高考数学总复习讲+练+测 专题23 函数的单调性与最值讲.docx
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高考数学总复习讲+练+测专题23函数的单调性与最值讲
第03节函数的单调性与最值
【考纲解读】
考点
考纲内容
5年统计
分析预测
函数的单调性与最值
1.理解函数的单调性,会判断函数的单调性.
2.理解函数的最大(小)值的含义,会求函数的最大(小)值.
2014•浙江文7;理6,15;
2015•浙江文12;理10;
2016·浙江理18;
2017•浙江5,17.
1.比较函数值大小
2.确定函数的最值(范围)
3.备考重点:
(1)判断函数的单调性方法;
(2)求函数最值的方法;
(3)利用单调性解不等式、确定参数取值范围。
【知识清单】
1.函数的单调性
(1).增函数:
若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、,当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数;
(2)减函数:
若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、,当时,都有
,那么就说函数在区间上是减函数.
对点练习
判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D,且x1≠x2有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x)在区间D上是增函数.( )
(2)函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( )
(3)对于函数y=f(x),若f
(1) (4)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)× (4)若f(x)=x,f(x)在[1,+∞)上为增函数,但y=f(x)的单调递增区间可以是R. 2.函数的最值 1.最大值: 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足: (1)对于任意的,都有; (2)存在,使得. 那么,我们称是函数的最大值. 2.最小值: 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足: (1)对于任意的,都有; (2)存在,使得. 那么,我们称是函数的最小值. 对点练习 【2017·厦门质检】函数f(x)=x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________. 【答案】3 【解析】由于在R上单调递减,在[-1,1]上递增,所以f(x)在[-1,1]上单调递减,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=3. 【考点深度剖析】 函数的单调性与最值是高考考查的重点、热点.常常以基本初等函数为载体,考查函数单调性的判定、函数单调区间的确定、函数单调性的应用(解不等式、确定参数的取值范围)、研究函数的最值等,有时与导数综合考查,题型涉及选择题、填空题及解答题多种. 【重点难点突破】 考点1单调性的判定和证明 【1-1】【2017·阜阳模拟】给定函数①,②,③,④.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( ) A.①② B.②③ C.③④D.①④ 【答案】B (0,1)上递增.故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③. 【1-2】已知函数,则() A.在上单调递增 B.在上单调递增 C.在上单调递减 D.在上单调递减 【答案】B 【解析】解法一: ,定义域为,且函数在区间及上均为单调递增函数,且,故函数在区间上单调递增,故选B. 解法二: 函数的定义域为,且在定义域上恒成立,且,因此函数在区间上单调递增,故选B. 【1-3】【2017天津模拟】若函数f(x)满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”,则f(x)的解析式可以是( ) A.B.C.D. 【答案】C 对于D,在(0,+∞)上单调递增,排除D. 【领悟技法】 1.利用基本初等函数的单调性与图像: 只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性; 2.性质法: (1)增函数增函数增函数,减函数减函数减函数,增函数减函数增函数,减函数增函数减函数; (2)函数与函数的单调性相反; (3)时,函数与的单调性相反(); 时,函数与的单调性相同(). 2.导数法: 在区间D上恒成立,则函数在区间D上单调递增;在区间D上恒成立,则函数在区间D上单调递减. 4.定义法: 作差法与作商法(常用来函数单调性的证明,一般使用作差法). 【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性,还需注意断点处两边函数值的大小比较. 【触类旁通】 【变式一】【2017安徽合肥调研】下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递减的是( ) A.y=-xB.y=x2-x C.y=lnx-xD.y=ex-x 【答案】A 【解析】对于A,在(0,+∞)内是减函数,在(0,+∞)内是增函数,则在(0,+∞)内是减函数;B,C选项中的函数在(0,+∞)上均不单调;选项D中,,而当x∈(0,+∞)时,y′>0,所以函数在(0,+∞)上是增函数. 【变式二】【2017山西孝义二模】函数,当时是增函数,当时是减函数,则等于() A.-3B.13C.7D.5 【答案】B 【解析】由题意知函数的对称轴,所以,所以,故选B. 