完整版平面向量基本定理及向量的坐标表示专题复习题doc.docx
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平面向量基本定理及向量的坐标表示
1.(文)(2011重·庆文)已知向量a
(1,k),b
(2,2),且a
b与a共线,那么ab的值为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
(理)在
ABC中,M为边
BC上任意一点,N为AM的中点,AN
AB
AC,则
(
)
A.
1
B.1
C.1
D.1
2
3
4
2.(2011嘉·兴模拟)已知a,b是不共线的向量
AB
a
b,,AC
a
b,,
R,那么A、B、C三点共
线的等价条件为(
)
A.
2
B.
1
C.
1
D.
1
3.(2012湖·北省孝感模拟
)在四边形ABCD
中,ABa
2b,,BC
4a
b,,CD
5a
3b,其中a,b不
共线,则四边形
ABCD为(
)
A.平行四边形
B.矩形
C.梯形
D.菱形
4.如图,
ABC
中,AD
DB,AE
EC,CD与BE交于F,设AB
a,AC
b,AF
xa
yb,则(x,y)为(
)
1
1
2
2
C.
11
2
1
A.(,)
B.(,)
(,)
D.(,)
2
2
3
3
33
3
2
5.已知向量a
(2cos
2sin
),b(0,
2),
(,
),则a,b
(
)
2
A.
3
B.
C.
D.θ
2
2
2
6.(文)已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量
若向量c满足(a
c)
(bc)
0,则|c|的最大值是(
)
2
A.1
B.2
C.
2
D.2
(理)已知O为原点,点A、B的坐标分别为
→
A(a,0)、B(0,a),其中常数a>0,点P在线段AB上,且有AP=
→
→→
)
tAB(0≤t≤1),则OA·OP的最大值为(
A.a
B.2a
C.3a
D.a2
7.在平行四边形
→=1→→
=
1→,CE与BF相交于G点.若AB
a,AD
b,
→=()
ABCD中,AE
AB,AF
4
AD
则AG
3
A.
2
1
b
B.
2
3
C.
3
a
1
4
2
a
7
a
b
7
b
D.a
b
7
7
7
7
7
7
→
→
→
→
→
)
8.(文)(2010深·圳模拟)如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点,OP=xOA+yOB,且BP=2PA,则(
2,y=1
B.x=1,y=2
C.x=1,y=3
D.x=3,y=1
A.x=3
3
3
3
4
4
4
4
1
→
→
(理)已知A(7,1),B(1,4),直线y=
ax与线段AB交于C,且AC=
2CB,则实数a等于()
2
4
5
A.2
B.1
C.5
D.3
9.已知直线x+y=a与圆x2+y2=4
→
→→→
交于A、B两点,且|OA+OB|=|OA-OB|,其中O为坐标原点,则实
数a的值为(
)
A.2
B.-2C.2或-2
D.6或-6
10.(2010·河南许昌调研)在平面直角坐标系中,O
为原点,设向量OAa,OB
b,其中
a(3,1),b
(1,3).若OC
ab,且0≤λ≤μ≤1,C点的所有可能位置区域用阴影表示正确的是
()
[答案]
A
[解析]
→
OC=λa+μb=(3λ+μ,λ+3μ),
11.(文)(2010重·庆诊断)称d(a,b)|ab|为两个向量a,b间的“距离”.若向量
a,b满足;①|b|
1;
②ab;③对任意的
t∈R,恒有d(a,b)≥d(a,tb),则(
)
A.abB.a(ab)
C.b(ab)
D.(ab)(ab)
(理)(2010山·东)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:
对任意的a
(m,n),b
(p,q)
.令
aebmq
np,下面说法错误的是(
)
A.若a与b共线,则aeb0
B.aeb
bea
C.对任意的λ∈R,有(
a)eb
(aeb)D.(aeb)2
(ab)2
|a|2|b|2
12.平面上有四个互异的点
A、B、C、D,满足(AB
BC)(ADCD)
0,则三角形ABC是(
)
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
13.如图,在四边形
ABCD中,AB
BCCD1,B
900,
BCD1350,记向量AB
a,ACb,则AD
()
A.2a(1
2)bB.
2a(1
2)b
2
2
C.2a(1
2
D.2a(1
2
)b
)b
2
2
14.(文)(2011杭·州模拟)已知向量a(sinx,1),b(cosx,3),且a//b,则tanx_______.
