学年重庆市高一上学期期末考试数学试题解析版.docx
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学年重庆市高一上学期期末考试数学试题解析版
重庆市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题
一、选择题:
本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.780°=( )
A.
B.
C.
D.
2.命题“∃x>0,2x<1”的否定是( )
A.∃x>0,2x≥1B.∀x<0,2x≥1
C.∀x>0,2x≥1D.∃x<0,2x<1
3.已知集合A={x|(x﹣2)(x+3)<0},B={x|log2(x﹣1)<1},则A∩B=( )
A.(1,2)B.(1,3)C.(﹣3,2)D.(﹣3,3)
4.“x>0且y>0”是“
”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.已知函数
在R上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,1〗B.〖1,3〗
C.〖3,+∞)D.(﹣∞,1〗∪〖3,+∞)
6.已知a=20.3,b=30.4,c=log0.20.3,则( )
A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.b>a>c
7.已知
,则
=( )
A.
B.
C.
D.
8.中国早在八千多年前就有了玉器,古人视玉为宝,佩玉不再是简单的装饰,而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩,其形状具体说来应该是扇形的一部分(如图2),经测量知AB=CD=4,BC=3,AD=7,则该玉佩的面积为( )
A.
B.
C.
D.
二、选择题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.函数
的图象是由函数y=sinx的图象经过变换得到,则这个变换可以是( )
A.先将图象向左平移
个单位,再将图象上所有点的横坐标变为原来的
倍
B.先将图象向右平移
个单位,再将图象上所有点的横坐标变为原来的
倍
C.先将图象上所有点的横坐标变为原来的
倍,再将图象向左平移
个单位
D.先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,再将图象向左平移
个单位
10.已知全集为U,A,B是U的非空子集且A⊆∁UB,则下列关系一定正确的是( )
A.∃x∈U,x∉A且x∈BB.∀x∈A,x∉B
C.∀x∈U,x∈A或x∈BD.∃x∈U,x∈A且x∈B
11.下列说法正确的是( )
A.若a>b>0,则c2lna>c2lnb
B.若x>0,则
C.不等式
的解集为〖
,+∞)
D.若a+b=2,则2a+2b≥4
12.已知α,β是一锐角三角形的内角,则下列不等关系一定正确的是( )
A.sinαsinβ<
B.cosαcosβ≤
C.sinα+sinβ>1D.cosα+cosβ<
三、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知幂函数f(x)的图象如图所示,则f(x)= .(写出一个正确结果即可)
14.将函数f(x)的图象先向左平移一个单位、再向上平移一个单位得到函数g(x)的图象,若g(x)为奇函数,则f(0)+f
(2)= .
15.已知x>0,y>0,2xy=x+y+4,则x+y的最小值为 .
16.设max
函数f(x)=max{21﹣x,4﹣|x﹣2|},若关于x的方程f(x)=t有三个不相等的实数解,则实数t的取值范围是 .
四、解答题:
本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)
(1)求值:
log427•log
2+(
)
•4
;
(2)已知角α的终边经过点P(2,3),求cos(
π﹣α)sin(π+α)+sin2α的值.
18.(12分)已知函数
.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)求不等式
在(0,π)上的解集.
19.(12分)已知函数f(x)=x+
+1(x>0).
(1)若f(x)的最小值为5,求正实数a的值;
(2)求证:
“f(x)在(2,+∞)上单调递增”的充要条件是“a≤4”.
20.(12分)已知a>0且a≠1,函数f(x)=loga(x2﹣x+a)的定义域为R.
(1)求a的取值范围;
(2)讨论关于x的不等式f(x)>1+logax的解集.
21.(12分)如图有一块半径为4,圆心角为
的扇形铁皮AOB,P是四弧AB上一点(不包括A,B),点M,N分别在半径OA,OB上.
(1)若四边形PMON为矩形,求其面积的最大值;
(2)若△PBN和△PMA均为直角三角形,求它们面积之和的取值范围.
22.(12分)已知函数f(x)=x2﹣ax+9﹣a,a∈R.
(1)若f(x)在〖0,1〗上的值域为〖4,6〗,求a的值;
(2)若关于x的不等式f(x)<0只有一个正整数解,求a的取值范围.
▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁
一、选择题:
本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.D
〖解析〗780°=
×π弧度=
弧度.故选:
D.
2.C
〖解析〗命题是特称命题,则否定是∀x>0,2x≥1.故选:
C.
3.A
〖解析〗集合A={x|(x﹣2)(x+3)<0}={x|﹣3<x<2},
B={x|log2(x﹣1)<1}={x|1<x<3},
则A∩B={x|1<x<2}.故选:
A.
4.A
〖解析〗①当x>0且y>0时,由基本不等式可得
,当且仅当x=y时取等号,∴充分性成立,
②当x=1且y=0时,满足
,但x>0且y>0不满足,∴必要性不成立,∴x>0且y>0是
的充分不必要条件,故选:
A.
5.B
〖解析〗当x≤1时,f(x)=﹣x2+2ax﹣a的对称轴为x=a,
由递增可得,1≤a,
当x>1时,指数函数是增函数;
由x∈R,f(x)递增,即有﹣1+2a﹣a≤2,解得a≤3.
综上可得,a的范围是1≤a≤3.故选:
B.
