初二轴对称经典习题附答案.docx
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初二轴对称经典习题附答案
轴对称经典练习附答案
一、选择题
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以点A和B为圆心,以相同的长(大于
AB)为半径作弧,两弧相交于点M和N,作直线MN交AB于点D,交BC于点E,连接CD,下列结论错误的是().
A.AD=BDB.BD=CDC.∠A=∠BEDD.∠ECD=∠EDC
2.如图,△ABC中,AB=AC=12,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,则△CDE的周长是().
A.20B.12C.16D.13
3.如图:
在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(1,
),M为坐标轴上一点,且使得△MOA为等腰三角形,则满足条件的点M的个数为()
A.4B.5C.6D.8
4.如图,在△ABC中,OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,过O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E,若BD+CE=5,则线段DE的长为()
A.5B.6C.7D.8
5.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,ED∥BC,已知AB=3,AD=1,则△AED的周长为()
A.2B.3C.4D.5
二、填空题
6.在同一平面内,已知点P在等边△ABC外部,且与等边△ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形,则∠APC的度数为.
7.如图,在已知的△ABC中,按以下步骤作图∶①分别以B,C为圆心,以大于
BC的长为半径作弧,两弧相交于两点M,N;②作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,∠A=50°,则∠ACB=.
8.如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有个.
9.如图,等腰三角形ABC中,已知AB=AC,∠A=32°,AB的垂直平分线交AC于D,则∠CBD的度数为。
10.如图,点A、C、F、E在同一直线上,△ABC是等边三角形,且CD=CE,EF=EG,则∠F=度。
11.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°,则顶角的度数是
12.如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则OM=.
13.已知,如图,O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点,OD∥AB交BC于D,OE∥AC交BC于E,若BC=10cm,则△ODE的周长cm.
14.已知等腰△ABC的周长为10,若设腰长为x,则x的取值范围是.
15.如图,OP平分∠AOB,∠AOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA于点D,PC=4,则PD=.
16.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,以B为圆心,BC为半径作弧,分别交AC、AB于点D、E,连接DE,则∠ADE=°.
17.如图,己知△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AC=
.动点D在边AC上,以BD为边作等边△BDE(点E、A在BD的同侧).在点D从点A移动至点C的过程中,点E移动的路线长为.
18.已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则该等腰三角形的周长是.
19.如图,AB=AC,FD⊥BC于D,DE⊥AB于E,若∠AFD=145°,则∠EDF=度.
三、解答题
20.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D为△ABC内一点,∠BAD=15°,AD=AC,CE⊥AD于E,且CE=5.
(1)求BC的长;
(2)求证:
BD=CD.
24.如图,△ABC中,AC=BC,∠ACB=120°,点D在AB边上运动(D不与A、B重合),连结CD.作∠CDE=30°,DE交AC于点E.
(1)当DE∥BC时,△ACD的形状按角分类是直角三角形;
(2)在点D的运动过程中,△ECD的形状可以是等腰三角形吗?
若可以,请求出∠AED的度数;若不可以,请说明理由.
25.如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D是AB的中点,DE⊥DF,点E,F分别在AC,BC上,求证:
DE=DF.
参考答案
1.D.
【解析】
试题分析:
∵MN为AB的垂直平分线,∴AD=BD,∠BDE=90°;∵∠ACB=90°,∴CD=BD;∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°,∴∠A=∠BED;∵∠A≠60°,AC≠AD,∴EC≠ED,∴∠ECD≠∠EDC.
故选:
D.
考点:
作图—基本作图;线段垂直平分线的性质;直角三角形斜边上的中线.
2.C
【解析】
试题分析:
根据AB=AC,AD平分∠BAC,则点D为BC的中点,AD⊥BC,则CD=4,根据直角三角形斜边上的中线的性质可得:
DE=AE,则△CDE的周长=DE+EC+CD=AE+EC+CD=AC+CD=12+4=16.
考点:
(1)、等腰三角形的性质;
(2)、直角三角形的性质
3.C
【解析】
试题分析:
根据等腰三角形的性质可得:
点M的坐标为(0,2);(0,-2);(2,0);(-2,0);(0,2
);(0,
)共6个点.
考点:
等腰三角形的性质
4.A
【解析】
试题分析:
根据角平分线的性质可得:
∠OBD=∠OBC,∠OCB=∠OCE,根据平行线的性质可得:
∠OBD=∠DOB,∠OCE=∠COE,则BD=DO,CE=OE,即DE=DO+OE=BD+CE=5.
考点:
等腰三角形的性质
5.C.
【解析】
试题分析:
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∵ED∥BC,∴∠CBD=∠BDE,∴∠ABD=∠BDE,∴BE=DE,△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD,∵AB=3,AD=1,∴△AED的周长=3+1=4.故选C.
