届高三数学一轮复习 第10章 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理.docx
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第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
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[五年考情]
考点
2016年
2015年
2014年
2013年
2012年
计数原理、排列组合
全国卷Ⅱ·T5,
全国卷Ⅲ·T12
全国卷·T2
二项式定理
全国卷Ⅰ·T14
全国卷Ⅰ·T10
全国卷Ⅱ·T15
全国卷Ⅱ·T13
全国卷Ⅰ·T9
全国卷Ⅱ·T5
随机事件的概率、古典概型与几何概型
全国卷Ⅰ·T4
全国卷Ⅱ·T10
全国卷Ⅰ·T5
全国卷Ⅱ·T5
全国卷Ⅱ·T14
条件概率、二项分布、离散型随机变量的分布列、均值与方差
全国卷Ⅰ·T19
全国卷Ⅱ·T18
全国卷Ⅰ·T4
全国卷Ⅱ·T18
全国卷Ⅰ·T19
全国卷Ⅱ·T19
全国卷·T18
[重点关注]
综合近5年全国卷高考试题,我们发现高考命题在本章呈现以下规律:
1.从考查题型看:
一般有1~2个客观题,1个解答题;从考查分值看,占10~22分,基础题主要考查对基础知识和基本方法的应用意识,中档题主要考查转化与化归思想及运算求解能力.
2.从考查知识点看:
主要考查计数原理、排列与组合、二项式定理、随机事件的概率、古典概型与几何概型、离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差.
3.从命题思路上看:
(1)计数原理、排列组合与古典概型相结合考查.
(2)几何概型与线性规划、定积分等知识相结合考查.
(3)随机事件的概率、离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差和统计知识交汇考查.
(4)相互独立事件、二项分布、超几何分布、正态分布、实际问题等其他知识交汇考查.
[导学心语]
1.全面系统复习,深刻理解知识本质
(1)重视计数原理、二项式定理的理解,深刻把握排列组合、随机事件、古典概型、几何概型、离散型随机变量及其分布列、条件概率、二项分布、离散型随机变量的均值与方差、正态分布等概念,研究事件的概率,注意该事件的特征,用适当的概率模型求解.
(2)注意各类概率公式和概率模型的理解和应用,掌握其适用条件和用法.
2.抓住重点、针对训练
通过对近5年全国卷高考试题分析,可以预测,在2017年,本章问题考查的重点是:
(1)计数原理、二项式定理、古典概型、几何概型.
(2)离散型随机变量及其分布列、期望与方差.做针对性训练,通过小题强化概率各种题型的计算,通过解答题训练巩固离散型随机变量及分布列问题.
3.重视转化与化归思想的应用
研究计数原理、概率、随机变量及其分布列问题,转化与化归思想贯穿始终,首先需要将实际问题转化为相应的计数问题、排列组合问题、概率计算问题、离散型随机变量的分布列与均值、方差等的计算问题,其次将概率的计算转化为计数问题、长度或面积的计算问题,将求分布列问题转化为概率的计算问题,将复杂事件的概率计算转化为简单事件的概率计算.
第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
[考纲传真] 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类”和“步”,并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.( )
(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.( )
(3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( )
(4)在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.( )
[答案]
(1)×
(2)√ (3)√ (4)×
2.(教材改编)从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同数字相加,其和为偶数的不同取法的种数有( )
A.30 B.20
C.10 D.6
D [从0,1,2,3,4,5六个数字中,任取两数和为偶数可分为两类:
①取出的两数都是偶数,共有3种方法;②取出的两数都是奇数,共有3种方法,故由分类加法计数原理得共有N=3+3=6种.]
3.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有( )
A.30个B.42个
C.36个D.35个
C [∵a+bi为虚数,∴b≠0,即b有6种取法,a有6种取法,
由分步乘法计数原理知可以组成6×6=36个虚数.]
4.(2016·全国卷Ⅱ)如图1011,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
图1011
A.24B.18
C.12D.9
B [分两步,第一步,从E→F,有6条可以选择的最短路径;第二步,从F→G,有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3=18条可以选择的最短路程.]
5.现有4种不同的颜色要对如图1012所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有________种.
图1012
48 [按A→B→C→D顺序分四步涂色,共4×3×2×2=48种不同的着色方法.]
分类加法计数原理
(1)三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有( )
A.4种 B.6种
C.10种 D.16种
(2)(2017·青岛二中月考)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为( )
【导学号:
01772376】
A.14B.13
C.12D.10
(1)B
(2)B [
(1)分两类:
甲第一次踢给乙时,满足条件有3种方法(如图),甲乙丙乙甲甲乙甲丙甲
同理,甲先传给丙时,满足条件有3种方法.
由分类加法计数原理,共有3+3=6种传递方法.