考点2函数的单调区间 【2-1】求函数的单调区间 【答案】单调递增区间为和;单调递减区间为和. 【2-2】的递增区间是() A.B.C.D. 【答案】A 是,故选A. 【领悟技法】 1.基本初等函数的单调区间: 函数 图象 参数范围 单调区间或单调性 一次函数 单调递增区间 单调递减区间 二次函数 单调递减区间为 ; 单调递增区间为 . 单调递增区间为 ; 单调递减区间为 . 反比例函数 单调递减区间为 和 单调递增区间为 和 指数函数 (且) 单调递减区间为 单调递增区间为 对数函数 (且) 单调递减区间为 单调递增区间为 幂函数 在上递减 没有单调性 在上递增 正弦函数 单调递增区间 单调递减区间 余弦函数 单调递减区间 ; 单调递增区间 正切函数 单调递增区间 2.图象法: 对于基本初等函数及其函数的变形函数,可以作出函数图象求出函数的单调区间. 3.复合函数法: 对于函数,可设内层函数为,外层函数为,可以利用复合函数法来进行求解,遵循“同增异减”,即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同,则函数在区间D上单调递增;内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反,则函数在区间D上单调递减. 4.导数法: 不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递增区间,不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递减区间. 【触类旁通】 【变式一】)函数f(x)=log(x2-4)的单调递增区间为( ) A.(0,+∞)B.(-∞,0) C.(2,+∞)D.(-∞,-2) 【答案】D 上是增函数,即f(x)单调递增区间为(-∞,-2). 【变式二】函数的单调递增区间为. 【答案】和. 【解析】作出函数的图象如下图所示, 由图象可知,函数的单调递增区间为和. 考点3利用单调性确定参数取值范围 【3-1】【2017山东济南模拟】若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=(a+1)1-x在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是( ) A.(-1,0)B.(-1,0)∪(0,1] C.(0,1)D.(0,1] 【答案】D 【解析】∵在上是减函数,∴.① 又在上是减函数. ∴,∴.② 由①②知,. 【3-2】【2017浙江“超级全能生”3月联考】已知在上递减的函数,且对任意的,总有,则实数的取值范围为() A.B.C.D. 【答案】B 【3-3】已知函数在区间上为增函数,则实数的取值范围. 【答案】 【解析】函数: ,由复合函数的增减性可知,若在(-2,+∞)为增函数,∴1-2a<0, 【领悟技法】 1.解决抽象不等式时,切勿将自变量代入函数解析式进行求解,首先应该注意考查函数的单调性.若函数为增函数,则;若函数为减函数,则. 2.在比较、、、的大小时,首先应该根据函数的奇偶性与周期性将、、、通过等值变形将自变量置于同一个单调区间,然后根据单调性比较大小. 【触类旁通】 【变式一】【2017浙江金华十校联考】已知函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,若f(a2-a)>f(a+3),则实数a的取值范围为________. 【答案】(-3,-1)∪(3,+∞) 【变式二】【2017河北保定一模】已知函数,若数列满足,且是递增数列,则实数的取值范围是 A.(1,3)B.C.(2,3)D. 【答案】C 【解析】因为是递增数列,所以,解得,即,故选C. 考点4函数的单调性和最值及其综合应用 【4-1】函数f(x)=在区间[a,b]上的最大值是1,最小值是,则a+b=________. 【答案】6 【解析】易知f(x)在[a,b]上为减函数, ∴即∴∴a+b=6. 【4-2】【2017浙江,17】已知αR,函数在区间[1,4]上的最大值是5,则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【领悟技法】 函数最值的求解方法: 1.单调性法: 考查函数的单调性,确定函数的最值点,便可求出函数相应的最值. 2.图象法: 对于由基本初等函数图象变化而来的函数,通过观察函数图象的最高点或最低点确定函数的最值. 3.分段函数的最值: 将每段函数的最值求出,比较大小确定函数的最值. 4.导数法: 对于一般的可导函数,可以利用导数求出函数的极值,并与端点值进行大小比较,从而确定函数的最值. 【触类旁通】 【变式一】【2017贵州贵阳检测】定义新运算⊕: 当a≥b时,a⊕b=a;当a A.-1B.1 C.6D.12 【答案】C 【解析】 由已知得当时,,当时,,∵,在定义域内都为增函数,且1-2=13-2=-1.∴的最大值为f (2)=23-2=6. 【变式二】【2017北京西城区5月模拟】函数,若存在,使得,则的取值范围是() A.B.C.D. 【答案】A ,解得,即则的取值范围是,故答案为. 【易错试题常警惕】 易错典例: 函数的单调递减区间为. 易错分析: 求单调区间时,只顾及到内层二次函数的单调区间,而忽视了函数定义域的重要性. 正确解析: 自变量满足,解得或, 令,, 则内层函数在区间上单调递减,在区间上单调递增, 而外层函数在上是减函数, 由复合函数单调性可知,函数的单调递减区间为. 【规范解答】 因为f(xy)=f(x)+f(y),且f(3)=1,所以2=2f(3)=f(3)+f(3)=f(9).2分 又f(a)>f(a-1)+2,所以f(a)>f(a-1)+f(9),再由f(xy)=f(x)+f(y),可知f(a)>f(9(a-1)).4分 从而有8分
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