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北大版金融数学引论答案
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第二章习题答案
1.某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。
如果它们前十年每年底存
款1000元,后十年每年底存款1000+X元,年利率7%。
计算X。
解:
S=1000s20p7%+Xs10p7%
X=
500001000s20p7%
s10p7%
=
2.价值10,000元的新车。
购买者计划分期付款方式:
每月底还250元,期限4年。
月结算名利率18%。
计算首次付款金额。
解:
设首次付款为X,则有
10000=X+250a48%
解得
X=
3.设有n年期期末年金,其中年金金额为n,实利率i=1。
试计算该年金的现值。
解:
PV=nanpi
1vn
n
=n
1
n
=
(n+1)nn2nn+2
(n+1)n
4.已知:
anp=X,a2np=Y。
试用X和Y表示d。
解:
a2np=anp+anp(1d)n则
YX
d=1(
X
)
5.已知:
a7p=,a11p=,a18p=。
计算i。
解:
a18p=a7p+a11pv7
解得
6.证明:
1
1v=
s
+a。
s
i=%
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证明:
s10p+a∞p
(1+i)1+1
1
s10p
=
i
(1+i)1
i
i
=
1v10
7.已知:
半年结算名利率6%,计算下面10年期末年金的现值:
开始4年每半
年200元,然后减为每次100元。
解:
PV=100a8p3%+100a20p3%=
8.某人现年40岁,现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元,共计25年。
然
后,从65岁开始每年初领取一定的退休金,共计15年。
设前25年的年利率为8%,
后15年的年利率7%。
计算每年的退休金。
解:
设每年退休金为X,选择65岁年初为比较日
1000¨25p8%=X¨15p7%
解得
9.已知贴现率为10%,计算¨8p。
X=
解:
d=10%,则i=1
10.求证:
(1)¨np=anp+1vn;
1d1=19
¨8p=(1+i)
1v8
i
=
(2)¨np=snp1+(1+i)n
并给出两等式的实际解释。
证明:
(1)¨np=1dv=1v=1v
i+1vn
所以
(2)¨np=(1+i)1
¨np=anp+1vn
(1+i)1=(1+i)1
n1
d=
i+(1+i)
所以
¨np=snp1+(1+i)n
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12.从1980年6月7日开始,每季度年金100元,直至1991年12月7日,季结算名利
率6%,计算:
1)该年金在1979年9月7日的现值;2)该年金在1992年6月7日的终
值。
解:
PV=100a49%100a%=
AV=100s49%100s%=
13.现有价值相等的两种期末年金A和B。
年金A在第1-10年和第21-30年中每
年1元,在第11-20年中每年2元;年金B在第1-10年和第21-30年中每年付款金
额为Y,在第11-20年中没有。
已知:
v10=1,计算Y。
解:
因两种年金价值相等,则有
2
a30pi+a10piv10=Ya30piYa10piv10
所以Y=3v2v
1+v2v=
14.已知年金满足:
2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36;另
外,递延n年的2元n期期末年金的现值为6。
计算i。
解:
由题意知,
2a2npi+3anpi=36
2anpivn=6
解得
a7p
a3p+sXp
i=%
15.已知
a11p
=
aYp+sZp
。
求X,Y和Z。
解:
由题意得
解得
1v7
1v11
=
(1+i)Xv3
(1+i)ZvY
16.化简a15p(1+v15+v30)。
解:
X=4,Y=7,Z=4
a15p(1+v15+v30)=a45p
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17.计算下面年金在年初的现值:
首次在下一年的4月1日,然后每半年一
次2000元,半年结算名利率9%。
解:
年金在4月1日的价值为P=1+%
%×2000=,则
PV=
P
(1+i)2+
=
18.某递延永久年金的买价为P,实利率i,写出递延时间的表达式。
解:
设递延时间为t,有
1
解得
t=ln(1+lniPi)
P=
i
vt
19.从现在开始每年初存入1000元,一直进行20年。
从第三十年底开始每年领取一
定的金额X,直至永远。
计算X。
解:
设年实利率为i,由两年金的现值相等,有
X
1000¨20pi=
i
v29
解得
X=1000((1+i)30(1+i)10)
20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D:
