安徽省皖西南十校届高三上学期期末联考理数试题 Word版含答案.docx
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安徽省皖西南十校届高三上学期期末联考理数试题Word版含答案
安徽省皖西南十校2017届高三上学期期末联考
数学理试题
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合
,集合
,则
等于()
A.
B.
C.
D.
2.已知等差数列
中,
,且
,则
等于()
A.-2B.-3C.0D.1
3.已知命题
,则下列叙述正确的是()
A.
B.
C.
D.
是假命题
4.若
,则
等于()
A.
B.
C.
D.
5.已知向量
满足
,则
与
的夹角的余弦值为()
A.
B.
C.
D.
6.“
”是“直线
与双曲线
的左支有交点”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”,设
三个内角
所对的边分别为
,面积为
,则“三斜求积”公式为
.若
,则用“三斜求积”公式求得
的面积为()
A.
B.2C.3D.
8.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()
A.6B.9C.12D.18
9.已知变量
满足约束条件
若
的最大值为2,则
的最小值为()
A.
B.
C.
D.
10.已知函数
是偶函数,其中
,则下列关于函数
的正确描述是()
A.
在区间
上的最小值为-1
B.
的图象可由函数
的图象先向上平移2个单位,再向右平移
个单位
C.
的图象可由函数
的图象向左平移
个单位
D.
的图象可由函数
的图象向右平移
个单位
11.已知点
是抛物线
与圆
在第一象限的公共点,且点
到抛物线
焦点
的距离等于
.若抛物线
上一动点到其准线与到点
的距离之和的最小值为
,
为坐标原点,则直线
被圆
所截得的弦长为()
A.2B.
C.
D.
12.已知函数
,实数
满足
.若
,使得
成立,则
的最大值为()
A.4B.
C.
D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知椭圆
的左右顶点分别为
,上顶点为
,若
是底角为30°的等腰三角形,则
.
14.若函数
有零点,则实数
的取值范围是.
15.已知数列
的前
项和为
,且
,则
.
16.在长方体
中,底面
是边长为
的正方形,
是
的中点.过
作
平面
与平面
交于点
,则
与平面
所成角的正切值为.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)
已知向量
.
(1)若
,求
的值;
(2)若
,求函数
的单调减区间.
18.(本小题满分12分)
已知等比数列
的前
项和为
,且
.
(1)求的值及数列的通项公式;
(2)若
,求数列
的前
项和
.
19.(本小题满分12分)
在
中,角
所对的边分别为
,且
.
(1)若
,求
;
(2)若
,
的面积为
,求
.
20.(本小题满分12分)
在四棱锥
中,
平面
,
是三角形,
与
的交点为
,又
,点
是
的中点.
(1)求证:
平面
平面
;
(2)求二面角
的余弦值.
21.(本小题满分12分)
已知右焦点为
的椭圆
过点,且椭圆
关于直线
对称的图形过坐标原点.
(1)求椭圆的
的方程;
(2)过点
作直线
与椭圆
交于
两点,线段
的中点为
,点
是椭圆
的右顶点,求直线
的斜率
的取值范围.
22.(本小题满分12分)
设函数
.
(1)若
存在最大值
,且
,求
的取值范围.
(2)当
时,试问方程
是否有实数根?
若有,求出所有实数根;若没有,请说明理由.
试卷答案
一、选择题
1.D∵
∴
.
2.B由
得
,∵
,∴
.
3.D
为:
,
;当
时,
,∴
,故
是真命题,即
是假命题.
4.A由已知得
,解得
.
5.C∵
,∴
,
则
.
6.A若直线
与双曲线
的左支有交点,则渐近线
与直线
有交点,所以
,得
,故选A.
7.A根据正弦定理:
由
得
,则由
得
,则
.
8.C该几何体的直观图如图所示,其体积为
.
9.D
表示经过可行域内一点
与点
的直线的斜率,当取直线
与
的交点
时,
取最大值2,即
,得
,则取点
时,
取最小值
.
10.C∵
,∴
,∵
为偶函数,∴
,则
,
,则将函数
的图象向左平移
个单位可得函数
的图象,故选C.
11.C∵抛物线
上一动点到其准线与到点
的距离之和的最小值为
,又
,∴
三点共线,且
是线段
的中点,∵
,∴
,则
,∴
,∵圆心
到直线
:
的距离为
,∴所求的弦长为
.
12.A
,则当
时,
;当
时,
.∴
.
,作函数
的图象如图所示,当
时,方程两根分别为-5和-1,则
的最大值为
.
二、填空题
13.
由题意得
,则
,可得离心率为
,所以
.
14.
∵当
时,
,无零点;∴当
时,
有零点,即
,解得
.
15.120由已知得
,则
是公比为2的等比数列,∵
,∴
,
∴
,解得
.
16.
连接
交于点
,连接
,∵
是正方形,
底面
,∴
平面
,则当
与
垂直时,
平面
.∵
平面
,∴
.
在矩形
中,
,则
,∵
,∴
,
则
,连接
,则
为所求线面角,∴
.
三、解答题
17.解:
(1)∵
,
,
∴
,即
,
∵
∴
.
(2)∵
,
∴
,
由
得
,
∴函数
的单调减区间为
.
18.解:
(1)∵
,
∴当
时,
,
当
时,
,
即
,
∵
是等比数列,∴
,则
,得
,
∴数列
的通项公式为
.
(2)由
(1)得
,
∴
.
19.解:
(1)由正弦定理得:
,
即
,
∴
,
∵
,∴
,则
,
∵
,∴由正弦定理得:
.
(2)∵
的面积为
,
∴
,得
,
∵
,∴
,
∴
,即
∴
,∴
.
20.
(1)证明在正三角形
中,
在
中,∵
易证
,∴
为
中点
∵点
是
的中点,∴
.
∵
面
,
,
∵
,∴
,
∵
,
,∴即
,
∵
,∴
平面
,
∴
平面
,又
平面
,∴平面
平面
.
(2)解:
分别以直线
为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系,如图所示,
∴
.
由
(1)可知,
为平面
的一个法向量,
,
设平面
的一个法向量为
,
则
,即
,
令
,解得
,
则平面
的一个法向量为
,
,
由题知二面角
为锐二面角,∴二面角
余弦值为
.
21.解:
(1)∵椭圆
过点
,∴
,①
∵椭圆
关于直线
对称的图形过坐标原点,∴
,
∵
,∴
,②
由①②得
,
∴椭圆
的方程为
.
(2)依题意,直线
过点
且斜率不为零,故可设其方程为
.
由方程组
消去
,并整理得
.
设
∴
,
∴
,
∴
,∴
.
①当
时,
②当
时,
,
∵
,∴
.
∴
,∴
且
.
综合①、②可知,直线
的斜率
的取值范围是
.
22.解:
(1)
的定义域为
,
.
当
或
时,
在区间
上单调,此时函数
无最大值.
当
时,
在区间
内单调递增,在区间
内单调递减,
所以当
时,函数
有最大值.
最大值
.
因为
,所以有
,解之得
,
所以
的取值范围是
.
(2)当
时,方程可化为
,即
,
设
,则
,
∴
时,
,∴
在
上是减函数,当
时,
,
∴
在
上是增函数,
∴
.
设
,则
,
∴当
时,
,即
在
上单调递增;
当
时,
,即
在
上单调递减;
∴
,
∵
,∴数形结合可得
在区间
上恒成立,
∴方程
没有实数根.
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