数学运算配套练习.docx
- 文档编号:7549434
- 上传时间:2023-01-24
- 格式:DOCX
- 页数:99
- 大小:299.15KB
数学运算配套练习.docx
《数学运算配套练习.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学运算配套练习.docx(99页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
数学运算配套练习
公务员考试辅导交流教材
子任最新版-数学运算部分
作者:
子任时间:
2011-1-10
一、数学运算常用数理基础知识介绍与应用
1、数理特点介绍与应用。
数理知识看起来很简单,常常都是大家知晓的,但是在考试的过程中常常会忽视它们的应用价值。
因此,在这个部分我们将从小学到初中的所有基础性数理知识进行一次相对全面的应用性介绍。
(1)常见数值的特征应用
0是我们最常见的数字,是一个占位符,算不得一个个位数,因此最小的个位数实则是1,而非零。
零乘以任何数都为零,反过来可以这样认为零可以包含任意自然数做为因子。
零不能做除数或者分母,否则无意义,同样零也不能同时做指数和底数,即0^0是没有意义的。
零是最小的自然数,这一点大家务必要纠正过来,因为在我们这个年龄阶段的人所学课本上的知识时零是不作为自然数的。
1是最小的个位数也是最小的奇数,且1也是所有非零自然数的最小约数,1也是既不是合数也是质数.1也是所有非0数的0次方的结果。
1和0相对,0表示趋向无穷小。
1可表示代替整体。
趋向最大。
因此通常概率中取值的范围就在0~1之间。
0和1在使用过程中,通常有这样几种特点:
a.“代入法”中采用率最高数值
代入法做一些题目的时侯,我们通常会选择一些便于口算的数值代入已知条件验证,然后通过这些代入的特殊数值对结果进行简单口算。
而在我们代入法通常所选择的数值当中0,1,2,3四个数字最常见,其中1是使用频率最高的数值。
下面我们通过几个例题来说一说如何在代入法中使用1.
例题1:
已知:
=
=
,且a≠b≠c,求x+y+z=()
A.-1B.1C.0D.2
【解析】参考答案C。
令等号左右的三个表达式均等于0,则说明分子也是0,即x=y=z=0即答案就是0。
或令等号左右三个表达式均等于1,则说明x=a-b,y=b-c,z=c-a,那么x+y+z=a-b+b-c+c-a=0,相互抵销了。
例题2:
已知x-y=1,则x^3-3xy-y^3=()【09江苏】
A.1B.2C.3D.5
【解析】参考答案A。
根据已知条件x-y=1,我们可以假设x=1,y=0代入。
这样要求计算的表达式就为1-0-0=1.在选择代入数值的时侯,往往0便于简化运算过程,此题过程中的后2项就基本因为0的关系忽略不计了。
例题3:
已知a+b+c=2(
+
+
),则a^2+b^2+c^2=()【09江苏】
A.14B.15C.3D.1
【解析】参考答案A。
此题根据所表现的特点,我们应该选择特值代入法,如何选择特殊值呢,看要能完整开放且又满足表达式的。
可令三个根号部分等于0或1,在这里我们判断用1准确,即当a=1,b=2,c=3时,其三个根号部分均等于1,因此是满足前面的表达式的。
故而答案为:
1^2+2^2+3^2=14。
b.单位“1”的概念应用
单位“1”的概念是相对于分数或百分数而言,也就是说单位1的应用价值在于取代设立未知数而转化为用一个临时特殊值“1”代替。
比如说:
甲占乙的1/4(或25%),我们就可以把乙看作是单位“1”是相对于1/4而言。
例题4:
妹妹和弟弟3人做一堆花,姐姐做5朵,妹妹做4朵,姐姐做的占这堆花的5/11.弟弟做了多少朵?