(理)已知a(2,
3),b
(sin
cos2
),(
),若a//b,则tanx_____.
2
2
15.(2012西·安五校第二次联考
)梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别是CD,AB的中点,设
ABa,ADb,若MN
ma
nb,则
n
_______.
m
16.(文)如图,在△ABC中,D、E分别是BC、AC的中点,F为AB上一点,且AB
4AF,若ADxAFyAE,
则x=____,y=___.
16题(理)
(理)(2011江·苏徐州市质检)在△ABC中,过中线AD的中点E任作一条直线分别交
AB、AC于M、N两点,
若AM
xAB,ANyAC,则(4xy)min___.
17
.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则DECB
___,DEDC的最大值为________.
18
.已知G是△ABC的重心,直线EF过点G且与边AB、AC分别交于点E,F,AE
ABAFAC,则
1
1
_______.
19.(2012·西八校联考江
)如图所示,设P、Q为△ABC内的两点,且
AP2AB1AC,AQ2AB1AC,则S
5534S
ABP
______.
ABQ
20.(文)已知O(0,0),A(2,1),B(1,3),OPOAtOB,求:
(1)t为何值时,点P在x轴上?
点P在y轴上?
点P在第四象限?
(2)四点O、A、B、P能否成为平行四边形的四个顶点,说明你的理由.
(理)(2011
杭·州市质检)已知向量a
(1,2),b
(cos,sin),设m
a
tb(t为实数).
(1)
若α=
π
t的值;
,求当|m|取最小值时实数
4
(2)
若a
b,问:
是否存在实数t,使得向量a
b和向量m的夹角为
π
4
若存在,请求出t,若不存在,请说明理由.
21.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知c=2b,向量m
(sinA,3),n(1,sinA3cosA),
2
且m与n共线.
(1)求角A的大小;
(2)求ac的值.
22.设a,b是不共线的两个非零向量,
(1)若OA2ab,OB3ab,OCa3b,求证:
A、B、C三点共线;
(2)若8akb与ka2b共线,求实数k的值;
23.(2011衡·阳期末)平面内给定三个向量
a(3,2),b(1,2),c(4,1),请解答下列问题:
(1)
求满足ambnc的实数m、n;
(2)
若(akc)//(2b
a),求实数k;
(3)
若d满足(dc)/
/(ab),且|dc|
5,求d.
24.(文)已知圆C:
(x-3)2+(y-3)2=4及定点A(1,1),M为圆C上任意一点,点
→
N在线段MA上,且MA=
→
,求动点N的轨迹方程.
2AN
(理)已知θ是△ABC的最大的内角.设向量a(cos,sin),b(sin2,1cos2),c(0,1).
定义f()(ab)c|b|,求f()的最大值.
平面向量基本定理及向量的坐标表示
1.(文)D(理)A
→
→→→
→→
1
[解析]本题考查向量的线性运算.
据已知N为AM的中点,可得AN=
2AM=λAB+μAC,整理得AM=2λAB
→
1
+2μAC,由于点M在直线BC上,故有
2λ+2μ=1,即λ+μ=
2.
2.D3.C
4.C
→→
5题
[解析]设CF=λCD,∵E、D分别为AC、AB的中点,
→→→
1
∴BE=BA+AE=-a+2b,
→
→→
1
1
BF=BC+CF=(b-a)+λ(2a-b)=
2λ-1a+(1-λ)b,
→
→
1
2λ-1
1-λ
2
∵BE与BF共线,∴-1
=
1,∴λ=3,
2
→→
→
→
1
1
1
1
2
21
∴AF=AC+CF=b+3CD=b+32a-b=3a+3b,故x=3,y=3.
5.A[解析]
解法一:
由三角函数定义知
a的起点在原点时,终点落在圆
x2+y2=4位于第二象限的部分上
π
(∵2<θ<π),设其终点为P,则∠xOP=θ,
3π
∴a与b的夹角为
2-θ.
解法二:
cos〈a,b〉=
a·b
=
-4sinθ
3π
|a||b|·
2×2
=-sinθ=cos
2
-θ,
π
3π
π
∵θ∈2,π,∴
2-θ∈
2,π,
3π
又〈a,b〉∈(0,π),∴〈a,b〉=2-θ.
