辽宁省东北育才实验中学大连八中鞍山一中等学年高二下学期期末联考数学理试题.docx
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辽宁省东北育才实验中学大连八中鞍山一中等学年高二下学期期末联考数学理试题
辽宁省东北育才、实验中学、大连八中、鞍山一中等2020-2021学年高二下学期期末联考数学(理)试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.设
是虚数单位,复数
为实数,则实数
的值为()
A.1B.2C.
D.
2.在
的展开式中
的系数是()
A.40B.80C.20D.10
3.已知x,y的取值如下表示:
若y与x线性相关,且
,则a=()
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
A.2.2B.2.6C.2.8D.2.9
4.用反证法证明命题“若
则
全为0(
)”其反设正确的是()
A.
至少有一个为0B.
至少有一个不为0
C.
全不为0D.
中只有一个为0
5.已知函数
图象如图,
是
的导函数,则下列数值排序正确的是()
A.
B.
C.
D.
6.定积分
()
A.
B.
C.
D.
7.2021年5月31日晚,大连市某重点高中举行一年一度的毕业季灯光表演.学生会共安排6名高一学生到学校会议室遮挡4个窗户,要求两端两个窗户各安排1名学生,中间两个窗户各安排两名学生,不同的安排方案共有()
A.720B.360C.270D.180
8.设
是虚数单位,则
的值为()
A.
B.
C.
D.
9.已知盒中装有大小形状完全相同的3个红球、2个白球、5个黑球.甲每次从中任取一球且不放回,则在他第一次拿到的是红球的前提下,第二次拿到白球的概率为()
A.
B.
C.
D.
10.在一次数学单元测验中,甲、乙、丙、丁四名考生只有一名获得了满分.这四名考生的对话如下,甲:
我没考满分;乙:
丙考了满分;丙:
丁考了满分;丁:
我没考满分.其中只有一名考生说的是真话,则考得满分的考生是()
A.甲B.乙C.丙D.丁
11.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是
A.72B.120C.144D.168
12.已知
,且
,
.若关于
的方程
有三个不等的实数根
,
,
,且
,其中
,
为自然对数的底数,则
的值为()
A.
B.
C.1D.
二、填空题
13.若随机变量
,且
,则
______.
14.《聊斋志异》中有这样一首诗:
“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:
,
,
,则按照以上规律,若
具有“穿墙术”,则
______.
15.设
则
________.
三、双空题
16.设直线
与曲线
:
的三个交点分别
,
,
,其中
.则实数
的取值范围是______;
的值为______.
四、解答题
17.甲乙两个学校高三年级分别有1100人,1000人,为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区一模考试的数学成绩情况,采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩,并作出了频数分布统计表如下:
(1)计算
,
的值;
(2)若规定考试成绩在
为优秀,请根据样本估计乙校数学成绩的优秀率;
(3)若规定考试成绩在
内为优秀,由以上统计数据填写下面
列联表,若按是否优秀来判断,是否有
的把握认为两个学校的数学成绩有差异.
附:
,
.
18.已知函数
,
.
(1)若
恒成立,试求实数
的取值范围;
(2)若函数
的图像在点
处的切线为直线
,试求实数
的值.
19.近来国内一些互联网公司为了赢得更大的利润、提升员工的奋斗姿态,要求员工实行“996”工作制,即工作日早9点上班,晚上21点下班,中午和傍晚最多休息1小时,总计工作10小时以上,并且一周工作6天的工作制度,工作期间还不能请假,也没有任何补贴和加班费.消息一出,社交媒体一片哗然,有的人认为这是违反《劳动法》的一种对员工的压榨行为,有的人认为只有付出超越别人的努力和时间,才能够实现想要的成功,这是提升员工价值的一种有效方式.对此,国内某大型企业集团管理者认为应当在公司内部实行“996”工作制,但应该给予一定的加班补贴(单位:
百元),对于每月的补贴数额集团人力资源管理部门随机抽取了集团内部的1000名员工进行了补贴数额(单位:
百元)期望值的网上问卷调查,并把所得数据列成如下所示的频数分布表:
(1)求所得样本的中位数(精确到百元);
(2)根据样本数据,可近似地认为员工的加班补贴
服从正态分布
,若该集团共有员工40000人,试估计有多少员工期待加班补贴在8100元以上;
(3)已知样本数据中期望补贴数额在
范围内的8名员工中有5名男性,3名女性,现选其中3名员工进行消费调查,记选出的女职员人数为
,求
的分布列和数学期望.
附:
若
,则
,
,
.
20.若数列
的前
项和为
,且
,
.
(1)求
,
,
;
(2)猜想数列
的通项公式,并用数学归纳法加以证明.
21.已知
,函数
.
(1)讨论函数
的单调性;
(2)若
,且
在
时有极大值点
,求证:
.
22.在平面直角坐标系
中,直线l的参数方程为
(t为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,点P是曲线
上的动点,点Q在OP的延长线上,且
,点Q的轨迹为
.
(1)求直线l及曲线
的极坐标方程;
(2)若射线
与直线l交于点M,与曲线
交于点
(与原点不重合),求
的最大值.
23.已知函数
.
(Ⅰ)当
时,
恒成立,试求实数
的取值范围;
(Ⅱ)若
的解集包含
,求实数
的取值范围.
参考答案
1.C
【分析】
由复数代数形式的乘除运算化简,再由虚部为0可得答案.
