高考数学四海八荒易错集专题05导数及其应用文.docx
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高考数学四海八荒易错集专题05导数及其应用文
专题05导数及其应用
1.(2016·四川)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a等于( )
A.-4B.-2C.4D.2
答案 D
2.(2016·课标全国乙)若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( )
A.[-1,1]B.
C.D.
答案 C
解析 方法一 (特殊值法):
不妨取a=-1,
则f(x)=x-sin2x-sinx,
f′(x)=1-cos2x-cosx,但f′(0)=1--1=-<0,不具备在(-∞,+∞)单调递增,排除A,B,D.故选C.
方法二 (综合法):
∵函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)单调递增,
∴f′(x)=1-cos2x+acosx
=1-(2cos2x-1)+acosx
=-cos2x+acosx+≥0,即acosx≥cos2x-在(-∞,+∞)恒成立.
当cosx=0时,恒有0≥-,得a∈R;
当0 (1)=-; 当-1≤cosx<0时,得a≤cosx-,令t=cosx,f(t)=t-在[-1,0)上为增函数,得a≤f(-1)=.综上,可得a的取值范围是,故选C. 3.(2016·山东)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( ) A.y=sinxB.y=lnx C.y=exD.y=x3 答案 A 4.(2016·天津)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为________. 答案 3 解析 因为f(x)=(2x+1)ex, 所以f′(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex, 所以f′(0)=3e0=3. 5.设函数y=f(x)的导函数为f′(x),若y=f(x)的图象在点P(1,f (1))处的切线方程为x-y+2=0,则f (1)+f′ (1)等于( ) A.4B.3C.2D.1 答案 A 解析 依题意有f′ (1)=1,1-f (1)+2=0,即f (1)=3, 所以f (1)+f′ (1)=4. 6.已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,则的值为( ) A.-B.-2 C.-2或-D.2或- 答案 A 解析 由题意知f′(x)=3x2+2ax+b,f′ (1)=0,f (1)=10,即解得或 经检验满足题意,故=-. 7.已知函数f(x)=x2-ax+3在(0,1)上为减函数,函数g(x)=x2-alnx在(1,2)上为增函数,则a的值等于________. 答案 2 8.已知函数f(x)=x-,g(x)=x2-2ax+4,若任意x1∈[0,1],存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是__________. 答案 解析 由于f′(x)=1+>0,因此函数f(x)在[0,1]上单调递增, 所以x∈[0,1]时,f(x)min=f(0)=-1. 根据题意可知存在x∈[1,2], 使得g(x)=x2-2ax+4≤-1, 即x2-2ax+5≤0,即a≥+能成立, 令h(x)=+, 则要使a≥h(x)在x∈[1,2]能成立,只需使a≥h(x)min, 又函数h(x)=+在x∈[1,2]上单调递减, 所以h(x)min=h (2)=,故只需a≥. 易错起源1、导数的几何意义 例1 (1)(2016·课标全国甲)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=________. (2)已知f(x)=x3-2x2+x+6,则f(x)在点P(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( ) A.4B.5 C.D. 答案 (1)1-ln2 (2)C (2)∵f(x)=x3-2x2+x+6, ∴f′(x)=3x2-4x+1, ∴f′(-1)=8,切线方程为y-2=8(x+1), 即8x-y+10=0,令x=0,得y=10, 令y=0,得x=-, ∴所求面积S=××10=. 【变式探究】设曲线y=在点处的切线与直线x+ay+1=0垂直,则a=________. 答案 1 解析 由题意得, y′==, 则曲线y=在点处的切线的斜率为 k1==1. 因为直线x+ay+1=0的斜率k2=-,又该切线与直线x+ay+1=0垂直,所以k1k2=-1,解得a=1. 【名师点睛】 (1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异,过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P为切点. (2)利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系,进而和导数联系起来求解. 【锦囊妙计,战胜自我】 1.函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f′(x0),相应的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 2.求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同. 易错起源2、利用导数研究函数的单调性 例2、设函数f(x)=xekx(k≠0). (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求k的取值范围. 解 (1)由题意可得f′(x)=(1+kx)ekx, f′(0)=1,f(0)=0, 故曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x. (2)由f′(x)=(1+kx)ekx=0,得x=-(k≠0), 若k>0,则当x∈时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减, 当x∈时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增; 若k<0,则当x∈时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增, 当x∈时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减. (3)由 (2)知,若k>0,则当且仅当-≤-1,即k≤1时,函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增; 若k<0,则当且仅当-≥1,即k≥-1时,函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增. 综上可知,函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增时,k的取值范围是[-1,0)∪(0,1]. 【变式探究】 (1)已知m是实数,函数f(x)=x2(x-m),若f′(-1)=-1,则函数f(x)的单调递增区间是( ) A. B. C.∪(0,+∞) D.∪(0,+∞) (2)若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是__________. 答案 (1)C (2) 解析 (1)因为f′(x)=3x2-2mx, 所以f′(-1)=3+2m=-1,解得m=-2. 由f′(x)=3x2+4x>0,解得x<-或x>0,即函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-)∪(0,+∞), 故选C. (2)f(x)的定义域为(0,+∞). f′(x)=4x-. 由f′(x)=0,得x=. 据题意,得 解得1≤k<. 【名师点睛】 利用导数研究函数单调性的一般步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求导函数f′(x); (3)①若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0. ②若已知函数的单调性,则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解. 【锦囊妙计,战胜自我】 1.f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0. 2.f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间内恒有f′(x)=0时,则f(x)为常函数,函数不具有单调性. 易错起源3、利用导数求函数的极值、最值 例3、已知函数f(x)=ax--3lnx,其中a为常数. (1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时,求函数f(x)在上的最小值; (2)若函数f(x)在区间(0,+∞)上既有极大值又有极小值,求a的取值范围. 解 (1)f′(x)=a+-(x>0), 由题意可知,f′=1,解得a=1. 故f(x)=x--3lnx, ∴f′(x)=, 根据题意由f′(x)=0,得x=2. 于是可得下表: x 2 (2,3) 3 f′(x) - 0 + f(x) ↘ 1-3ln2 ↗ ∴f(x)min=f (2)=1-3ln2. (2)f′(x)=a+-=(x>0), 由题意可得方程ax2-3x+2=0有两个不等的正实根,不妨设这两个根为x1,x2,并令h(x)=ax2-3x+2, 则
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