y),B(x,y).
8k2
122
4
则x1+x2=2
k-12............................................................................
()4k,x1x2=42k+36分
)
i由题意,知
C(x1
+3
-y1.
∴直线BC的方程为
y2+y1
)
y=x-x1-y1.
x2-x1
y1(x2-x1)
y1x2+y2x1
2x1x2-x1+x2)
令y=0,则xN=+x1==
y2+y1y2+y1x1+x2-2
4k2-128k2
2·2-2
4k+34k+3
=8k2
2-2
=4.
4k+3
高三数学(理科)摸底测试参考答案第2页(共4页)
∴直线BC恒过定点N,且定点N的坐标为(4,0).......................................................9分
(i)由(i),可知N(4,0),F(1,0).
2
13
∴△ABN的面积可表示为S=
|FN|y2-y1|=
|k(x2-x1)|.2
338k2
4k2-12
∴S=
k2[(x1+x2)2-4x1x2]=
k2[(
)2-4·].
2
=18k2·
k2+14k2+3)2
24k2+34k2+3
设4k2+3=t,则t>3.
tt
92-2-39
∴S==
1
-3(
14
+)2+.
2t22t33
令u=1,则0
t
∵函数y=-3(u+
3
14
)2+
1
在(0,
)内单调递减,∴y∈(0,1).
333
9
故△ABN的面积S的取值范围是(0,
2
)....................................................................12分
21.(本小题满分12分)
1
解:
(Ⅰ)∵f(x)=ax2+1nx,∴f′(x)=+2ax.
x
令φ(x)=1+2ax,则φ′(x)=-1+2a.
xx2
由题意,知φ′1,,
2
经检验,a=2符合题意.
∴实数a的值为2.....................................................................3分
(Ⅱ)方程f(x)-g(x)+m=0恰有两个不相等的实数根,即m=g(x)-f(x)在x∈12内恰
24分
有两个不相等的实数根.1.......................
2
令u(x)=g(x)-f(x),则u(x)=3x-x2-1nx,x∈[
2].
∴u′(x)=3-2x-1=-(2x-1)(x-1)
xx.
由u′(x)>0,得1 2 1 ∴函数u(x)在[,1]内单调递增,在[1,2]内单调递减. 2 ∴u(x)在x处有极大值u (1)=2. 又u1 =1 5,() …………5分 24 易知实数m的取值范围是 5 [+1n2,2).4 …………7分 1 (Ⅲ)h(x)=()32(2( fx-x-b+1x=1nx+x-b+1x. 22 1x2-(b+1x+1 ∴h′(x)=+x-(b+1)=.x 高三数学(理科)摸底测试参考答案第3页(共4页) 由题意,知x1,x2是方程x2-(b+1)x+1=0的两个实数根,且x2>x1>0. ∴△>0.x1+x2=b+1,x1x2=1. h(x1)-h(x2) ∵kAB= x-x12 r x1-x2<0, ∴kAB≤ 恒成立等价于h(x1)-h(x2)≥r恒成立, 即x-x1 r≤[h(x1)-h(x2)]min. 2 11…………10分 由h(x1)-h(x2)=1nx1-1nx2+ x2- x2-(b+1)(x1-x2) 1 x11 x1212 x11x1x2 =1n -(x2-x2)=1n- (x2-x2)=1n -(-). xx22x1x2 设=t(0 x22x2x1 1(t-1). x2(x+x)2132t 又∵(b+1)2=12=t++2,b≥, 13x1x225t12 ∴t++2≥(+1)2=.∴t≤ 或t≥4. t1244 ∴0 ()4 -1(-1),0 设νt=1nt2tt4 1 则ν′(t)= 11 -(1+)= -(t-1)2 . t2t22t2 ∵0 ()在(, 4 ]内单调递减 115 ()() 15 ∴νtmin=ν4=8-21n2即r≤8-21n2. ∴实数r 15 ......................................................................................12 的最大值为 2.