因式分解难题举例.docx
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因式分解难题举例
因式分解难题举例
一、巧用公式法
1、分解因式:
a3+b3+c3-3abc.
解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc
=[(a+b)3+c3]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)[(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca).
说明公式a3+b3+c3-3ab=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abcc是一个应用极广的公式,用它可以推出很多有用的结论,例如:
我们将公式其变形为 a3+b3+c3-3abc
显然,当a+b+c=0时,则a3+b3+c3=3abc;当a+b+c>0时,则a3+b3+c3-3abc≥0,即a3+b3+c3≥3abc,而且,当且仅当a=b=c时,等号成立.
如果令x=a3≥0,y=b3≥0,z=c3≥0,则有
等号成立的充要条件是x=y=z.这也是一个常用的结论.
2、分解因式:
x15+x14+x13+…+x2+x+1.
分析这个多项式的特点是:
有16项,从最高次项x15开始,x的次数顺次递减至0,由此想到应用公式an-bn来分解.
解因为
x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1),
所以
二、拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.
例4分解因式:
x3-9x+8.
分析本题解法很多,这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法,注意一下拆项、添项的目的与技巧.
解法1将常数项8拆成-1+9.
原式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8).
解法2将一次项-9x拆成-x-8x.
原式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8).
解法3将三次项x3拆成9x3-8x3.
原式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8).
解法4添加两项-x2+x2.
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8).
例5分解因式:
(1)x9+x6+x3-3;
(2)(m2-1)(n2-1)+4mn;
(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4;
(4)a3b-ab3+a2+b2+1.
练习设置
1.若a+b=3,a2b+ab2=-30,则a3+b3的值是()
(A)117(B)133(C)-90(D)143
2.已知
,那么
等于_____________
3.把代数式
分解成因式的乘积,应当是。
4.
5.分解因式
三、换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰.
例1分解因式:
(x2+x+1)(x2+x+2)-12.
例2分解因式:
(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90.
例3分解因式:
(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2.
解设x2+4x+8=y,则
原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)
=(x2+6x+8)(x2+5x+8)
=(x+2)(x+4)(x2+5x+8).
说明由本题可知,用换元法分解因式时,不必将原式中的元都用新元代换,根据题目需要,引入必要的新元,原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式.
例4分解因式:
6x4+7x3-36x2-7x+6.
解法1原式=6(x4+1)+7x(x2-1)-36x2
=6[(x4-2x2+1)+2x2]+7x(x2-1)-36x2
=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2
=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2
=[2(x2-1)-3x][3(x2-1)+8x]
=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)
=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3).
说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体,但并没有设立新元来代替它,即熟练使用换元法后,并非每题都要设置新元来代替整体.
解法2
原式=x2[6(t2+2)+7t-36]
=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)
=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]
=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)
=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3).
例5分解因式:
(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2).
分析本题含有两个字母,且当互换这两个字母的位置时,多项式保持不变,这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式,经常令u=x+y,v=xy,用换元法分解因式.
解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy].令x+y=u,xy=v,则
原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)
=u4-6u2v+9v2
=(u2-3v)2
=(x2+2xy+y2-3xy)2
=(x2-xy+y2)2.
四、双十字相乘法
分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式.
例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式按x降幂排列,并把y当作常数,于是上式可变形为
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),
可以看作是关于x的二次三项式.
对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为
即
-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1).
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以
原式=[x+(2y-3)][2x+(-11y+1)]
=(x+2y-3)(2x-11y+1).
上述因式分解的过程,实施了两次十字相乘法.如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,可得到下图:
它表示的是下面三个关系式:
(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2;
(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3;
(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3.
这就是所谓的双十字相乘法.
用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是:
(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列);
(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx.
例6分解因式:
(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2;
(2)x2-y2+5x+3y+4;
(3)xy+y2+x-y-2;
(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2.
解
(3)原式中缺x2项,可把这一项的系数看成0来分解.
原式=(y+1)(x+y-2).
(4)
原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).
说明(4)中有三个字母,解法仍与前面的类似.
1.当m=
时,二元二次六项式
可以分解为两个关于x,y的二元一次三项式的乘积。
2.分解因式:
3.分解因式:
4.分解因式:
五、求根法我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号表示,如
f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…,
当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x)
f
(1)=12-3×1+2=0;
f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12.
