学年最新北京市朝阳区高三第一学期期中模拟考试数学理试题1及答案精编试题.docx
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学年最新北京市朝阳区高三第一学期期中模拟考试数学理试题1及答案精编试题
高三年级第一学期期中模拟统一考试
数学试卷(理工类)
(考试时间120分钟满分150分)
本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分
第一部分(选择题共40分)
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知全集,集合,,则
A.
B.
C.
D.
2.下列函数中,在其定义域上既是偶函数又在上单调递减的是
A.
B.
C.
D.
3.若,,,则,,的大小关系是
A.B.C.D.
4.已知函数,若对任意,且,不等式恒成立,则实数的取值范围是
A.B.C.D.
5.设且,“不等式”成立的一个充分不必要条件是
A.B.C.D.
6.已知三角形外接圆的半径为(为圆心),且,,则等于
A.B.C.D.
7.已知函数则函数的零点个数是
A.4B.3C.2D.1
8.5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排,下列说法正确的是
A.总存在一个黑球,它右侧的白球和黑球一样多
B.总存在一个白球,它右侧的白球和黑球一样多
C.总存在一个黑球,它右侧的白球比黑球少一个
D.总存在一个白球,它右侧的白球比黑球少一个
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.
9.已知平面向量.若//,则.
10.函数的单调递减区间为.
11.各项均为正数的等比数列的前项和为.若,,则,.
12.已知角A为三角形的一个内角,且,则,.
13.已知函数在上是具有单调性,则实数的取值范围.
14.《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作,书中有如下问题:
“今有良马与驽马发长安,至齐.齐去长安三千里,良马初日行一百九十三里,日增一十三里,驽马初日行九十七里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马,问几何日相逢.”其大意为:
“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去,已知长安和齐的距离是3000里,良马第一天行193里,之后每天比前一天多行13里,驽马第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里.良马到齐后,立刻返回去迎驽马,多少天后两马相遇.”试确定离开长安后的第天,两马相逢.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)
已知数列是公差不为0的等差数列,,且成等比数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设数列的前项和为,求证:
.
16.(本小题满分13分)
已知函数()的图象经过点.
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)若,求的取值范围.
17.(本小题满分13分)
如图,已知四点共面,,,,,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的长.
18.(本小题满分13分)
已知函数,.
(Ⅰ)若函数是偶函数,试求的值;
(Ⅱ)当时,求证:
函数在上单调递减.
19.(本小题满分14分)
已知函数,.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)若函数在上单调递减,试求的取值范围;
(Ⅲ)若函数的最小值为,试求的值.
20.(本小题满分14分)
设是正奇数,数列()定义如下:
,对任意,是的最大奇约数.数列中的所有项构成集合.
(Ⅰ)若,写出集合;
(Ⅱ)对,令表示中的较大值),求证:
;
(Ⅲ)证明集合是有限集,并写出集合中的最小数.
数学答案(理工类)
一、选择题:
(满分40分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
D
C
A
B
A
二、填空题:
(满分30分)
题号
9
10
11
12
13
14
答案
(注:
两空的填空,第一空3分,第二空2分)
三、解答题:
(满分80分)
15.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)设的公差为.
因为成等比数列,所以.
即.
化简得,即.
又,且,解得.
所以有.…………………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:
.
所以.
因此,.…………………13分
16.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)因为函数的图象经过点,
所以
解得.…………………3分
所以.
所以最小正周期为.…………………6分
(Ⅱ)因为,所以
所以当,即时,取得最大值,最大值是;
当,即时,取得最小值,最小值是
所以的取值范围是.…………………13分
17.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)在△中,因为,所以.
由正弦定理得,
.…………5分
(Ⅱ)在△中,由得,
.
所以.解得或(舍).
又因为
.
在△中,因为
,
所以.…………13分
18.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)因为函数是偶函数,
所以
恒成立.
所以.…………………4分
(Ⅱ)由题意可知.
设,则.注意到,.
由,即,解得.
由,即,解得.
所以在单调递减,单调递增.
所以当,,所以在单调递减,
当,,所以在单调递减,
所以当时,函数在上单调递减.……………………13分
19.(本小题满分14分)
解:
由题意可知.
(Ⅰ)因为,则,,
所以函数在点处的切线方程为.
即.…………………3分
(Ⅱ)因为函数在上单调递减,
所以当时,恒成立.
即当时,恒成立.
显然,当时,函数单调递减,
当时,函数单调递增.
所以要使得“当时,恒成立”,
等价于即所以.…………………8分
(Ⅲ)设,则.
当,即时,,所以.
所以函数在单增,所以函数没有最小值.
当,即时,令得,
解得
随着变化时,和的变化情况如下:
+
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
当时,.
所以.
所以.
又因为函数的最小值为,
所以函数的最小值只能在处取得.
所以.
所以.
易得.
解得.…………………………………14分
以下证明解的唯一性,仅供参考:
设
因为,所以,.
设,则.
设,则.
当时,,从而易知为减函数.
当,;当,.
所以方程只有唯一解.
20.(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)数列为:
9,15,3,9,3,3,3,…….
故集合.……………3分
(Ⅱ)证明:
由题设,对,,都是奇数,所以是偶数.
从而的最大奇约数,
所以,当且仅当时等号成立.
所以,对有,
且.
所以,当且仅当时等号成立.………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,有.
所以对,有.
又是正奇数,且不超过的正奇数是有限的,
所以数列中的不同项是有限的.
所以集合是有限集.
集合中的最小数是的最大公约数.……………14分
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