建模路灯照明问题.docx
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建模路灯照明问题
建模-路灯照明问题
数学实验与数学建模
路灯照明问题
年级:
20121060025
班级:
电子信息科学与技术
学生姓名:
吕佳琪
学号:
20121060025
云南大学信息学院
路灯照明问题。
在一条20m宽的道路两侧,分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯,它们离地面的高度分别为5m和6m。
在漆黑的夜晚,当两只路灯开启时,两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里?
如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化,如何路面上最暗点的亮度最大?
如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化,结果又如何?
摘要
点和最亮点。
查阅资料知:
光照强度公式为I=k^^根据题意可建立坐标轴,假设两只路灯在道路上的照射半径的长度之和为20IH,可得路面上某点的照度为两只路灯在该点的照度之和。
列出方程,利用MATLAB软件进行求解,
求出该方程的最值(即最暗点与最亮点及其亮度)。
一、问题重述
在一条20m宽的道路两侧,分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯,它们离地面的高度分别为5m和6m。
在漆黑的夜晚,当两只路灯开启时,两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里?
如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变
化,如何路面上最暗点的亮度最大?
如果两只路灯的高度均
可以在3m到9m之间变化,结果又如何?
二、模型假设
1.假设把两个路灯视为质点;
2.假设忽略对路灯光照强度其他因素的影响;
3.假设路灯为同一型号;
4.假设路灯的光照强度Ik卩乌;
r
5.假设把两只路灯连线的路面视为一条直线;
6.假设两路灯在路上的照射半径长度之和为20m
7.假设路灯正常工作;
三、变量说明
K路灯光照强度系数
P路灯的功率
S道路的宽度
ai路灯光线与地面的夹角
Ri路灯到路面上某点的距离
hi路灯离地面的垂直距离
X2KW路灯的投影到路面上某点
的距离
l(x)路面上某点的光照强度
四、问题分析
问题一根据两路灯间的距离关系建立坐标轴,利用路灯光照
强度的计算公式列出方程,再用MATLAB软件求解。
问题二
由于h2的高度可变,在问题一建立的方程的基础上,先对X
求偏导,再对h2求偏导,最后用MATLAB软件编程求解。
问题三因为hi和h2的高度都可变,同问题二,依次对X,hi,h2求偏导
五、模型的建立
由题意可得下图
S
假定路灯光照强度系数k=1
问题一:
由题意得,
设Q(x,O)点为两盏路灯连线上的任意一点,则两盏路灯在Q
点的照度分别为
要求最暗点和最亮点,即求函数l(x)的最大值和最小值,则可先求出函数的极值点
x3P1h1x3P2ho(sx)30x54(20x)
I(x)=,={{=
&h2x2)5$(忙(sx)2)57(25x2)57(36(20x)2)5利用MATLAB求得i'(x)0时x的值
代码:
s=solve('(-30*x)/((25+xA2)A(5/2))+(54*(20-x))/((3
6+(20-x)A2)A(5/2))');
s1=vpa(s,8);
si
运行结果:
si=
19.97669581
9.338299136
8.538304309-11.61579012*i.2848997038e-1
8.538304309+11.61579012*
因为x>=0,选取出有效的x值后,利用MATLAB求出对应的l(x)的值,如下表:
x
0
0.02848
9970
9.33829
91
19.9766
95
20
0.08197
0.08198
0.01824
0.08447
0.08447
l(x)
716
104
393
655
468
综上所述,x=9.33m时,为最暗点;
x=19.97m时,为最亮点。
问题二:
3KW的路灯的高度可以在3M到9M之间变化变化时,
Q点的照度为关于x和h2的二元函数:
I(.)Re103h2
x,,(h2x2)3.(忙(sx)2)3、(25x2)3、(忙(20x)2)3
最亮点
2
IP23F2h2
h2.,(hf(sx)2)3(h;(sx)2)5
利用matlab求x:
solve('3/((hA2+(20-x)A2)A(3/2))-3*(3*hA2)/((hA2
+(20-x)A2)A(5/2))=0')
ans=
20+2A(1/2)*h
20-2A(1/2)*h
即x1=20+2A(1/2)*h(舍去)x2=20-2A(1/2)*h
I3Rhx3F2b(sx)-30(20V2h)9h,(20x)n
x..(h2x2)5..(h(sx)2)5,(25x2)5(h;(20x)2)5
利用matlab求解h2
solve('-30*(20-2A(1/2)*h)/((25+(20-2A(1/2)*h)A2)
A(5/2))+9*h*(20-(20-2A(1/2)*h))/((hA2+(20-(20-2
A(1/2)*h))A2)A(5/2))=0')
ans=
7.4223928896768612557104509932965
14.120774098526835657369742179215
因为h在3vx<9之间,所以h2=7.42239m
再利用matlab求解x和亮度I
算法:
h=7.42239;
x=20-2A(1/2)*h
I=10/((25+xA2)A(3/2))+(3*h)/((hA2+(20-x)A2)A(3
/2))
结果:
9.5032
0.0186
可得,x=9.5032,h2=7.42239时,最暗点的亮度最大,为0.0186w。
问题三:
如果两只灯的高度均可在3M到9M之间变化,则
I为关于x,h1,h2的三元函数,同解可得
I3P1h1x3F2h2(sx)6h|X9h2(20x)
x(h2x2)5,(h;(sx)2)5.(hi2x2)5,(h|(20x)2)5
hi
利用matlab求解x,m,h2的值:
算法:
solve('1/((20-x)A3)=2/(3*(xA3))');s1=vpa(s,6);
a=(1/sqrt
(2))*s1;a1=double(a);b=(1/sqrt
(2))*(20-s1);b仁double(b);
a1,b1,s1
结果:
a1=
6.5940
5.1883+12.0274i
5.1883-12.0274i
bl=
7.5482
8.9538-12.0274i
8.9538+12.0274i
si=
9.32530
7.33738+17.0093*
7.33738-17.0093*i
可得,hi=6.5940,h2=7.5482,x=9.32530时,最暗点的亮
度最大
六、模型评价
优点:
通过查阅资料,可得出题中未给出的路灯光照强度计算公式,问题二、问题三的逐步深入,使得题目较为应用化和意义化,增强了题目的应用价值,并且我们也可以利用该题的结果设置需要灯光的建筑物的位置。
缺点:
该模型的路灯光照强度计算公式,存在一定误差。
比如路灯本身不是质点等。
七、参考文献
[1]宗荣、施继红、尉洪、李海燕.数学实验.云南大学出版
社.2009年12月第1版
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- 建模 路灯 照明 问题