北京十三中期中.docx
- 文档编号:755680
- 上传时间:2022-10-12
- 格式:DOCX
- 页数:19
- 大小:108.59KB
北京十三中期中.docx
《北京十三中期中.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《北京十三中期中.docx(19页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
北京十三中期中
2016北京十三中高三(上)期中
数学(理)
一、选择题
1.(5分)设集合A={x|(x+1)(x﹣2)<0},集合B={x|1<x<3},则A∪B=( )
A.{x|﹣1<x<3}B.{x|﹣1<x<1}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x<3}
2.(5分)设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
3.(5分)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成6组:
[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )
A.588B.480C.450D.120
4.(5分)设A,B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点,则|AB|=( )
A.1B.
C.
D.2
5.(5分)设函数f(x)=ln(1+x)+ln(1﹣x),则f(x)是( )
A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数
C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数
6.(5分)已知函数f(x)=
,且f(α)=﹣3,则f(6﹣α)=( )
A.﹣
B.﹣
C.﹣
D.﹣
7.(5分)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( )
A.12种B.10种C.9种D.8种
8.(5分)某地区在六年内第x年的生产总值y(单位:
亿元)与x之间的关系如图所示,则下列四个时段中,生产总值的年平均增长率最高的是( )
A.第一年到第三年B.第二年到第四年
C.第三年到第五年D.第四年到第六年
二、填空题
9.(5分)在(2x﹣1)8的展开式中,含x2的项的系数是 (用数字填写答案)
10.(5分)若x,y满足约束条件
,则z=3x+y的最大值为 .
11.(5分)已知双曲线C:
﹣
=1(a>0,b>0)的一个焦点是抛物线y2=8x的焦点,且双曲线C的离心率为2,那么双曲线C的方程为 ;渐近线方程是 .
12.(5分)直线l1:
ax+2y﹣1=0与直线l2:
x+(a+1)y﹣1=0平行,则a= .
13.(5分)在平面直角坐标系xy中,O是坐标原点,设函数f(x)=k(x﹣2)+3的图象为直线l,且l与x轴、y轴分别交于A、B两点,给出下列四个命题:
①使△AOB的面积s=6的直线l仅有一条;
②使△AOB的面积s=8的直线l仅有两条;
③使△AOB的面积s=12的直线l仅有三条;
④使△AOB的面积s=20的直线l仅有四条.
其中所有真命题的序号是 .
14.(5分)设点M(x0,1),若在圆O:
x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是 .
三、解答题
15.(13分)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;
(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?
16.(13分)某中学在高三年级开设大学先修课程(线性代数),共有50名同学选修,其中男同学30名,女同学20名.为了对这门课程的数学效果进行评估,学校按性别分别采用分成抽样的方法抽取5人进行考核.
(1)求抽取的5人中男、女同学的人数;
(2)考核的第一轮是答辩,顺序由已抽取的甲、乙等5位同学按抽签方式决定.设甲、乙两位同学间隔的人数为X,X的分布列为
X
3
2
1
0
P
b
a
求数学期望EX;
(3)考核的第二轮是笔试:
5位同学的笔试成绩分别为115,122,105,111,109;结合第一轮的答辩情况,他们的考核成绩分别为125,132,115,121,119.这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s12,s22,试比较s12与s22的大小.(只需写出结论)
17.(13分)在平面直角坐标系xOy中,过点C(0,p)作直线l与抛物线x2=2py(p>0)相交于A,B两点,N点是C点关于原点O的对称点,点P(2,m)是抛物线上一点,F点是抛物线的焦点,|PF|=2.
(1)求抛物线的方程;
(2)求证:
∠ANC=∠BNC.
18.(14分)已知f(x)=﹣
+x﹣ln(1+x),其中a>0.
(Ⅰ)若函数f(x)在点(3,f(3))处切线斜率为0,求a的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若f(x)在[0,+∞)上的最大值是0,求a的取值范围.
19.(13分)已知函数f(x)=ex﹣2x.
(1)求函数f(x)的极值;
(2)证明:
当x>0时,曲线y=x2恒在曲线y=ex的下方;
(3)讨论函数g(x)=x2﹣aex(a∈R)零点的个数.
参考公式:
alogaN=N(a>0,a≠1,N>0)
20.(14分)设F1(﹣c,0),F2(c,0)分别为椭圆E:
+
=1的左、右焦点.
(1)若椭圆的离心率是
,求椭圆的方程,并写出m的取值范围;
(2)设P(x0,y0)为椭圆E上一点,且在第一象限内,直线F2P与y轴相交于点Q,若以PQ为直径的圆经过点F1,证明:
点P在直线x+y﹣2=0上.
数学试题答案
一、选择题
1.【解答】∵集合A={x|(x+1)(x﹣2)<0},集合B={x|1<x<3},
∴集合A={x|﹣1<x<2},
∵A∪B={x|﹣1<x<3},
故选:
A
2.【解答】若log2a>log2b>0,则a>b>1,
故“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的充要条件,
故选:
A.