(本小题满分10分) -21n2分 8 解: (Ⅰ)曲线C的普通方程为x2=2ay,直线l的普通方程为x-y+2=0. 1 …………4分 (Ⅱ)将直线l的参数表达式代入抛物线方程,得 t2-(42+2a)t+4a+16=0. 2 ∴t1+t2=82+22a,t1t2=8a+32...........................................................................6分 ∴|PM|=|t1|,|MN|=|t1-t2|,|PN|=|t2|........................................................8分 ∵|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,则|MN|2=|PM|PN|. 即|t1-t2|2=|t1t2|.则(t1+t2)2=5t1t2. 将t1+t2=82+22a,t1t2=8a+32代入,化简,得(a+4)(a-1)=0. ∵a>0,∴a=1.…………10分 高三数学(理科)摸底测试参考答案第4页(共4页) 成都市2015级高中毕业班摸底测试 数学(理科)参考答案及评分意见 第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题: (每小题5分,共60分) 1.B;2.A;3.C;4.C;5.A;6.C; 7.B;8.C;9.D;10.D;1.D;12.B. 第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题: (每小题5分,共20分) 13.-2;14.2; 1 15. 1 ; 16.. 三、解答题: (共70分) 5202 17.解: (Ⅰ)∵f(x)=x3+ax2+bx+a2, ∴f′(x)=3x2+2ax+b.1分 ∵f(1)=1+a+b+a2=4,f′(1)=3+2a+b=0,4分 a=-2 {a=3,或{.5分 b=-9b=1 经检验符合题意.6分 (Ⅱ)∵a>0,由(Ⅰ),得f(x)=x3+3x2-9x+9. ∴f′(x)=3x2+6x-9.8分 ∴f(-2)=31,f′(-2)=-9.10分 ∴所求切线方程为9x+y-13=0.12分 18.解: (Ⅰ)由题意,可得x=7,y=3.2分 55∧ 2 5 1 xyi-i5 i=14分 xiyi=10x=25b=5=. i=1 ∧ i=1 ∧∧1 x-2522 i=1 6分 ∵a=y-bx ∴a=-. 2 ∧117分 ∴所求线性回归方程为y=x-. 22 高三数学(理科)摸底测试参考答案第1页(共4页) (Ⅱ)根据列表,设1号至5号小白鼠依次为a1,a2,a3,a4,a5.则在这5只小白鼠中随机抽取3只的抽取情况有a1a2a3,a1a2a4,a1a2a5,a1a3a4,a1a3a5,a1a4a5, a2a3a4,a2a3a5,a2a4a5,a3a4a5,共10种.9分随机抽取 的3只小白鼠中至少有一只B项指标数据高于3的情况有a1a2a4,a1a2a 5,a1a3a4,a1a3a5,a1a4a5,a2a3a4,a2a3a5,a2a4a5,a3a4a5,共9种. 11分 ∴在这5只小白鼠中随机抽取3只,其中至少有一只B项指标数据高于3的概 9 率为.12分 10 19.解: (Ⅰ)∵平面ACC1A1⊥平面ABC,平面ACC1A1∩平面ABC=AC, AB⊂平面ABC,AB⊥AC, ∴AB⊥平面ACC1A1. ∵CD⊂平面ACC1A1, ∴AB⊥CD.2分 ∵A1C=CA,D是AA1的中点, ∴A1A⊥CD.4分 ∵A1A∩AB=A, ∴CD⊥平面ABB1A1.5分 (Ⅱ)以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴, AC所在直线为y轴,过点A作垂直于平面 ABC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 易知C(0,2,0),A1(0,2,2),B(2,0,0),B1(2,2,2),C1(0,4,2). →→, ∵3EB1=BB1 (,23,23 ∴E22-2-). 