分析:
此题我们我们就是参照5/11做为研究,那么我们就可以假设这堆花数量为单位“1”。
姐姐即为5/11,那么弟弟和妹妹就占1-5/11=6/11,姐姐做了5朵,对应5/11即一个1/11是1朵花。
因此妹妹和弟弟合计是6朵。
弟弟即为2朵。
例题5:
某人沿电车线路行走,每12分钟有一辆电车从后面追上,每4分钟有一辆电车迎面而来.2个起点站的发车间隔时间相同,那么这个时间间隔是多少?
分析:
这个题目我们看不到分数或者百分数,但是我们可以根据题目的提问特点来假设,如此题要求的是发车时间间隔是多少。
则必须知道发车间隔距离,发车速度。
这里我们可以任意假设单位“1”.因为题干中没有明确的距离数值和速度数值。
假设发车间隔距离为单位“1”则根据追击需要12分钟可知速度差=距离差÷时间:
v车-v人=1÷12,同理相遇需要4分钟可知速度和=距离和÷时间:
v车+v人=1÷4。
这2个表达式相加就可以抵销v人的速度得到我们想要的汽车的速度了。
即2v车=1÷12+1÷4,v车=1÷6,距离假设的是1,则发车间隔时间为1÷(1÷6)=6分钟了。
假设发车速度为单位“1”。
则根据可建立2个表达式分别为
4(1+v人)=12(1-v人)得到V人=0.5因此发车间隔距离就是4×1.5=6或12×(1-0.5)=6.因此发车间隔时间=6÷1=6.
当然单位“1”的应用还在资料分析当中使用到。
例题6:
全国2007年认定登记的技术合同共计220868项,同比增长7%;总成交金额2226亿元,同比增长22.44%;平均每项技术合同成交金额突破百万元大关,达到100.78万元。
2007年平均每项技术合同成交金额同比增长率为多少()
A.8.15%B.14.43%C.25.05%D.35.25%
【子任分析】参考答案B。
2007年的每项技术合同成交金额同比增长率=2007年每项技术合同成交金额÷2006年每项技术合同成交金额-1.题目已经给出了2007年的数据,但是没有2006年的。
如果我们根据现有的数据来计算,那显然是增加计算量的。
就算估算水平再高,方法不合理,不能解决做题速度的根本问题。
平均每项成交金额=当年总额÷当年合同量;我们完全可以利用2006年的情况做为参照单位”1“。
也就是说2006年的总额和合同量均可以假设为1.这样2006年平均成交金额即为1÷1=1.那么2007年平均成交金额=1×(1+22.44%)÷1×(1+7%),当然这里有一个小的估算技巧,在数学篇章中就不赘述了。
答案接近22.44%-7%=15.44%
2是最小的质数,在质数序列中2是一个特例,只有2是唯一的偶数质数,2的次方也是考察应用的侧重点。
3也是质数,3在公考过程中通常考察整除特性。
即能被3整除的数必须具备各个数字之和能被3整除,如:
119能否被3整除,就要看1+1+9=11,11不能被3整除那么119就不能,同时11除以3余数是2,则119除以3余数也是2.
2和3之间的关系也是在次方上转换比较明显的问题当一个自然数拆分成若干个2的乘积和拆分成若干个3的乘积。
这就是一个分水岭。
如:
12=2+2+2+2+2+2,则2^6=64,12=3+3+3+3,3^4=81,12=4+4+4,4^3=64我们发现3是拆分之后乘积“最大配额”。
下面通过几个例子来说明公考中2和3的应用
例题7:
有7个不同的质数,它们的和是58,其中最小的质数是多少?
A.7B.5C.3D.2
【解析】参考答案D。
7个质数的和为58,通常质数都是奇数,偶数个奇数相加结果为偶数,奇数个奇数相加为奇数。
则个题目是7个质数,按照常理答案是奇数才对。
现在是偶数58,说明必含2这个特殊的质数。
故而最小的质数即为2.
例题8:
1到300这300个自然数编号的多米诺骨牌排成一排,从编号1开始按照这样的规则:
拿掉每排奇数位置上的多米诺骨牌,留下偶数位置上的。
进行一次操作后,在从头开始再次按照这样的规则拿,直到剩下最后一张,请问最后一张的编号是多少?