3.【解答】根据频率分布直方图,
成绩不低于60(分)的频率为1﹣10×(0.005+0.015)=0.8.
由于该校高一年级共有学生600人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级模块测试成绩不低于60(分)的人数为600×0.8=480人.
故选B.
4.【解答】由圆x2+y2=1,得到圆心坐标为(0,0),半径r=1,
∵圆心(0,0)在直线y=x上,
∴弦AB为圆O的直径,
则|AB|=2r=2.
故选D
5.【解答】∵函数f(x)=ln(1+x)+ln(1﹣x)=ln[(1+x)(1﹣x)],x∈(﹣1,1);
∴f(﹣x)=ln[(1﹣x)(1+x)]=f(x),
∴f(x)是(﹣1,1)上的偶函数;
又f(x)=ln[(1+x)(1﹣x)]=ln(1﹣x2),
当x∈(0,1)时,二次函数t=1﹣x2是减函数,
所以函数f(x)=ln(1﹣x2)也是减函数.
故选:
D.
6.【解答】由题意,α≤1时,2α﹣1﹣2=﹣3,无解;
α>1时,﹣log2(α+1)=﹣3,∴α=7,
∴f(6﹣α)=f(﹣1)=2﹣1﹣1﹣2=﹣
.
故选:
A.
7.【解答】第一步,为甲地选一名老师,有
=2种选法;
第二步,为甲地选两个学生,有
=6种选法;
第三步,为乙地选1名教师和2名学生,有1种选法
故不同的安排方案共有2×6×1=12种
故选A
8.【解答】由于年平均增长率为
,其中,△y是产值的增加值,y0表示“原来”的产值,
由所给的图象可得,△y最大的是第一年到第三年,第4年到第6年,
且第一年到第三年的△y等于第4年到第6年的△y,
但第一年的产值y0较小,生产总值的年平均增长率最高的是第一年到第三年,
故选:
A.
二、填空题
9.【解答】(2x﹣1)8的展开式中,通项公式Tr+1=
(2x)8﹣r(﹣1)r=(﹣1)r28﹣r
x8﹣r,
令8﹣r=2,解得r=6.
∴含x2的项的系数是
=112.
故答案为:
112.
10.【解答】作出不等式对应的平面区域如图,
由z=3x+y,得y=﹣3x+z,
平移直线y=﹣3x+z,由图象可知当直线y=﹣3x+z,经过点A时,
直线y=﹣3x+z的截距最大,
此时z最大.
由
得
,即A(1,1),
此时z的最大值为z=3×1+1=4,
故答案为:
4
11.【解答】抛物线的焦点为(2,0);
∴c=2;
∴根据双曲线的离心率为2得:
;
∴a=1,b2=3;
∴双曲线C的方程为
;
∴其渐近线方程为y=
.
故答案为:
,
.
12.【解答】∵直线l1:
ax+2y﹣1=0与直线l2:
x+(a+1)y﹣1=0平行,
∴
,
解得a=﹣2,
故答案为:
﹣2.
13.【解答】由已知条件:
函数f(x)=k(x﹣2)+3的图象为直线l,且l与x轴、y轴分别交于A、B两点,作出图形:
可知k≠0.
由图可知:
S△OAB=
=
.
①当s=6时,则
,解得
,故符合条件的直线l有两条,故①不正确;
②当s=8时,由8=
,解得
,故符合条件的直线l有两条,故②正确;
③当s=12时,由12=
,解得
,
,故符合条件的直线仅有3条,故③正确;
④当s=20时,由20=
,解的
,k=
,故符合条件的直线l共有四条,故④正确.
综上可知:
正确的命题为②③④.
故答案为②③④.
14.【解答】由题意画出图形如图:
点M(x0,1),
要使圆O:
x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,
则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N,使得∠OMN=45°,
而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值,
此时MN=1,
图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1,
∴x0的取值范围是[﹣1,1].
三、解答题
15.【解答】
(1)从统计表可得,在这1000名顾客中,同时购买乙和丙的有200人,
故顾客同时购买乙和丙的概率为
=0.2.
(2)在这1000名顾客中,在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300(人),
故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为
=0.3.
(3)在这1000名顾客中,同时购买甲和乙的概率为
=0.2,
同时购买甲和丙的概率为
=0.6,
同时购买甲和丁的概率为
=0.1,
故同时购买甲和丙的概率最大.
16.【解答】
(1)由分层抽样的性质得:
抽取的5人中男同学的人数为
×30=3,
女同学的人数为
×20=2.
(2)由题意可得:
P(X=0)=
=
.
即a=
,
因为a+b+
+
=1,
所以b=
.
所以EX=3×
+2×
+1×
+0×
=1.
(3)
=
.
17.【解答】
(1)解:
由题意,m+
=2,4=2pm,
∴p=2,
∴抛物线的方程为x2=4y;
(2)证明:
设直线方程为y=kx+2,代入抛物线方程得x2﹣4kx﹣8=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=﹣8,
∴kAN+kBN=
+
=
=2k+
=0,
∴∠ANC=∠
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 北京 十三 中期