前n年,A、B和C三人
平分每年的年金,n年后所有年金由D一人继承。
如果四人的遗产份额的现值相
同。
计算(1+i)n。
解:
设遗产为1,则永久年金每年的年金为i,那么A,B,C得到的遗产的现值
为i
3anpi
,而D得到遗产的现值为vn。
由题意得
所以
1vn
3
(1+i)n=4
=vn
21.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊,A接受第一个n年,B接受第二
个n年,C接受第三个n年,D接受所有剩余的。
已知:
C与A的份额之比为,
求B与D的份额之比。
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解:
由题意知
那么
PVC
PVA
PVB
=
=
anpv2n
anp
anpvn
13n
=
=
PVD
iv
元年利率%的贷款从第五年底开始每年还贷100元,直至还清,如果最
后一次的还款大于100元。
计算最后一次还款的数量和时间。
100a%v4<1000
解:
100an+1%v4>1000
解得n=17
列价值方程
解得
100a16%+Xv21=1000
X=
年的期末年金每次4元,另有18年的期末年金每次5元;两者现值相等。
如果
以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍,计算n。
解:
两年金现值相等,则4×a36pi=5×18,可知v18=
由题意,(1+i)n=2解得n=9
24.某借款人可以选择以下两种还贷方式:
每月底还100元,5年还清;k个月后一
次还6000元。
已知月结算名利率为12%,计算k。
解:
由题意可得方程
100a60p1%=6000(1+i)k
解得
25.已知a2pi=,求i。
解:
由题意得
解得
k=29
1v2=
i=%
26.某人得到一万元人寿保险赔付。
如果购买10年期末年金可以每年得到1538元,20年
的期末年金为每年1072元。
计算年利率。
解:
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27.某人在银行中存入一万元10年定期存款,年利率4%,如果前5年半内提前支
取,银行将扣留提款的5%作为惩罚。
已知:
在第4、5、6和7年底分别取出K元,
且第十年底的余额为一万元,计算K。
解:
由题意可得价值方程
10000=105Ka2p4%v3+Ka2p4%+10000v10
则K=1000010000v
105av+av=
28.贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。
第一次的还款额为后面还款的一半,
前四年半的年利率为i,后面的利率为j。
计算首次付款金额X的表达式。
解:
选取第一次还款日为比较日,有价值方程
P(1+i)=X+2Xa4pi+2Xa5pj(1+i)4
所以
P(1+i)
X=
1+2a4pi+2a5pj(1+i)4
29.已知半年名利率为7%,计算下面年金在首次付款8年后的终值:
每两年付
款2000元,共计8次。
解:
30.计算下面十年年金的现值:
前5年每季度初支付400元,然后增为600元。
已知
年利率为12%。
(缺命令)
解:
PV=4×400+4×600v5=
31.已知半年结算的名贴现率为9%,计算每半年付款600元的十年期初年金的现
值表达式。
解:
32.给出下面年金的现值:
在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。
解:
PV=
1
s4pi
a24piv3=
(1+i)241
(1+i)27[(1+i)41]
=
a28pa4p
s3p+s1p
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元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末
年金代替,半年换算名利率4%,求R的表达式。
解:
设年实利率为i,则(1+2%)2=1+i。
有题意得
750
i
+
750
s20pii
=Ra30pi
解得
R=
34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91,计算年利率。
解:
由题意知
解得
i=20%
1
is3pi
=
125
91
35.已知:
1元永久期初年金的现值为20,它等价于每两年付款R元的永久期初年
金,计算R。
解:
由题意得
解得
R=
20=
1
d
=
R
a2pii
36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。
试用贴现率表示递延
时间。
(2)
解:
设贴现率为d,则1+i
2
=
1
(1d)
设递延时间为t,由题意得
10000=2×500vt¨
(2)∞p
解得
t=
ln20+ln(1(1d))
ln(1d)
37.计算:
3a
(2)np=2a
(2)2np=45s
(2)1p,计算i。
解:
ii
3×anpi=2×