A.100B.128C.192D.256
【解析】参考答案为D。
每轮都拿掉奇数位置上的骨牌,骨牌数目基本上是呈现倍数缩小。
那什么样的数字才能确保它的1÷2仍然是偶数,从而确保不在下一轮种被拿走呢?
自然是2^n。
因此每一轮操作2n位置上的数都会变为2^(n-1)。
当位置最终变为1时被拿走。
也就是说,最大的2^n将“坚持到最后”。
故得出只看300内最大的2^n的归纳总结。
例题9:
N是1,2,3,...1995,1996,1997,的最小公倍数,请回答N等于多少个2与一个奇数的积?
A.5B.8C.10D.12
【解析】参考答案为C。
题干中给出了明确的提示,这个N与2的关系,N有多少个2主要取决于这1997个自然数当中含2因子最多的自然数如此题当然是1024=2^10,为什么这么说呢我们在计算最小公倍数的时侯,往往是提取相同因子部分只取1个如:
4和6的最小公倍数是12,
4=2×2,6=2×3,他们有公共因子2.因此我们计算最小公倍数的时侯是通过乘积再除以这个公共因子。
也就是说这就回避掉了含2因子数量较少的那一个数字中的2,直接取决于含2因子数量最多的那个自然数。
例题10:
11338×25593的值为:
【10江西】
A.290133434B.290173434C.290163434D.290153434
【解析】参考答案B。
此题我们发现选项绝大部分数字相同,唯有中间的一个数字不同。
这种情况一般都是估算或者判断数字的整除特征。
所以数字,如25593这个数能被3整除,那么就证明我们的结果也是能被3整除;前面2901能被3整除,后面3434除以3余数是2(4+4=8,8除以3余数是2),因此看不同的那个数字:
3,7,6,5,要能整除,就必须有一个数除以3的余数和2构成3的倍数即7.
例题11:
某俱乐部中女会员的人数比男会员的一半少61人,男会员的人数比女会员的3倍多2人,问该俱乐部共有会员多少人()【10浙江】
A.475人B.478人C.480人D.482人
【解析】参考答案D。
此题我们来看假设男生的一半是a人,那么实则总人数相当于a-61+2a=3a-61人。
61=3n+1,即正确选项除以3余数是2,我们可以通过各项数值之和除以3来判断。
例题12:
把23拆成若干个自然数的和,将这些自然数相乘所得的乘积最大是多少?
A.2187B.4374C.3072D.4749
【解析】参考答案B。
此题在上述总结介绍中提及到,拆分是以3为最小单位的。
因此23÷3=7余数是2,故而此题答案是3^7×2估算技巧在于3的周期是4 则7跟3对应尾数是7 即答案尾数是4。
5是质数,也代表着一半的意思,这是因为我们通常把整十整百看作是一个整体,而10倍数的自然数的特征就是必含5这个因子。
含有5的因子个数与偶数因子搭配就决定了0的数量,比如5×4=20,在20里面只含有一个5,所以他只能有1个0;25×4=100,25含有2个5,而4含有2个2 这刚好构成2个0。
另外5这个数倍数的特点也很鲜明,5的整数倍尾数不是0就是5。
5的任何非零的整数次方其尾数均为5.另外在我们熟悉的斐波那契数列中,5的倍数也充分体现出规律性。
如1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610......这个数列5的倍数出现的第一个位置是在第四个位置上,则以后出现的是5的倍数的项均为周期5,即4+5n。
关于5的考察应用与这样几个例子:
例题13:
在乘积1×2×3×4×............×698×699×700中,末尾只有()个零。
A.172B.174C.176D.179
【解析】参考答案B。
此题问有多少个0,实则就是看有多少个5,有一个5就能跟偶数乘积搭配成一个0出来。
因此我们来看看700个数字中有多少个5?
:
700÷5=140.但是我们要注意5的个数不只是140这么简单,事实上我们需要注意的是有些5的倍数是不止1个5的,如5^n次方数。
25,125,625......因此这140只对5^n的数算了1次5,所以我们还可以通过两种方法继续找出其他的5.