6.D
〖解析〗∵y=log0.2x在(0,+∞)上是减函数,
∴c=log0.20.3<log0.20.2=1,
又∵30.4>30.3>20.3>1,
∴b>a>1,∴b>a>c,故选:
D.
7.B
〖解析〗∵
,
∴
=sin(2α﹣
+
)=cos2(
)=1﹣2sin2(
)
=1﹣2×(
)2=
.
故选:
B.
8.A
〖解析〗如图所示,延长AB,DC交于点O,过点O作OE⊥BC于E,OF⊥AD于F,则点E,F分别为BC,AD的中点,且OB=OC,
因为BC∥AD,所以
=
,即
=
=
,解得OB=3=OC=BC,
所以△OBC是边长为3的等边三角形,所以∠BOC=
,
所以玉佩的面积S=S扇形﹣S△OBC=
•∠BOC•OA2﹣
BC•OE=
×
×72﹣
×3×
=
﹣
.故选:
A.
二、选择题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.AC
〖解析〗先将函数y=sinx的图象向左平移
个单位,可得y=sin(x+
)的图象,
再将图象上所有点的横坐标变为原来的
倍,可得函数
的图象,故A正确;
也可先将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标变为原来的
倍,可得y=sin2x的图象,
再将图象向左平移
个单位可得函数
的图象,故C正确,
故选:
AC.
10.ABC
〖解析〗∵A,B为U的两个非空子集,A⊆∁UB,
∴作出韦恩图如下:
对于A,∃x∈U,x∉A且x∈B成立,故A正确;
对于B,∀x∈A,x∉B一定成立,故B正确;
对于C,∀x∈U,x∈A或x∈B,故C正确;
对于D,∃x∈U,x∈A且x∈B不成立,故D错误.故选:
ABC.
11.BD
〖解析〗A:
当c=0时,则c2lna=c2lnb,∴A错误,
B:
∵若x>0,则x+
≥2
=4,当且仅当x=2时取等号,∴B正确,
C:
∵
,∴x4﹣2x2﹣3≥0且x≠0,
∴x2≥3或x2≤﹣1(舍去),∴x
或x
,
∴不等式的解集为(﹣∞,﹣
〗∪〖
,+∞),∴C错误,
D:
∵a+b=2,则2a+2b≥2
=2
=4,当且仅当a=b=1时取等号,
∴D正确,故选:
BD.
12.BD
〖解析〗因为α,β是一锐角三角形的内角,所以0<α,β<
,
令α=β=
,则sinαsinβ=
×
=
>
,故A错误;
由α+β>
,得α>
﹣β,则0<
﹣β<
,
因为0<2β<2π,所以0<sin2β≤1,0<
sin2β≤
,
cosαcosβ<sinβcosβ=
sin2β≤
,故B正确;
sinα+sinβ>cosβ+sinβ=
cos(β+
).
由0<β<
得
<β+
<
,所以﹣1<
cos(β+
)<1,故C错误;
cosα+cosβ<sinβ+cosβ=
sin(β+
),因为1<
sin(β+
)<
,故D正确.
故选:
BD.
三、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.x﹣2
〖解析〗由图像可知,函数f(x)是偶函数,x≠0且α<0,
故幂函数的〖解析〗式可以为f(x)=x﹣2,故〖答案〗为:
x﹣2.
14.﹣2
〖解析〗由题意知f(x+1)+1=g(x),
∵g(x)为奇函数,∴g(﹣x)=﹣g(x),
即f(﹣x+1)+1=﹣f(x+1)﹣1,得f(x+1)+f(1﹣x)=﹣2,
令x=1,得f
(2)+f(0)=﹣2,故〖答案〗为:
﹣2.
15.4
〖解析〗∵x>0,y>0,∴xy≤
,
∵2xy=x+y+4,∴x+y+4≤
,即(x+y)2﹣2(x+y)﹣8≥0,
解得x+y≥4或x+y≤﹣2(舍去),
即x+y≥4,当且仅当x=y=2时等号成立,
所以x+y的最小值4,故〖答案〗为:
4.
16.(2,4)
〖解析〗由题意知,令21﹣x=4﹣|x﹣2|,解得x=0,x=x2,
根据max{a,b}=
,得f(x)=
,
作出函数f(x)的图象如图所示,
由方程f(x)﹣t=0有3个不等的根,
得函数y=f(x)图象与直线y=t有3个不同的交点,
由图象可得,当2<t<4时函数y=f(x)图象与直线y=t有3个不同的交点,
所以t的取值范围为2<t<4.故〖答案〗为:
(2,4).
四、解答题:
本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解:
(1)log427•log
2+(
)
•4
=
•(﹣log32)+
•
=
log23•(﹣log32)+
•32=﹣
+4=
.
(2)因为角α的终边经过点P(2,3),
所以sinα=
,cosα=
,
所以cos(
π﹣α)sin(π+α)+sin2α=(﹣sinα)•(﹣sinα)+2sinαcosα=sin2α+2sinαcosα
=
+2×
×
=
.
18.解:
(1)函数
=
﹣
sin2x
=
﹣sin(2x+
),
由2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
,k∈Z,得kπ+
≤x≤kπ+
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- 学年 重庆市 高一上 学期 期末考试 数学试题 解析