高一数学复习知识点专题讲解与训练9函数的单调性.docx
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高一数学复习知识点专题讲解与训练9函数的单调性
高一数学复习知识点专题讲解与训练
函数的单调性
知识点一 定义域为I的函数f(x)的增减性
定义中的x1,x2有以下3个特征
(1)任意性,即“任意取x1,x2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般;
(2)有大小,通常规定x1 (3)属于同一个单调区间. 知识点二 单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接,而应该用“和”连接.如函数y= 在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,却不能表述为: 函数y= 在(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减. [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y=x2在R上是增函数.( ) (2)所有的函数在其定义域上都具有单调性.( ) (3)在增函数与减函数的定义中,可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”.( ) 答案: (1)× (2)× (3)× 2.函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则( ) A.m> B.m< C.m>- D.m<- 解析: 使y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则2m-1<0,即m< . 答案: B 3.函数y=-2x2+3x的单调减区间是( ) A.[0,+∞)B.(-∞,0) C. D. 解析: 借助图象得y=-2x2+3x的单调减区间是 ,故选D. 答案: D 4.若f(x)在R上是增函数,且f(x1)>f(x2),则x1,x2的大小关系为________. 解析: ∵f(x)在R上是增函数,且f(x1)>f(x2),∴x1>x2. 答案: x1>x2 类型一 利用函数图象求单调区间 例1 已知函数y=f(x)的图象如图所示,则该函数的减区间为( ) A.(-3,1)∪(1,4)B.(-5,-3)∪(-1,1) C.(-3,-1),(1,4)D.(-5,-3),(-1,1) 【解析】 在某个区间上,若函数y=f(x)的图象是上升的,则该区间为增区间,若是下降的,则该区间为减区间,故该函数的减区间为(-3,-1),(1,4). 【答案】 C 观察图象,若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数,对应的区间是增(减)区间. 跟踪训练1 函数f(x)的图象如图所示,则( ) A.函数f(x)在[-1,2]上是增函数B.函数f(x)在[-1,2]上是减函数 C.函数f(x)在[-1,4]上是减函数D.函数f(x)在[2,4]上是增函数 解析: 函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数,图象下降对应减函数,故选A. 答案: A 图象上升或下降趋势判断. 类型二 函数单调性的判定与证明 例2 判断函数f(x)= 在区间(1,+∞)上的单调性,并用单调性的定义证明. 【解析】 函数f(x)= 在区间(1,+∞)上单调递减. 证明: 任取x1,x2∈(1,+∞),且x1 - = = . ∵x1 ∵x1,x2∈(1,+∞), ∴x2+x1>0,x -1>0,x -1>0, ∴ >0,即f(x1)>f(x2), 由单调性的定义可知函数f(x)= 在区间(1,+∞)上单调递减. 先根据单调性的定义任取x1,x2∈(1,+∞),且x1 方法归纳 利用定义证明函数单调性的步骤 跟踪训练2 利用单调性的定义,证明函数y= 在(-1,+∞)上是减函数. 证明: 设x1,x2是区间(-1,+∞)上任意两个实数且x1 f(x1)-f(x2)= - = , ∵-1 ∴ >0.即f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2). ∴y= 在(-1,+∞)上是减函数. 利用四步证明函数的单调性. 类型三 由函数的单调性求参数的取值范围 例3 已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,求实数a的取值范围. 【解析】 ∵f(x)=x2-2(1-a)x+2 =[x-(1-a)]2+2-(1-a)2, ∴f(x)的减区间是(-∞,1-a]. ∵f(x)在(-∞,4]上是减函数, ∴对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合. ∴1-a≥4,解得a≤-3. 故a的取值范围为(-∞,-3]. 首先求出f(x)的单调减区间,求出f(x)的对称轴为x=1-a,利用对称轴应在直线x=4的右侧或与其重合求解. 方法归纳 “函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别 单调区间是一个整体概念,说函数的单调递减区间是I,指的是函数递减的最大范围为区间I,而函数在某一区间上单调,则指此区间是相应单调区间的子区间.所以我们在解决函数的单调性问题时,一定要仔细读题,明确条件含义. 