700÷25=28,这28个25应该有56个5.但是在前面140中已经被算了28个这里就只考虑28.700÷125=5同理前面算了2次,这第三个5就含在这里。
700÷625=1因此最终答案就是140+28+5+1=174.
或者我们在原来140的基础上连续除以5.140÷5=28,28÷5=5,5÷5=1再求和也可以。
道理很简单对于商来说5为周期即相当于5的次方数+1.
例题14:
有一数列:
3,7,10,17,27,44,...从第三个数开始,每个数都等于它前面两个数的和,那么第1998个数除以5的余数是多少?
A.3B.2C.1D.0
【解析】参考答案D。
题干是描述的一个斐波那契数列。
如果你对斐波那契数列的一些性质了解的话。
此题就很容易得出答案了。
从数列中可以看出,第3项5是第一个能被5整除的项。
根据斐波那契数列的基本规律。
其每5项就会出现一个能被5整除的项。
(1998-3)刚好能被5整除,故因此直接得到1998项也是能被5整除的数。
则答案为0.
例题15:
工人甲一分钟可生产螺丝3个或螺丝帽9个:
工人乙一分钟可生产螺丝2个或螺丝帽7个,现在两人各花20分钟,共生产螺丝和螺丝帽134个,问生产的螺丝一共多少个()【10浙江改编题】
A.34个B.56个C.64个D.84个
【解析】参考答案D。
这个题目看不出任何快速解决方法的前提下,不需要多想,走一步看一步。
假设工人甲
和工人乙全部都是生产的螺丝,则共计生产(3+2)×20=100个比134差了34个。
这是因为工人甲有a分钟是做螺丝帽而不是螺丝。
这里每分钟数量相差9-3=6个,同理工人乙有b分钟是做螺丝帽而不是螺丝,则每分钟相差7-2=5个。
所以可以得到这样一个等式关系6a+5b=34.这里就抓住了5的特点6a是偶数,则5b也是偶数则5b尾数就是0,即6a尾数就是4,简单枚举一下:
4,14,24,34当中就24满足。
故而a=4,b=2.则螺丝减少了4×3+2×2=16个即螺丝是84个
9是最大的个位数,很多数理性质跟9都有一些关联性。
下面我们就来说说9相关联的特点。
能被9整除的数继承了能被3整除的特征,判断方法就是看被除数各个位置上数值之和能否被9整除,如:
1823数值之和=1+8+2+3=1414不能被9整除则这个数就不能被9整除,同理1823÷9=202......5我们也可以用14÷9判断余数。
任意一个两位数其和它自己的颠倒数差值均为9的倍数。
如:
63-36=(6-3)×9=27.81-18=(8-1)×9=63。
9做为个位数最大的因子在乘积上往往会产生进位。
如果不要求进位只有一种可能与9相差的数必须只能是1或0.如要一个两位数×9之后还是两位数,则这个两位数只能是10和11.
例题16:
一个四位数“□□□□”分别能被16、11和9除尽,且被这三个数除尽时所得的三个商的和为1676,问四位数“□□□□”中四个数字的和是多少()【10浙江改编题】
A.18B.16C.15D.12
【解析】参考答案A。
此四位数既然能被9整除,那么就说明这个四位数的各个位置上的数值之和也是9的倍数,因此答案就应该选择9的倍数即18。
例题17:
一个正常普通的伦理家庭中,小明的年龄是爸爸年龄和爷爷年龄的差距除以4,已知去年爷爷的年龄颠倒过来刚好就是今年爸爸的年龄,则请问小明今年几岁?