anpi=45×
i
s1pi
解得:
vn=1
i=
1
i
(2)
。
i2
i2
2
30
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38.已知i(4)=16%。
计算以下期初年金的现值:
现在开始每4个月付款1元,
共12年。
(问题)
解:
39.已知:
δt=1+1t。
求ˉnp的表达式。
解:
ˉnp=
∫n
0
eRδdsdt=ln(1+n)
40.已知一年内的连续年金函数为常数1,计算时刻t,使得只要在该时刻一次性支
付一个货币单位,则两种年金的现值相等。
解:
第一种年金的现值为
∫1
0
vtdt=
1eδ
δ
第二种年金的现值为eδt,则
所以t=1+1δlnδi
1eδ
δ
=eδt
41.已知:
δ=。
计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现
值。
(结果和李凌飞的不同)
解:
设季度实利率为i。
因a(t)=eδt,则eδ=(1+i)所以
1v80
PV=100¨80pi=100(1+i)
i
=
42.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。
同时每年以2400元的固定
速连续地从基金中取钱,该基金可以维持多少时间
解:
设年实利率为i,则i=eδ1
设基金可维持t年,由两现值相等得
40000=2400atpi
解得
t=28
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43.已知某永久期末年金的金额为:
1,3,5,...。
另外,第6次和第7次付款的现值
相等,计算该永久年金的现值。
解:
由题意:
11
13
(1+i)=(1+i)i=112
PV=v+3v2+···+(2n1)vn+···
=v[1+PV+2(v+v2+···)]
=v(1+PV+2v
解得:
PV=66
1v)
44.给出现值表达式Aanp+B(Da)n|所代表的年金序列。
用这种表达式给出如
下25年递减年金的现值:
首次100元,然后每次减少3元。
解:
年金序列:
A+nB,A+(n1)B,...,A+2B,A+B
所求为25a25p+3(Da)25|
45.某期末年金(半年一次)为:
800,750,700,...,350。
已知半年结算名利率
为16%。
若记:
A=a10p8%,试用A表示这个年金的现值。
解:
考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减,故有:
2×(10A)
300a10p8%+500(Da)10|8%=300A+
i
(2)
=6250325A
46.年利率8%的十年储蓄:
前5年每年初存入1000元,然后每年递增5%。
计算第
十年底的余额。
解:
由题意:
AV=1000s5p8%(1+8%)6+(1000××+
1000××+···+1000××
=1000
(1+8%)51
8%
+1000××
1
5
=
47.已知永久年金的方式为:
第5、6年底各100元;第7、8年底各200元,第9、10年
底各300元,依此类推。
证明其现值为:
v4
100
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ivd
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解:
把年金分解成:
从第5年开始的100元永久年金,从第7年开始的100元永久
年金...。
从而
PV=v4
100
1
1
=100v4
1
1
=100
v4
i
a2pi
i
i1v2
ivd
48.十年期年金:
每年的1月1日100元;4月1日200元;7月1日300元;10月1日400元。
证明其现值为:
1600¨10p(I(4)¨)(4)1|元
证:
首先把一年四次的付款折到年初:
m=4,n=1,R=100m2=1600
从而每年初当年的年金现值:
1600(I(4)¨)(4)元
再贴现到开始时:
1|
1600¨10p(I(4)¨)(4)1|元
49.从现在开始的永久年金:
首次一元,然后每半年一次,每次增加3%,年利
率8%,计算现值。
解:
半年的实利率:
j=(1+8%)1=%
PV=1+
1+j
+
(1+j)2
+···
=(1
1+j
)1
=
50.某人为其子女提供如下的大学费用:
每年的前9个月每月初500元,共计4年。
证明当前的准备金为:
6000¨4p¨(12)9/12|
证:
首先把9个月的支付贴现到年初:
m=12,n=9/12,R=500m=6000从而
每年初当年的年金现值:
6000¨(12)
贴现到当前:
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9/12|
6000¨4p¨(12)9/12|
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51.现有如下的永久年金:
第一个k年每年底还;第二个k年每年底还2R;第三
个k年每年底还3R;依此类推。
给出现值表达式。
