中学九年级数学上北师大版第一章《证明二》复习教学案.docx
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中学九年级数学上北师大版第一章《证明二》复习教学案
第一讲全等三角形的性质和判定
知识梳理
1、两边夹角对应相等的两个三角形全等(SAS);
2、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA);
3、两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS);
4三边对应相等的两个三角形全等(SSS);
5、全等三角形的对应边相等,对应角相等。
6、等腰三角形性质定理:
(等边对等角);
7、推论(三线合一):
;
8等边三角形判定定理:
。
典例精讲
例1.如图,已知∠D=∠C,∠A=∠B,且AE=BF。
求证:
AD=BC。
例2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥AC∠BAC=100°。
求∠1、∠3、∠B的度数。
例3.如图,在△ABC中,D为AC上一点,并且AB=AD,DB=DC,若∠C=29°,求∠A。
即学即练
1.填空:
(1)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD。
请找出所有的等腰三角形。
(2)等腰三角形的顶角为50°,则它的底角为。
(3)等腰三角形的一个角为40°,则另两个角为。
(4)等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°。
2.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,且DE⊥AB,DF⊥AC。
求证:
∠1=∠2。
巩固与提高
1.在等腰三角形中顶角为40°时底角等于,一个底角为50°,则顶角等于。
2.等腰三角形的两边分别是7cm和3cm,则周长为。
3.如右图,D在AC上,且AB=BD=DC,∠C=40°,则∠A=,
∠ABD=。
3题图4题图
4、在△ABC中,AB=AC,D是AB上一点,DE⊥BC,E是垂足,ED的延长线交CA的延长线于点F,求证:
AD=AF.
第二讲等腰三角形的性质和判定
一.知识梳理
1、等腰三角形两个底角的平分线相等;
2、等腰三角形腰上的高相等;
3、等腰三角形腰上的中线相等;
4、两个角相等的三角形是等腰三角形。
(等角对等边)
5、推理论证:
等腰三角形腰上的中线相等;(画图、写出已知、求证、证明过程)
二、典例精讲
如图,中,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD=CE。
求证:
是等腰三角形。
三、即学即练
1、如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,求证:
△ADE是等腰三角形。
2、如图,E是△ABC内的一点,AB=AC,连接AE、BE、CE,且BE=CE,延长AE,交BC边于点D。
求证:
AD⊥BC。
四、巩固与提高
1、如图,∠A=∠B,CE∥DA,CE交AB于E。
求证:
CE=CB。
2、把下列命题用反证法证明时的第一步写出来。
a)三角形中必有一个内角不少于60度;
b)一个三角形中不能有两个角是钝角;
c)垂直于同一条直线的两条直线平行。
3、如图,在中,∠ABC的平分线交AC于点D,DE∥BC。
求证:
△EBD是等腰三角形。
4、用反证法证明:
一个三角形中不能有两个直角。
第三讲等边三角形的判定与性质
一、知识梳理
1、等边三角形的判定
1)三条边都相等的三角形是等边三角形。
2)三个角都相等的三角形是等边三角形。
3)有一个角等于60︒的等腰三角形是等边三角形。
2、等边三角形是特殊的等腰三角形,它具有等腰三角形的一切性质,除此之外,它还具有每个内角都是60°的特殊性质。
3、在直角三角形中,如果一个锐角等于30︒,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
二、典例精讲
1、已知:
如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,交AB、AC于D、E。
求证:
△ADE是等边三角形。
2、如图,△ABC是等边三角形,BD=CE,∠1=∠2。
求证:
△ADE是等边三角形。
3、如图,在Rt中,∠B=30°,BD=AD,BD=12,求DC的长。
三、即学即练
1、填空:
(1)如图1,BC=AC,若,则△ABC是等边三角形。
(2)如图2,AB=AC,BC⊥AD,BD=4,若AB=,则△ABC是等边三角形。
(3)如图3,在Rt中,∠B=30°,AC=6cm,则AB=;若AB=7,则AC=。
图1图2图3
2、如右图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,求证:
AE=CD。
巩固与提高
1、填空:
(1)如图1,AB=AC,AD是△ABC的一条中线,AB=5,若BD=,则△ABC是等边三角形。
(2)如图2,∠BAC=120°,AB=AC,AB=14,则AD=。
图1图2
2、已知:
中,,,,AB=40,
求DB的长。
第四讲直角三角形
(一)
一.知识梳理
1、直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
2、如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
3、在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
4、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
二、典例剖析
1、如图,BA⊥DA于A,AD=12,DC=9,CA=15,求证:
BA∥DC。
2、若直角三角形的三条边长分别是6,8,a,则a=__________。
3、已知:
如图,△ABC中,CD⊥AB于D,AC=4,BC=3,DB=。
(1)求DC的长;
(2)求AD的长;(3)求AB的长;
(4)求证:
△ABC是直角三角形.