A.9岁B.8岁C.7岁D.6岁
【解析】参考答案C。
此题我们假设小明今年是a岁。
那么去年爷爷和今年爸爸的年龄差值是9n。
则9n+1=4a,那么我们可以利用要的9n+1是4的倍数则就要求9n除以4余数是3.即9÷4余数是1,则n的取值为3,7,当n=3时a=7,当n=7时a=16故而可知答案是C。
这里需要说明的是当n=7时则说明爸爸和爷爷去年年龄相差7×9=63岁。
也就是说爷爷64岁才有了爸爸这个儿子。
有违正常家庭条件的描述。
例题18:
一个三位数的被除数除以9,商仍然还是一个三位数,且商与余数的和为118,则被除数和余数之和是多少?
A.990B.998C.1006D.1015
【解析】参考答案为C。
商和余数之和=118,我们知道余数肯定是小于除数9的。
即最大也只能是8,即商最小也是118-8=110.因为1000÷9=112,所以商是小于112的。
则我们只需判断111是否也可以111×9=999,如果还有余数肯定不是三位数了。
因此除数只能是110,被除数就只能是110×9+8=998.因此答案是998+8=1006.
除了以上几个特殊数字我们在判断整除和次方尾数方面还需要了解下列一些数字的特点。
1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字的次方数特点,
5和6的次方尾数不变,比如5^2=25,5^3=125,6^2=36,6^3=216.
2的次方除了2^0=1特殊以外,其它均为偶数。
且从尾数循环周期为4,(2,4,8,16,32,64,128,256......)
3的次方周期是4(1,3,9,27,81,243,729......)
4的次方周期是2(4,16,64,256,1024......)
7的次方周期是4(7,49,343,2401,16087......)
8的次方周期是4(8,64,512,4096,32768......)
9的次方周期是2(9,81,729,6561......)
归纳总结:
次方周期不变的是5和6,周期为2的是4和9.其它数次方周期均为4。
另外,观察(1,9),(2,8),(3,7),(4,6)他们的和为10围绕5的对称。
那么其次方数的结果是不是也有关联性呢?
我们发现当a+b这2个数的个位数之和为10的时侯,那么a^m+b^m次方就会存在这样的规律:
当指数m为奇数时,则ab两个数的次方数尾数之和也是10,当指数m为偶数时,则ab两个数的次方数尾数相同。
整除判断:
能被3整除的数,是所有位置上数字之和能被3整除。
能被4整除的数,末尾两位数能被4整除,则这个数就能被4整除。
能被5整除的数,尾数是0或者5的数;能被9整除的数。
能被6整除的数,同时满足能被2和3整除的数,就能被6整除。
能被7整除的数,截掉个位数之后的数减去个位数的2倍能被7整除,则这个数就能被7整除。
数字大可以继续按照同样的方法继续循环操作试验。
如:
16816-8×2=00能被7整除,所以168就能倍7整除;39239-2×2=3535能被7整除,则392就能被7整除。
能被8整除的数,末尾三位数能被8整除的数,就能被8整除。
能被9整除的数,各个位置上数字之和能被9整除的数,就能被9整除。
能被11整除的数,奇数位置上的数字之和与偶数位置上的数字之和差值是11的倍数即能倍11整除。
如:
19745奇数位置数字之和=1+7+5=13,偶数位置数字之和9+4=13,差值为0,即说明19745能被11整除。
例题19:
1^2011+3^2011+5^2011+7^2011+9^2011的值的个位数是()。
【07浙江】
A.5B.6C.8D.9
【解析】参考答案为A。
方法一:
将题目的5个基数分成3部分,(1,9),(3,7)和5,当基数之和为10的时候,指数2011是奇数。
则两数的2011次方之和的个位数也是10,因此此题答案为10+10+5=25,即个位数为5。
方法二:
1和5,的尾数不变,3和7的尾数周期是4,9的尾数周期是2.2011是4的倍数+3,2的倍数+1,因此尾数相加即等同于:
1+3^3+5+7^3+9^1=1+7+5+3+9=25
例题20:
用0、1、2、3、…、9十个数字组成5个两位数,每个数字只用一次,要求它们的和是一个奇数,并且尽可能大,问这五个两位数的和是多少?