解:
把此年金看成从第nk年开始的每年为R的永久年金(n=0,1,2,···):
每个年金的值为
Ra∞p
在分散在每个k年的区段里:
Ra∞|
ak|
再按标准永久年金求现值:
R(a∞|)2
ak|
表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值,20X表示首次付款
从第三年底开始的永久年金:
1,2,3,···的现值。
计算贴现率。
解:
由题意:
X=1
1
i1+i
20X=(1
1
1
解得:
i=
i+i)(1+i)
即:
d=i
1+i=
53.四年一次的永久年金:
首次1元,每次增加5元,v4=,计算现值。
与原答
案有出入
解:
(期初年金)
PV=1+6v4+11v9+···=
(期末年金)
∑∞
(5n4)v(4n4)=
i=1
5
(1v4)2
4
1v4
=64
PV¨=v+6v5+11v10+···=v·PV=
54.永久连续年金的年金函数为:
(1+k)t,年利率i,如果:
0 金现值。 与原答案有出入 解: 由于0 PV= ∫∞∫∞ (1+k)teδtdt=( 00 1+k 1+i )tdt= 1 ln(1+i)ln(1+k) 北京大学数学科学学院金融数学系 第11页 版权所有,翻版必究 55.递延一年的13年连续年金的年金函数为t21,利息力为(1+t)1,计算该年 金现值。 与原答案有出入 解: PV=exp( ∫1 0 1 1+t dt) ∫14 1 (t21)exp( ∫t1 0 1 1+s ds)dt= 56.给出下列符号的表达式: ∑n (Ia)t|和 t=1 解: 由(Ia)t|表达式有: ∑n (Da)t| t=1 ∑n (Ia)t|= t=1 = ∑ n ¨tptvt i t=1 1∑n1∑ ¨tp ntvt i t=1 i t=1 = 1∑n [(1+i)vt1] i2 1 i (Ia)n|展开求和即得 = 由(Da)t|表达式有: ∑n 1 i2 t=1 [n(1+i)2¨np+nvn] ∑ntatp t=1 (Da)t|= t=1 i = 1 i ∑n t=1 t ∑ t=1 n 1vt i = 1n(n+1)1 i2i2 i (nanp) = 2n(n+1)n+anp i2 57.现有两种永久年金: A-金额为p的固定期末年金;B-金额为q,2q,3q,···的 递增期末年金。 分别对两种年金的现值之差为0和得到极大两种情况计算年利 率。 北京大学数学科学学院金融数学系 第12页 版权所有,翻版必究 解: 年金现值分别为: PVA=pa∞pi= p i q q PVB=q(Ia)∞|= (1)当PVA=PVB时有: ip=iq+q i + i2 i=q 解得: pq,p>q i不存在,p≤q (2)令f(i)=piqiiq f(i)= p i2 + q i2 +2 q i3 =0 解得: i=2q pqp>q 58.某零件的使用寿命为9年,单位售价为2元;另一种产品,使用寿命15年,单 价增加X。 如果某人需要35年的使用期,假定在此期间两种产品的价格均以年 增4%的幅度增加,要使两种产品无差异的X为多少(缺少利率下面的计算年利 率i=5%)(与原答案有出入) 解: 用9年一周期的产品,则有支付的现值为: PV1=2×[1+( )9+( )18+( )27] 用15年一周期的产品,则有支付的现值为: PV2=(2+X)×[1+( 由PV1=PV2有: X= )15+( )30] 59.计算m+n年的标准期末年金的终值。 已知: 前m年年利率7%,后n年年利 率11%,smp7%=34,snp11%=128。 解: 由snp的表达式有: (1+n=np11%+1 AV=smp7%×(1+n+snp11% =smp7%×np11%+1)+snp11% = 北京大学数学科学学院金融数学系 第13页 版权所有,翻版必究 60.甲持有A股票100股,乙持有B股票100股,两种股票都是每股10元。 A股票每 年底每股分得红利元,共计10年,在第10次分红后,甲以每股2元的价格将所 有的股票出售,假设甲以年利率6%将红利收入和股票出售的收入进行投资。 B股 票在前10年没有红利收入,从第11年底开始每年每股分得红利元,如果乙也 是以年利率6%进行投资,并且在n年后出售其股票。 为了使甲乙在乙的股票出售 时刻的累积收入相同,分别对n=15,20两种情况计算乙的股票出售价格。 解: 设X为买价,有价值方程: p6%+2=10|6%+X(1+(n10) 从而有: X=p6%+210|6%)(1+(n10) n=15 解得: X= n=20 61.某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动,每年的6月30日和12月31日用半 年结算名利率8%结算利息。 另外,从1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐 款5000元。 (从1991年的7月开始)每年的7月1日要提供总额为一万二千元的奖 金。 计算在2000年元旦的5000元捐款后基金
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