【详解】
解:
,
复数
为实数,可得
,
,
故选:
C.
【点睛】
本题主要考查复数代数形式的乘除运算法则,属于基础题,注意运算准确.
2.A
【分析】
把
按照二项式定理展开,可得
的展开式中
的系数.
【详解】
解:
由
的展开式中,
,令
,可得
,
可得
的展开式中
的系数是:
,
故选:
A.
【点睛】
本题主要考查二项式展开式及二项式系数的性质,属于基础题型.
3.B
【分析】
求出
,代入回归方程可求得
.
【详解】
由题意
,
,
所以
,
.
故选:
B.
【点睛】
本题考查回归直线方程,掌握回归直线方程的性质是解题关键.回归直线一定过中心点
.
4.B
【分析】
根据反设的定义直接判断即可.
【详解】
“
全为0(
)”的反设为“
不全为0(
)”即“
至少有一个不为0”.
故选:
B
【点睛】
本题主要考查了反证法中的反设问题,其中“全为”的反面为“不全为”或“至少有一个不”.属于基础题.
5.C
【解析】
结合函数的图像可知过点
的切线的倾斜角最大,过点
的切线的倾斜角最小,又因为点
的切线的斜率
,点
的切线斜率
,直线
的斜率
,故
,应选答案C.
点睛:
本题旨在考查导数的几何意义与函数的单调性等基础知识的综合运用.求解时充分借助题设中所提供的函数图形的直观,数形结合进行解答.先将经过两切点
的直线绕点
逆时针旋转到与函数的图像相切,再将经过两切点的直线绕点
顺时针旋转到与函数的图像相切,这个过程很容易发现
,从而将问题化为直观图形的问题来求解.
6.A
【分析】
先根据定积分的几何意义计算定积分,即求被积函数
与
,
所围成的图形的面积,在求出
,可得答案.
【详解】
解:
由定积分的几何意义可知
是由曲线
与
,
所围成的图形的面积,也就是单位圆的
,故
,
,
故
,
故选:
A.
【点睛】
本题主要考查定积分的有关计算,属于基础题,注意运算准确.
7.D
【分析】
由题意分两步进行,第一步为在6名学生中任选2名安排在两端两个窗户,可得方案数量,第二步为将剩余的6名学生平均分成2组,全排列后安排到剩下的2个窗户,两者方案数相乘可得答案.
【详解】
解:
根据题意,分两步进行:
①在6名学生中任选2名安排在两端两个窗户,有
中情况;
②将剩余的6名学生平均分成2组,全排列后安排到剩下的2个窗户,有
种情况,
则一共有
种不同的安排方案,
故选:
D.
【点睛】
本题主要考查排列、组合及简单的计数问题,相对不难,注意运算准确.
8.B
【分析】
利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.
【详解】
解:
设
可得:
,
则
,
,
可得:
,
可得:
,
故选:
B.
【点睛】
本题主要考查等比数列的求和公式,错位相减法、及复数的乘除法运算,属于中档题.
9.D
【分析】
设“第一次拿到的是红球”为事件A,“第二次拿到白球”为事件B,分别计算出
,
的值,由条件概率公式可得
,可得答案.
【详解】
解:
设“第一次拿到的是红球”为事件A,“第二次拿到白球”为事件B,
可得:
,
则所求事件的概率为:
故选:
D.
【点睛】
本题主要考查条件概率与独立事件的计算,属于条件概率的计算公式是解题的关键.
10.A
【分析】
分析四人说的话,由丙、丁两人一定是一真一假,分丙为真与丁为真进行推理判断可得答案.
【详解】
解:
分析四人说的话,由丙、丁两人一定是一真一假,若丙是真话,则甲也是真话,矛盾;若丁是真话,此时甲、乙、丙都是假话,甲考了满分,
故选:
A.
【点睛】
本题主要考查合理推理与演绎推理,由丙、丁两人一定是一真一假进行讨论是解题的关键.
11.B
【解析】
分两类,一类是歌舞类用两个隔开共
种,第二类是歌舞类用三个隔开共
种,所以N=
+
=120.种.选B.
12.C
【分析】
求出
,可得
,若关于
的方程
有三个不等的实数根
,
,
,令
,即
,易知此方程最多有两根,所以
,
,
必有两个相等,画出
的图像,可得
,根据图像必有
,可得
,
,可得答案.
【详解】
解:
由
,可得
,设
,
可得:
,可得
,由
,可得
,
,
可得
,
若关于
的方程
有三个不等的实数根
,
,
,
令
,且
,
,
则有
,易知此方程最多有两根,所以
,
,
必有两个相等,
由
,易得
在
上单调递增,此时
;
在
,此时
,其大致图像如图所示,
可得
,根据图像必有
,
又
为
的两根,即为
的两根
即
又
,故
,
,
故
.
【点睛】
本题主要考查微分方程,函数模型的实际应用及导数研究函数的性质等,综合性大,属于难题.
13.4
【分析】
由随机变量
,且
,可得
的值,计算出
可得
的值.
【详解】
解:
由随机变量
,且
,可得
,
,
,
.
故答案为:
4.
【点睛】
本题主要考查离散型随机变量的期望与方差,熟悉二项分布的期望和方差的性质是解题的关键.
14.24
【分析】
观察所告诉的式子,找出其中的规律,可得n的值.
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