()【07安徽】
A.279B.301C.351D.357
【解析】参考答案C。
按照题目要求,第一十位数尽可能选用大的数值,个位数尽可能都用小的,个位数之和则为(0+1+2+3+4)=10,这样之和为10.但不满足五个两位数和为奇数的条件,这时侯只需把十位数的一个奇数和个位数的一个偶数最交换即可,交换的条件是必须是对十位数影响降到最低。
因此我们可以把4和5进行交换。
即十位数之和(4+6+7+8+9)×10=340,个位数之和0+1+2+3+5=11因此答案是340+11=351。
例题21:
某公司甲乙两个营业部共有50人,其中32人为男性,已知甲营业部的男女比例为5︰3,乙营业部的男女比例为2︰1,问甲营业部有多少名女职员?
【09国家】
A.18 B.16 C.12 D.9
【解析】参考答案C。
此题就是抓住数字的特征快速解题,甲乙男性之和为32,其中甲是5的倍数,乙是2的倍数,则说明甲的男性人数也是偶数,且尾数是0,则乙的男性人数尾数就是2,因此可能的值就是2×6=12,则甲5:
3的每个比例点的对应值就是20÷5=4即甲女性职员人数是4×3=12人。
例题22-1:
厨师从12种主料中挑出2种,从13种配料中挑选出3种来烹饪某道菜肴,烹饪的方式共有7种,那么该厨师最多可以做出多少道不一样的菜肴?
【09国家】
A.131204 B.132132 C.130468 D.133456
【解析】参考答案B。
这是一道基础的排列组合题,分三步骤:
主料C(12,2);配料C(13,3);烹饪方法C(7,1).因此答案是C(12,2)×C(13,3)×C(7,1)在这个表达式中隐含这11和7的因子,可以通过特殊因子的整除特性来排除,或者尾数法来解决。
例题22-2:
任写一个六位数,把它的个位数字(不等于0)拿到这个数最左边一位数字的左边得到一个新的六位数,再与原数相加,下面四个数可能正确的是()
A.172536B.568741C.620708D.845267
【解析】参考答案C。
我们假设前面五位数是a,个位数是b,则这样一个六位数就是10a+b,如果按照要求把个位数放到最左边,则构成新的六位数就是100000b+a,这2个六位数之和就是(10a+b)+(100000b+a)=11a+100001b这个时侯我们发现11这样一个不错的数字,判断发现100001也是11的倍数,则答案只需找出11的倍数即可。
(2)一般数理关系
一般性数理关系主要是介绍公务员考试题目中一些规律性的东西。
被除数,除数,商和余数的关系
被除数÷除数=商...余数,这四个量之间的关系可以用过这个表达式体现出来,在公务员考察的题目中,重点考察随着除数或者被除数的变化我们的商和余数会出现什么样的变化。
如:
a÷b=c...da代表被除数,b代表除数,c代表商,d代表余数。
变化一:
被除数a如果N倍之后的其它量的变化情况
表达式a=bc+d,即Na=Nbc+Nd即可以看出如果被除数N倍,则余数就变为Nd,也是原来的N倍,这个时侯我们要注意余数是不能大于除数b的。
实际余数就要看Nd÷b的余数是多少。
如100÷8=12...4,如果100变为5倍即500,则500÷8=12×5...4×5,因为4×5大于除数8,则实际余数是4×5÷8=2...4还是余4.而商的变化则是在原来5倍的基础上补上余数部分多出来的商即2,因为是12×5+2=62.
除数扩大N倍之后的其它量的变化情况
原表达式可以转化为(a-d)÷b=c,如果除数b变为5倍,则c就要变为1÷5,这个时侯就要看我们的商c除以5取整。
如:
100÷8=12...4,如除数8变成40,则商12就要变为1÷5事实上12不能被5整除12÷5=2.4实则就只能取整为2。
即100÷40=2...20而余数则变为5倍。
变化二:
多组除法关系表达式中被除数和余数固定的情况。
如:
130÷7=18...4,130÷9=14...4,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学 运算 配套 练习