三、即学即练
1、填空:
(1)直角三角形的两直角边为9、12,则斜边为;直角三角形的斜边为13,其中一条直角边为5,则另一条直角边为。
(2)如果一个三角形的三边分别是6、10、8,则这个三角形是三角形。
2、说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假。
1)初三(6)班有62位同学;2)等边对等角;
3)对顶角相等;4)平行四边形的两组对边相等;
5)正方形的四条边都相等;
3、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园,如图5所示,∠ACB=90°,AC=80米,BC=60米,若线段CD是一条小渠,且D点在边AB上,已知水渠的造价为10元/米,问D点在距A点多远处时,水渠的造价最低?
最低造价是多少?
四、巩固与提高
1、找出下列定理有哪些存在逆定理,并把它找出来。
(1)矩形是平行四边形。
(2)内错角相等,两直线平行。
(3)如果,则。
(4)全等三角形对应角相等。
(5)对顶角相等
2、如图,AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一点,∠BAE=∠DEC=60°,AB=3,CE=4,则AD等于。
3、如图,为修铁路需凿通隧道AC,测得∠A=50°,∠B=40°,AB=5km,BC=4km,若每天凿隧道0.3km,问几天才能把隧道凿通?
直角三角形
(二)
一.知识梳理
1、一般三角形全等判定方法有:
。
2、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(“斜边、直角边”或“HL”)
二、典例剖析
1、在Rt△ABC中,∠C=90°,且DE⊥AB,CD=ED,求证:
AD是∠BAC的角平分线。
2、如图,∠ACB=∠ADB=90°,AC=AD,E是AB上的一点。
求证:
CE=DE。
3、在△ABC≌△A'B'C'中,CD,C'D'分别分别是高,并且AC=A'C',CD=C'D'.∠ACB=∠A'C'B'.
求证:
△ABC≌△A'B'C'.
三、即学即练
1、填空:
.如下图,Rt△ABC和Rt△DEF,∠C=∠F=90°。
(1)若∠A=∠D,BC=EF,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
(2)若∠A=∠D,AC=DF,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
(3)若∠A=∠D,AB=DE,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
(4)若AC=DF,AB=DE,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
(5)若AC=DF,CB=FE,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
2、如下图,CD⊥AD,CB⊥AB,AB=AD,求证:
CD=CB。
四、巩固与提高
1、如上右图,在Rt△ABC和Rt△DCB中,AB=DC,∠A=∠D=90°,AC与BD交于点O,则有△__________≌△__________,其判定依据是__________,还有△__________≌△__________,其判定依据是__________.
2、如图,∠B=∠E=90°,AC=DF,BF=EC。
求证:
BA=ED。
3、如图,AD是∠BAC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,BD=CD,AB=AC,求证:
EB=FC。
4如图,已知BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF相交于点D,若BD=CD.求证:
AD平分∠BAC.
第五讲线段的垂直平分线
一.知识梳理
1、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
2、若P在线段AB的垂直平分线CD上,则有。
3、到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
4、若PA=PB,则P点在。
二、典例精讲
1、如图,在△ABC中,∠C=90°,DE是AB的垂直平分线。
1)则BD=;
2)若∠B=40°,则∠BAC=°,∠DAB=°,∠DAC=°,∠CDA=°;
3)若AC=4,BC=5,则DA+DC=,△ACD的周长为。
2、如图,DE为△ABC的AB边的垂直平分线,D为垂足,DE交BC于E,AC=5,BC=8,求△AEC的周长。
3、在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于D,△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm,求AB、BC。
三、即学即练
1、如图,已知AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AC于D。
1)若△DBC的周长为24cm,则BC=cm;
2)若BC=8cm,则△BCD的周长是cm。
2、已知在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,△ABD的周长是13cm,求△ABC的周长。
四、巩固与提高
1、如图,△ABC中,AB=AC,∠A=40°,DE为AB的中垂线,则∠1=°,∠C=°,∠3=°,∠2=°;若△ABC的周长为16cm,BC=4cm,则AC=,△BCE的周长为。
2、如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AC于D,如果AC=5cm,BC=4cm,AE=2cm,求△CDB的周长。
2、如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AC于E,交BC于D,△ABC的周长为12cm,△ABD的周长为9cm,求AC的长度。
3.如右图,△ABC中,AB=AC=16cm,AB的垂直平分线ED交AC于D点.
(1)当AE=13cm时,BE=cm;
(2)当△BEC的周长为26cm时,则BC=cm;
(3)当BC=15cm,则△BEC的周长是cm.
家庭作业
1、分别作出直角三角形、锐角三角形、
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