若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根.
例1分解因式:
x3-4x2+6x-4.
例2分解因式:
9x4-3x3+7x2-3x-2.
六、待定系数法
待定系数法是数学中的一种重要的解题方法,应用很广泛,这里介绍它在因式分解中的应用.
在因式分解时,一些多项式经过分析,可以断定它能分解成某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未确定,这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等,或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程(或方程组),解出待定字母系数的值,这种因式分解的方法叫作待定系数法.
例3分解因式:
x2+3xy+2y2+4x+5y+3.
例4分解因式:
x4-2x3-27x2-44x+7.
练习
(1)
一、选择题
1.下列四个从左到右的变形中,是因式分解的是()。
(A)(x+1)(x-1)=x2-1(B)(a-b)(m-n)=(b-a)(n-m)
(C)ab-a-b+1=(a-1)(b-1)(D)m2-2m-3=m(m-2-
)
2.x=0,y=-4,是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解,这个方程的不同的整数解共有()组。
(A)2(B)6(C)12(D)16
3.当x=6,y=8时,
的值是()
(A)1200000-254000(B)1020000-250400
(C)1200000-250400(D)1020000-254000
4.把多项式x2-y2-2x-4y-3因此分解之和,正确的结果是()。
(A)(x+y+3)(x-y-1)(B)(x+y-1)(x-y+3)(C)(x+y-3)(x-y+1)(D)(x+y+1)(x-y-3)
5.已知a3+a2+a+1=0,那么a2008+2a2000+5a1996的值是( )。
(A)8 (B)4 (C)6 (D)16
6.将多项式
分解成因式的积,结果是()。
(A)
(B)
(C)
(D)
二、填空题
1.已知两数的和为12,此两数的立方和为108,那么这两个数的平方和是______。
2.已知3x2+4x-7=0,则6x4+11x3-7x2-3x-7=______。
3.分解因式:
x3+2x2y+2xy2+y3=__________。
4.已知
,那么
。
5.多项式18a3-8ab2+27a2c-12b2c分解因式积的形式是__________。
6.分解因式:
的结果是。
7.分解因式:
(a+b-2x)3-(a-x)3-(b-x)3的结果等于_______
三、解答题
1.分解因式:
x2y2+xy-x2-y2+x+y+2
2.分解因式
3.计算
练习
(2)
一、选择题
1.已知多项式x2+mx-12能分解成两个整系数的一次因式的积,则符合条件的整数m的个数是()
(A)3(B)4(C)5(D)6
2.在方程组
中,x、y、z是互不相等的整数,那么此方
程组的解的组数为()。
(A)6(B)3(C)多于6(D)少于3
3.如果x、y都是小于100的自然数,则满足x2-1992=y2的数组(x,y)共有( )组。
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
4.下列给出5个恒等变形式:
①
②
③
④
⑤
其中属于因式分解的()。
(A)都是(B)仅②、③、⑤
(C)仅③、④、⑤(D)仅③、④
二、填空题
1..因式分解:
______________.
2.分解因式:
=______。
3.因式分解:
(a+b-2ab)(a+b-2)+(1-ab)2=___________
4.已知
,那么
______________
5.因式分解:
__________。
6.若x,y均是自然数,且x2=y2+1997,则x=_________
7.将
分解因式,其结果是____________
三、解答题
1.因式分解
2.分解因式:
练习(3)
一、选择题
1.如果(x-4)(x-a)-1能够等于乘积(x+m)(x+n)(m,n均为整数),那么a的值等于()。
(A)2(B)4(C)6(D)8
2.若x,y均为自然数,且x2=y2+1993.则x的值是()
(A)994(B)995(C)996(D)997
二、填空题
3.已知(x+2y-1)是二元二次式3x2+axy+by2+x+9y-4的一个因式,则a=______,b=_______。
4.若
,则
。
5.分解因式:
2x2-5xy-3y2+3x+5y-2=__________________
6.因式分解:
x4+2x2-x+2__________。
7.已知x2+2x+5是x4+ax2+b的因式,那么a+b的值是_________。
8.若(x-a)(x-b)-k中含有因式x+b,则k=____________
三、解答题
1.分解因式
2.分解因式
3.因式分解
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