跟踪训练3 例3中,若将“函数在区间(-∞,4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(-∞,4]”,则a为何值? 解析: 由例3知函数f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a], ∴1-a=4,a=-3. 求出函数的减区间,用端点值相等求出a. [基础巩固](25分钟,60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有 >0,则必有( ) A.函数f(x)先增后减 B.f(x)是R上的增函数 C.函数f(x)先减后增D.函数f(x)是R上的减函数 解析: 由 >0知,当a>b时,f(a)>f(b);当a 答案: B 2.下列函数中,在(0,2)上为增函数的是( ) A.y=-3x+2B.y= C.y=x2-4x+5D.y=3x2+8x-10 解析: 显然A、B两项在(0,2)上为减函数,排除;对C项,函数在(-∞,2)上为减函数,也不符合题意;对D项,函数在 上为增函数,所以在(0,2)上也为增函数,故选D. 答案: D 3.在下列函数f(x)中,满足对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1 A.f(x)=x2B.f(x)= C.f(x)=|x|D.f(x)=2x+1 解析: 因为对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1 答案: B 4.函数f(x)=x|x-2|的增区间是( ) A.(-∞,1]B.[2,+∞) C.(-∞,1],[2,+∞)D.(-∞,+∞) 解析: f(x)=x|x-2|= 作出f(x)简图如下: 由图象可知f(x)的增区间是(-∞,1],[2,+∞). 答案: C 5.函数y=f(x)在R上为增函数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值范围是( ) A.(-∞,-3) B.(0,+∞) C.(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(3,+∞) 解析: 因为函数y=f(x)在R上为增函数,且f(2m)>f(-m+9),所以2m>-m+9,即m>3. 答案: C 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.函数f(x)=-(x+2)2+1的单调递减区间为________. 解析: 函数f(x)=-(x+2)2+1的图象开口向下,对称轴为直线x=-2,在对称轴右侧函数单调递减,所以函数f(x)=-(x+2)2+1的单调递减区间为[-2,+∞). 答案: [-2,+∞) 7.若f(x)在R上是单调递减的,且f(x-2) 解析: 函数的定义域为R.由条件可知,x-2>3,解得x>5. 答案: (5,+∞) 8.函数y=|x2-4x|的单调减区间为________. 解析: 画出函数y=|x2-4x|的图象,由图象得单调减区间为: (-∞,0],[2,4]. 答案: (-∞,0],[2,4] 三、解答题(每小题10分,共20分) 9.判断并证明函数f(x)=- +1在(0,+∞)上的单调性. 解析: 函数f(x)=- +1在(0,+∞)上是增函数.证明如下: 设x1,x2是(0,+∞)上的任意两个实数,且x1 - = , 由x1,x2∈(0,+∞),得x1x2>0, 又由x1 于是f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1) ∴f(x)=- +1在(0,+∞)上是增函数. 10.作出函数f(x)= 的图象,并指出函数的单调区间. 解析: f(x)= 的图象如图所示. 由图象可知: 函数的单调减区间为(-∞,1]和(1,2];单调递增区间为(2,+∞). [能力提升](20分钟,40分) 11.若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f (1) (2) A.是增函数B.是减函数 C.先增后减D.单调性不能确定 解析: 函数单调性的定义突出了x1,x2的任意性,仅凭区间内有限个函数值的关系,不能作为判断函数单调性的依据,A,B,C错误,D正确. 答案: D 12.如果二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间 上是增函数,则实数a的取值范围为________. 解析: ∵函数f(x)=x2-(a-1)x+5的对称轴为x= 且在区间 上是增函数, ∴ ≤ ,即a≤2. 答案: (-∞,2] 13.画出函数y=-x2+2|x|+1的图象并写出函数的单调区间. 解析: y= 即y= 函数的大致图象如图所示,单调增区间为(-∞,-1],[0,1],单调减区间为[-1,0],[1,+∞). 14.已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x-2) 解析: ∵f(x)是定义在[-1,1]上的增函数, 且f(x-2) ∴ 解得1≤x< , 所以x的取值范围为 .
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- 数学 复习 知识点 专题 讲解 训练 函数 调性
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