考点:
等腰三角形的判定与性质;平行线的性质.
6.2
或2
或2
【解析】
试题分析:
当∠APB=90°时(如图1),
∵AO=BO,
∴PO=BO,
∵∠AOC=60°,
∴∠BOP=60°,
∴△BOP为等边三角形,
∵AB=BC=4,
∴AP=ABsin60°=4×
=2
;
当∠ABP=90°时(如图2),
∵∠AOC=∠BOP=60°,
∴∠BPO=30°,
∴BP=
=2
,
在直角三角形ABP中,
AP=
=2
,
情况二:
如图3,∵AO=BO,∠APB=90°,
∴PO=AO,
∵∠AOC=60°,
∴△AOP为等边三角形,
∴AP=AO=2,
故答案为:
2
或2
或2.
考点:
勾股定理.
7.15°或30°或60°或75°或150°
【解析】
试题分析:
根据点P在等边△ABC外部,且与等边△ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形,找出点P的位置,求得∠APC的度数即可.根据点P在等边△ABC外部,且与等边△ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形,作出如下图形:
由图可得:
∠AP1C=15°,∠AP2C=30°,∠AP3C=60°,∠AP4C=75°,∠AP5C=150°.
考点:
(1)、等边三角形的性质;
(2)、等腰三角形的性质
8.105°
【解析】
试题分析:
根据AC=AD可得:
∠CDA=∠A=50°,则∠ACD=80°,根据中垂线的性质以及外角的性质可得:
∠B=∠BCD=25°,则∠ACB=80+25=105°.
考点:
等腰三角形的性质
9.5
【解析】
试题分析:
根据等腰三角形的判定定理可得:
△ADE、△BDE、△BDC、△ABD和△ABC为等腰三角形.
考点:
等腰三角形的判定
10.42°
【解析】
试题分析:
根据AB=AC,∠A=32°,则∠ABC=∠C=74°,根据中垂线的性质可得:
∠ABD=32°,则∠CBD=∠ABC-∠ABD=74°-32°=42°.
考点:
中垂线的性质
11.15°
【解析】
试题分析:
设∠F=x°,根据等腰三角形和外角的性质可得:
∠DEC=2x°,∠ACB=4x°,根据等边三角形的性质可得:
4x=60°,则x=15°,即∠F=15°.
考点:
等腰三角形的性质
12.70°或110°
【解析】
试题分析:
本题需要分两种情况来进行讨论,分别画出图形得出答案.两种情况即为锐角三角形和钝角三角形.
考点:
(1)、等腰三角形的性质;
(2)、分类讨论思想
13.5
【解析】
试题分析:
过点P作PE⊥MN,根据等腰三角形底边上的三线合一定理可得ME=
MN=1,根据∠O=60°可得∠OPE=30°,则OE=
OP=6,则OM=OE-ME=6-1=5.
考点:
勾股定理.
14.10
【解析】
试题分析:
根据角平分线的性质以及平行线的性质,把△ODE三条边转移到同一条线段BC上,即可解答.
解:
∵OC、OB分别是∠ACB、∠ABC的角平分线,
∴∠5=∠6,∠1=∠2,
∵OD∥AB,OE∥AC,
∴∠4=∠6,∠1=∠3.
∴∠4=∠5,∠2=∠3,
即OD=BD,OE=CE.
∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+CE=BC=10cm.
故答案为:
10.
【点评】此题比较简单,利用的是角平分线的定义,平行线及等腰三角形的性质.
15.
.
【解析】
试题分析:
要求EM+CM的最小值,需考虑通过作辅助线转化EM,CM的值,从而找出其最小值求解.
解:
连接BE,与AD交于点M.则BE就是EM+CM的最小值.
取CE中点F,连接DF.
∵等边△ABC的边长为6,AE=2,
∴CE=AC﹣AE=6﹣2=4,
∴CF=EF=AE=2,
又∵AD是BC边上的中线,
∴DF是△BCE的中位线,
∴BE=2DF,BE∥DF,
又∵E为AF的中点,
∴M为AD的中点,
∴ME是△ADF的中位线,
∴DF=2ME,
∴BE=2DF=4ME,
∴BM=BE﹣ME=4ME﹣ME=3ME,
∴BE=
BM.
在直角△BDM中,BD=
BC=3,DM=
AD=
,
∴BM=
=
,
∴BE=
.
∵EM+CM=BE
∴EM+CM的最小值为
.
点评:
考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用.
16.
<x<5.
【解析】
试题解析:
依题意得:
10-2x-x<x<10-2x+x,
解得
<x<5.
考点:
1.等腰三角形的性质;2.解一元一次不等式组;3.三角形三边关系.