(2)①当a=0时,有x=-
,b=-1,0,1,2,有4种可能;
②当a≠0时,则Δ=4-4ab≥0,ab≤1,
(ⅰ)当a=-1时,b=-1,0,1,2,有4种可能;
(ⅱ)当a=1时,b=-1,0,1,有3种可能;
(ⅲ)当a=2时,b=-1,0,有2种可能.
∴有序数对(a,b)共有4+4+3+2=13个.]
[规律方法] 1.第
(2)题常见的错误:
(1)想当然认为a≠0;
(2)误认为a≠b.
2.分类标准是运用分类计数原理的难点所在,应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置.
(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.
(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法,不能重复.
[变式训练1] 从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为( )
A.3 B.4
C.6 D.8
D [以1为首项的等比数列为1,2,4;1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.
以4为首项的等比数列为4,6,9.
把这4个数列的顺序颠倒,又得到另外的4个数列,
∴所求的数列共有2(2+1+1)=8个.]
分步乘法计数原理
(1)(2017·山东威海模拟)某学校开设“蓝天工程博览课程”,组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有( )
A.C
·45种 B.A
·54种
C.C
·A
种D.C
·54种
(2)有六名同学报名参加三个智力项目,每项限报一人,且每人至多参加一项,则共有________种不同的报名方法.
(1)D
(2)120 [
(1)有两个年级选择甲博物馆共有C
种情况,其余四个年级每个年级各有5种选择情况,
故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有C
×54种.
(2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目只有4种选法,由分步乘法计数原理,得共有报名方法6×5×4=120种.]
[规律方法] 1.利用分步乘法计数原理应注意:
(1)要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的.
(2)各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各步骤都完成才算完成这件事.
2.在第
(1)题中,除仅有两个年级选择甲博物馆外,其余4个年级易错误认为有45种选择方法.导致错选A项.
[变式训练2]
(1)设集合A={-1,0,1},B={0,1,2,3},定义A*B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B},则A*B中元素的个数为________.
(2)将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同的分法的种数为________.(用数字作答)
(1)10
(2)8 [
(1)易知A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3},
∴x有2种取法,y有5种取法,
由分步乘法计数原理,A*B的元素有2×5=10个.
(2)第1步把甲、乙分到不同班级有A
=2种分法.
第2步分丙、丁:
①丙、丁分到同一班级有2种分法,②丙、丁分到两个不同的班级有A
=2种分法.
由计数原理,不同的分法为2×(2+2)=8种.]
两个计数原理的综合应用
(1)(2017·杭州调研)已知集合M={1,2,3,4},集合A,B为集合M的非空子集,若对∀x∈A,y∈B,x 【导学号: 01772377】 (2)如图1013,矩形的对角线把矩形分成A,B,C,D四部分,现用5种不同颜色给四部分涂色,每部分涂1种颜色,要求共边的两部分颜色互异,则共有________种不同的涂色方法. 图1013 (1)17 (2)260 [ (1)当A={1}时,B有23-1种情况;当A={2}时,B有22-1种情况;当A={3}时,B有1种情况;当A={1,2}时,B有22-1种情况;当A={1,3},{2,3},{1,2,3}时,B均有1种情况, 所以满足题意的“子集对”共有7+3+1+3+3=17(个). (2)区域A有5种涂色方法;区域B有4种涂色方法;区域C的涂色方法可分2类: 若C与A涂同色,区域D有4种涂色方法;若C与A涂不同色,此时区域C有3种涂色方法,区域D也有3种涂色方法, 所以共有5×4×4+5×4×3×3=260种涂色方法.] [规律方法] 1. (1)注意在综合应用两个原理解决问题时,一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理. (2)注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题,可恰当地画出示意图或列出表格,使问题形象化、直观化. 2.解决涂色问题,可按颜色的种数分类,也可按不同的区域分步完成,第 (2)题中,由于共边的区域不同色,从而是按区域A与区域C是否同色分类处理的. [变式训练3] (2017·厦门市联考)用a代表红球,b代表蓝球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如: “1”表示一个球都不取,“a”表示取出一个红球,而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( ) A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5) B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5) C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5) D.(1+a5)(1+b5) A [分两步: 第一步,5个无区别的红球可能取出0个,1个,…,5个,则有1+a+a2+a3+a4+a5种不同的取法. 第二步,5个无区别的蓝球都取出或都不取出,则有1+b5种不同取法. 由分步乘法计数原理,共有(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)种取法.] [思想与方法] 1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成一件事的不同方法的种数.区别在于: 分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成. 2.涉及加法与乘法原理的混合问题一般是先分类再分步. 3.要恰当画出示意图或树状图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律. [易错与防范] 1.切实理解“完成一件事”的含义,以确定需要分类还是需要分步进行. 2.分类的关键在于要做到“不重不漏”,分步的关键在于要正确设计分步的程序,即合理分类,准确分步. 3.确定题目中是否有特殊条件限制.
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