6.(文)C[解析]由(a-c)(b-c)=0得a·b-(a+b)·c+c2=0,即c2=(a+b)c,故|c|·|c|≤|a+b|·|c|,
即|c|≤|a+b|=2,故选C.
(理)D[解析]
→
→
∵AP=tAB,
→
→
→
→
→→
→
→
∴OP=OA+AP=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB=(a-at,at)
→→
→→
∴OA·OP=a2(1-t),∵0≤t≤1,∴OA·OP≤a2.
7.C8.(文)A(理)A
9.C[解析]
以OA、OB为边作平行四边形
OACB,则由
→→→→
OACB为矩
|OA+OB|=|OA-OB|得,平行四边形
→
→
y=-x+a在y轴上的截距为±2,所以选C.
形,OA⊥OB.由图形易知直线
10.A
[答案]
A
[解析]
→
OC=λa+μb=(3λ+μ,λ+3μ),
→
y=x的上方,故选A.
令OC=(x,y),则x-y=(3λ+μ)-(λ+3μ)=2(λ-μ)≤0,∴点C对应区域在直线
11.(文)C(理)B12B
→
→
→
→
→→
→
→
[解析]
(AB
-BC
)·(AD
-CD
)=
(AB
-BC
)·(AD
+DC
)
→
→
→
→
→
→
→
→
→
=(AB-BC)·AC=(AB-BC)·(AB+BC)=|AB|2-|BC|2=0,
→→
故|AB|=|BC|,即△ABC是等腰三角形.
13.B根据题意可得△ABC为等腰直角三角形,由∠BCD=135°,得∠ACD=135°-45°=90°,以B为原点,
AB所在直线为x轴,BC所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系,
并作DE⊥y轴于点E,则△CDE也为等腰
2
2
→
→
2
直角三角形,由
CD=1,得
CE=ED=2
,则A(1,0),B(0,0),C(0,1),D(2
,1+
2),∴AB=(-1,0)
,AC=(-
→
2
→→
→
2
1,1),AD=(2-1,1+2
),令AD=λAB+μAC,
2
1,
λ=-
2,
→
-λ-μ=2-
2
∴AD=-2a+(1+
则有
2
得
2
2)b.
μ=1+
2
,
μ=1+
2.
1
3
15.(文)-4
14.(文)-3(理)-
3
16.(文)2
1
9题(理)
(理)(2011
江·苏徐州市质检
)在△ABC
中,过中线
AD
的中点
E任作一条直线分别交
AB、AC
于M、N
两点,
→→→
→
若AM=xAB,AN=yAC,则
4x+y的最小值为
___.9
4
→→
→
→
→
如图所示,由题意知
11
AD=2(AB+AC),AE=2AD,
→→→
又M,E,N三点共线,所以AE=λAM+(1-λ)AN(其中0<λ<1),
→
→→→
→
→
→
→
又AM=xAB,AN=yAC,所以
1
(AB+AC)=λxAB+(1-λ)yAC,
4
因此有
4λx=1,
解得x=1
,y=
1
,
41-λy=1,
4λ
41-λ
1
1
1
=t+
t
1
59
,
令=t,∴t>1,则4x+y=+
=(t-1)+
+≥
λ
λ
41-λ4t-1
4t-1
44
3
2
当且仅当
t=2,即λ=
3时取得等号.
17.1
1
[解析]
本题考查平面向量的数量积,建立平面直角坐标系如图,则
B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(x0,0),则
→→→
CB=(0,-1),DC=(1,0),DE=(x0,-1),
19题
17题
→→
∴DE·CB=(x0,-1)(0,-1)=1,
→→
∴DE·DC=x0,而0≤x0≤1,
→→
∴DE·DC的最大值为1.
[点评]
将问题转化为坐标运算使问题迎刃而解.
→
→
→
→
→→
2
1
+AC),设EG=λGF,
18.3[解析]
连结AG并延长交
BC于D,∵G是△ABC的重心,∴AG=
3AD=3(AB
→
→
→
→
→
1
→
→
∴AG-AE=λ(AF-AG),∴AG=
AE+
λ
AF,
1+λ
1+λ
→
1
→
→
→
1
α
λβ
,
∴AB+
AC=
AB+
AC
3
3
1+λ
1+λ
α
1
,
1
3
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