17.2
【解析】
试题分析:
作PE⊥OA于E,根据角平分线的性质可得PE=PD,根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°,由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半,可求得PE,即可求得PD.
作PE⊥OA于E,∵∠AOP=∠BOP,PD⊥OB,PE⊥OA,∴PE=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等),
∵∠BOP=∠AOP=15°,∴∠AOB=30°,∵PC∥OB,∴∠ACP=∠AOB=30°,
∴在Rt△PCE中,PE=
PC=
×4=2(在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半),
∴PD=PE=2,
考点:
(1)角平分线的性质;
(2)含30度角的直角三角形.
18.36
【解析】
试题分析:
连接BD,
∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠C=∠ABC=72°,
∵BE=BD=BC,
∴∠BDC=72°,
∴∠DBC=36°,
∴∠EBD=36°,
∴∠EDB=72°,
∴∠ADE=180°﹣72°﹣72°=36°,
故答案为:
36
考点:
等腰三角形的性质
19.
【解析】
试题分析:
如图,作EF⊥AB垂足为F,连接CF.
∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=60°,
∵△EBD是等边三角形,
∴BE=BD,∠EBD=60°,
∴∠EBD=∠ABC,
∴∠EBF=∠DBC,
又∵EB=BD,
∴△EBF≌△DBC,
∴BF=BC,EF=CD,
∵∠FBC=60°,
∴△BFC是等边三角形,
∴CF=BF=BC,
∵BC=
AB,
∴BF=
AB,
∴AF=FB,
∴点E在AB的垂直平分线上,
∴在点D从点A移动至点C的过程中,点E移动的路线和点D运动的路线相等,
∴在点D从点A移动至点C的过程中,点E移动的路线为
.
故答案为:
.
考点:
等边三角形的性质;含30度角的直角三角形.
20.10.
【解析】
试题分析:
因为2+2<4,所以等腰三角形的腰的长度是4,底边长2,周长:
4+4+2=10,答:
它的周长是10,故答案为:
10.
考点:
等腰三角形的性质;三角形三边关系.
21.55.
【解析】
试题解析:
∵∠AFD=145°,∴∠CFD=35°
又∵FD⊥BC于D,DE⊥AB于E
∴∠C=180°-(∠CFD+∠FDC)=55°
∵AB=AC
∴∠B=∠C=55°,∴∠A=70°
根据四边形内角和为360°可得:
∠EDF=360°-(∠AED+∠AFD+∠A)=55°
∴∠EDF为55°.
考点:
1.等腰三角形的性质;2.三角形内角和定理.
22.
(1)、10;
(2)、证明过程见解析
【解析】
试题分析:
(1)、根据等腰直角三角形的性质得出∠BAC=45°,从而得出∠CAD=30°,根据垂直得出AC=BC=10;
(2)、过D作DF⊥BC于F,然后证明Rt△DCE和Rt△DCF全等,从而得出CF=CE=5,根据BC=10得出BF=FC,从而得出答案.
试题解析:
(1)、在△ABC中,∵AC=BC,∠ACB=90°,∴∠BAC=45°.
∵∠BAD=15°,∴∠CAD=30°.∵CE⊥AD,CE=5,∴AC=10.∴BC=10.
(2)、过D作DF⊥BC于F.在△ADC中,∠CAD=30°,AD=AC,∴∠ACD=75°.
∵∠ACB=90°,∴∠FCD=15°.在△ACE中,∠CAE=30°,CE⊥AD,∴∠ACE=60°.
∴∠ECD=∠ACD-∠ACE=15°.∴∠ECD=∠FCD.∴DF=DE.
在Rt△DCE与Rt△DCF中,
∴Rt△DCE≌Rt△DCF.
∴CF=CE=5.∵BC=10,∴BF=FC.∵DF⊥BC,∴BD=CD.
考点:
(1)、三角形内角和定理;
(2)、三角形全等的判定与性质
23.
(1)、证明见解析;
(2)、直角三角形、理由见解析;(3)、不能,理由见解析;(4)、α=110°或125°或140°
【解析】
试题分析:
(1)、根据△BOC≌△ADC得到OC=DC,结合∠OCD=60°,从而得出等边三角形;
(2)、根据△BOC≌△ADC,∠α=150°得到∠ADC=∠BOC=150°,根据等边三角形得到∠ODC=60°,从而得出∠ADO=90°,从而得到三角形的形状;(3)、由△BOC≌△ADC,得∠ADC=∠BOC=∠α,当△AOD为等边三角形时,则∠ADO=60°,结合∠ODC=60°得出∠ADC=120°,又根据∠AOD=∠DOC=60°得出∠AOC=120°,从而求出∠AOC+∠AOB+∠BOC≠360°,从而得到答案;(4)、根据△OCD是等边三角形得到∠COD=∠ODC=60°,根据三角形的性质得出∠ADC=∠BOC=α,∠AOD=190°-α,∠OAD=50°,然后分三种情况分别求出α的大小.