33 则→(,,),→(,23,23)分 A1C1=020A1E=2--.7 33 ⎧ 设平面A1C1E的法向量为n1=(x1,y1,z1).A1C1n1=0⎪y1=0 y1=0 ⎪ A1En1=0⎪⎩2x1-3y1-3z1=0z1=3x1 高三数学(理科)摸底测试参考答案第2页(共4页) 令x1=1,则平面A1C1E的一个法向量为n1=(1,0, 3).平面A1C1A的一个法向量为n2=(1,0,0). 9分 10分 n1n2 ∵cos<nn>= =1, 11分 12 12 易知二面角E-A1C1-A的平面角为锐角, π ∴二面角E-A1C1-A的大小为 .12分 3 20.解: (Ⅰ)设C(x,y). 由题意,可得yy=-2(x≠±1).x-1x+1 y2 ∴曲线E的方程为x2+=1(x≠±1).3分(没有 2 注明取值范围扣1分) (Ⅱ)设R(x1,y1),Q(x2,y2). ⎪⎧⎪y=kx+2 联立⎨ y2消去y,可得(2+k2)x2+4kx+2=0. x2+=12 ∵Δ=8k2-16>0,∴k2>2. 又∵0<k<2,∴2<k<2.5分且x1+x 4k 2=- 2,① 2+k x1x2= 2 2.②6分 →2+k → 点 ∵PQ=λPR R在点P 和点Q 之间, ∴x2=λx1(λ>1).③7分 联立①②③式,可得 (1+λ)2 = 8k2 .9分 8k28 λ2+k2 16 ∵= 2+k22 ∈(4,), 3 k2+1 (1+λ)216 ∴4<<. λ3 3∴1<λ<3,且λ≠1.1分 ∵λ>1,∴实数λ的取值范围为(1,3).12分 高三数学(理科)摸底测试参考答案第3页(共4页) 21.解: ()′()1-a-1nxx>0). Ⅰfx=x2 由f′(x)=0,得x=e1-a.1分 当0<x<e1-a时,f′(x)>0.此时函数f(x)单调递增;当x>e1-a时,f′(x)<0.此时函数f(x)单调递减. ∴函数f(x)的单调递增区间是(0,e1-a),单调递减区间是(e1-a,+∞).3分 (Ⅱ)当a=1时,由(Ⅰ),可知f(x)≤f(e1-a)=1.4分 ∴原不等式等价于5+(x-k)ex+k>0当x∈(0,+∞)时恒成立, ∵当x∈(0,+∞)时,ex-1>0, 即原不等式等价于x+x+5>k对x∈(0,+∞)时恒成立.6分 ex-1 ()x+5 ex(ex-x-6) () 设hx=x+x.则h′x=(x)2.7分 e-1e-1 令F(x)=ex-x-6.则F′(x)=ex-1.当x∈(0,+∞)时,F′(x)>0. ∴函数F(x)=ex-x-6在(0,+∞)上单调递增. 而F(2)=e2-8<0,F(3)=e3-9>0. ∴F(2)F(3)<0. ∴存在唯一的x0∈(2,3),使得F(x0)=0,即ex0=x0+6.9分当x∈ (0,x0)时,F(x)<0,h′(x)<0.∴函数h(x)单调递减; 当x∈(x0,+∞)时,F(x)>0,h′(x)>0.∴函数h(x)单调递增. ∴当x=x0时,函数h(x)有极小值(即最小值)h(x0). ()x0+5 (,)分又 ∵hx0=x0+x =x0+1∈34.11k< h(x0),k∈Z, e0-1 ∴k的最大整数值是3.12分 2.解: (Ⅰ)易得直线l的普通方程为3x-y-3=0,2分曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+(y+1)2=2.5分 (Ⅱ)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程,得 t2+3t-1=0.7分 此方程的两根为直线l与曲线C的交点M,N对应的参数tM,tN. ∵tM+tN=-3,tMtN=-1, ∴MN=tM-tN=(tM+tN)2-4tMtN=7.10分 高三数学(理科)摸底测试参考答案第4页(共4页)
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