试题解析:
(1)、∵△BOC≌△ADC,∴OC=DC.∵∠OCD=60°,∴△OCD是等边三角形.
(2)、△AOD是Rt△.理由如下:
∵△OCD是等边三角形,∴∠ODC=60°,∵△BOC≌△ADC,∠α=150°,∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°,
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°,∴△AOD是Rt△.
(3)、不能理由:
由△BOC≌△ADC,得∠ADC=∠BOC=∠α.
若△AOD为等边三角形,则∠ADO=60°,又∠ODC=60°,∴∠ADC=∠α=120°.
又∠AOD=∠DOC=60°,∴∠AOC=120°,又∵∠AOB=110°,
∴∠AOC+∠AOB+∠BOC=120°+120°+110°=350°<360°.所以△AOD不可能为等边三角形.
(4)、∵△OCD是等边三角形,∴∠COD=∠ODC=60°.∵∠AOB=110°,∠ADC=∠BOC=α,
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α,∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°,
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°.
①当∠AOD=∠ADO时,190°-α=α-60°,∴α=125°.
②当∠AOD=∠OAD时,190°-α=50°,∴α=140°.
③当∠ADO=∠OAD时,α-60°=50°,∴α=110°.
综上所述:
当α=110°或125°或140°时,△AOD是等腰三角形.
考点:
(1)、三角形全等;
(2)、分类讨论思想.
24.
(1)、直角三角形;
(2)、△ECD可以是等腰三角形,∠AED=60°或105°
【解析】
试题分析:
(1)、由DE∥BC得到∠BCD=∠CDE=30°,再由∠ACB=120°,得到∠ACD=120°﹣30°=90°,则△ACD是直角三角形;
(2)、分类讨论:
当∠CDE=∠ECD时,EC=DE;当∠ECD=∠CED时,CD=DE;当∠CED=∠CDE时,EC=CD;然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算.
试题解析:
(1)、∵△ABC中,AC=BC,∴∠A=∠B=
=
=30°,
∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B=30°,又∵∠CDE=30°,∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=30°+30°=60°,
∴∠ACD=180°﹣∠A﹣∠ADC=180°﹣30°﹣60°=90°,∴△ACD是直角三角形;
(2)、△ECD可以是等腰三角形.理由如下:
①当∠CDE=∠ECD时,EC=DE,∴∠ECD=∠CDE=30°,∵∠AED=∠ECD+∠CDE,∴∠AED=60°,
②当∠ECD=∠CED时,CD=DE,∵∠ECD+∠CED+∠CDE=180°,
∴∠CED=
=
=75°,∴∠AED=180°﹣∠CED=105°,
③当∠CED=∠CDE时,EC=CD,∠ACD=180°﹣∠CED﹣∠CDE=180°﹣30°﹣30°=120°,
∵∠ACB=120°,∴此时,点D与点B重合,不合题意.
综上,△ECD可以是等腰三角形,此时∠AED的度数为60°或105°
考点:
(1)、三角形内角和定理;
(2)、分类讨论思想的运用;(3)、等腰三角形的判定与性质.
25.证明过程见解析.
【解析】
试题分析:
首先可判断△ABC是等腰直角三角形,连接CD,根据全等三角形的判定易得到△ADE≌△CDF,继而可得出结论.
试题解析:
如图,连接CD.∵BC=AC,∠BCA=90°∴△ABC是等腰直角三角形∵D为AB中点
∴BD=CD=AD,CD平分∠BCA,CD⊥AB∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠FCD=90°∴∠A=∠FCD
∵∠CDF+∠CDE=90°∠CDE+∠ADE=90°∴∠ADE=∠CDF,在△ADE和△CFD中,
∵∠A=∠FCD,AD=CD,∠ADE=∠CDF∴△ADE≌△CFD(ASA)∴DE=DF.
考点:
(1)、全等三角形的判定与性质;
(2)、等腰直角三角形.
26.∠BAD=20°;∠EDC=30°
【解析】
试题分析:
根据DE⊥AC,AD=AE,∠DAE=80°得出∠ADE=∠E=50°,∠DAF=∠EAF=40°,根据等边三角形的性质得出∠BAD的度数,根据三角形内角和定理得出∠EDC的度数.
试题解析:
当DE⊥AC时,∵AD=AE,∠DAE=80°∴∠ADE=∠E=50°∠DAF=∠EAF=40°
∵△ABC是等边三角形∴∠BAC=60°∴∠BAD=60°﹣40°=20°
∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC∴60°+20°=50°+∠EDC∴∠EDC=30°
考点:
三角形内角和定理
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