北师大版八年级下册数学压轴题专题.docx
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北师大版八年级下册数学压轴题专题
1小敏思考解决如下问题:
原题:
如图1,点P,Q分别在菱形ABCD的边BC,CD上,∠PAQ=∠B,求证:
AP=AQ.
(1)小敏进行探索,若将点P,Q的位置特殊化;把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF,使AE⊥BC,点E,F分别在边BC,CD上,如图2.此时她证明了AE=AF,请你证明.
(2)受以上
(1)的启发,在原题中,添加辅助线:
如图3,作AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F.请你继续完成原题的证明.
(3)如果在原题中添加条件:
AB=4,∠B=60°,如图1,请你编制一个计算题(不标注新的字母),并直接给出答案(根据编出的问题层次,给不同的得分).
方法:
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
(3)________________________________________________________
1
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠B+∠C=180°,∠B=∠D,AB=AD,∵∠EAF=∠B,
∴∠EAF+∠C=180°,∴∠AEC+∠AFC=180°,∵AE⊥BC,∴AF⊥CD,
在△AEB和△AFD中,
,∴△AEB≌△AFD,∴AE=AF;
(2)证明:
由
(1)得,∠PAQ=∠EAF=∠B,AE=AF,∴∠EAP=∠FAQ,
在△AEP和△AFQ中,
,∴△AEP≌△AFQ,∴AP=AQ;
(3)解:
已知:
AB=4,∠B=60°,求四边形APCQ的面积,
解:
连接AC、BD交于O,∵∠ABC=60°,BA=BC,∴△ABC为等边三角形,
∵AE⊥BC,∴BE=EC,同理,CF=FD,
∴四边形AECF的面积=
×四边形ABCD的面积,
由
(2)得,四边形APCQ的面积=四边形AECF的面积,
OA=
AB=2,OB=
AB=2
,
∴四边形ABCD的面积=
×2×2
×4=8
,
∴四边形APCQ的面积=4
.
2问题:
如图①,在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,则线段BC,DC,EC之间满足的等量关系式为 ;
探索:
如图②,在Rt△ABC与Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A旋转,使点D落在BC边上,试探索线段AD,BD,CD之间满足的等量关系,并证明你的结论;
应用:
如图③,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若BD=9,CD=3,求AD的长.
方法:
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
(3)________________________________________________________
2解:
(1)BC=DC+EC,理由如下:
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,即∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
,∴△BAD≌△CAE,∴BD=CE,∴BC=BD+CD=EC+CD,
(2)BD2+CD2=2AD2,理由如下:
连接CE,由
(1)得,△BAD≌△CAE,
∴BD=CE,∠ACE=∠B,∴∠DCE=90°,∴CE2+CD2=ED2,
在Rt△ADE中,AD2+AE2=ED2,又AD=AE,∴BD2+CD2=2AD2;
(3)作AE⊥AD,使AE=AD,连接CE,DE,∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
即∠BAD=∠CAD′,
在△BAD与△CAE中,
,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE=9,∵∠ADC=45°,∠EDA=45°,
∴∠EDC=90°,∴DE=
=6
,∵∠DAE=90°,∴AD=AE=
DE=6.
3如图1,点E是正方形ABCD边CD上任意一点,以DE为边作正方形DEFG,连接BF,点M是线段BF中点,射线EM与BC交于点H,连接CM.
(1)请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系;
(2)把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°,此时点F恰好落在线段CD上,如图2,其他条件不变,
(1)中的结论是否成立,请说明理由;
(3)把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°,此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上,如图3,其他条件不变,
(1)中的结论是否成立,请说明理由.
方法:
(1)________________________________________________________
(2)________________________________________________________
(3)________________________________________________________
_________________________________________________
3解:
(1)如图1,结论:
CM=EM,CM⊥EM.
理由:
∵AD∥EF,AD∥BC,∴BC∥EF,∴∠EFM=∠HBM,
在△FME和△BMH中,
,
∴△FME≌△BMH,∴HM=EM,EF=BH,∵CD=BC,
∴CE=CH,∵∠HCE=90°,HM=EM,∴CM=ME,CM⊥EM.
(2)如图2,连接BE,
∵四边形ABCD和四边形EDGF是正方形,∴∠FDE=45°,∠CBD=45°,
∴点B、E、D在同一条直线上,∵∠BCF=90°,∠BEF=90°,M为AF的中点,
∴CM=
AF,EM=
AF,∴CM=ME,∵∠EFD=45°,∴∠EFC=135°,
∵CM=FM=ME,∴∠MCF=∠MFC,∠MFE=∠MEF,
∴∠MCF+∠MEF=135°
∴∠CME=360°﹣135°﹣135°=90°,
∴CM⊥ME.
(3)如图3,连接DF,MG,作MN⊥CD于N,
在△EDM和△GDM中,
,∴△EDM≌△GDM,
∴ME=MG,∠MED=∠MGD,∵M为BF的中点,FG∥MN∥BC,
∴GN=NC,又MN⊥CD,∴MC=MG,
∴MD=ME,∠MCG=∠MGC,∵∠MGC+∠MGD=180°,
∴∠MCG+∠MED=180°,
∴∠CME+∠CDE=180°,
∵∠CDE=90°,
∴∠CME=90°,
∴
(1)中的结论成立.
4
(1)操作发现:
如图①,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M,N,G,连接GM,GN.小明发现了:
线段GM与GN的数量关系是 MG=NG ;位置关系是 MG⊥NG .
(2)类比思考:
如图②,小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中AB>AC,其它条件不变,小明发现的上述结论还成立吗?
请说明理由.
(3)深入研究:
如图③,小明在
(2)的基础上,又作了进一步的探究.向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其它条件不变,试判断△GMN的形状,并给与证明.
4解:
(1)连接BE,CD相交于H,∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形,
∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°∴∠CAD=∠BAE,∴△ACD≌△AEB(SAS),
∴CD=BE,∠ADC=∠ABE,∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°,∴∠BHD=90°,∴CD⊥BE,∵点M,G分别是BD,BC的中点,
∴MG
CD,同理:
NG
BE,∴MG=NG,MG⊥NG,故答案为:
MG=NG,MG⊥NG;
(2)连接CD,BE相交于点H,同
(1)的方法得,MG=NG,MG⊥NG;
(3)连接EB,DC,延长线相交于H,同
(1)的方法得,MG=NG,同
(1)的方法得,△ABE≌△ADC,∴∠AEB=∠ACD,∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°,∴∠DHE=90°,同
(1)的方法得,MG⊥NG.
5将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),得到矩形AEFG.
(1)如图,当点E在BD上时.求证:
FD=CD;
(2)当α为何值时,GC=GB?
画出图形,并说明理由.
【分析】
(1)先运用SAS判定△AEG≌Rt△FDG,可得DF=AE,再根据AE=AB=CD,即可得出CD=DF;
(2)当GB=GC时,点G在BC的垂直平分线上,分两种情况讨论,依据∠DAG=60°,即可得到旋转角α的度数.
【解答】解:
(1)由旋转可得,AE=AB,∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°,EF=BC=AD,
∴∠AEB=∠ABE,又∵∠ABE+∠GDE=90°=∠AEB+∠DEG,∴∠EDG=∠DEG,
∴DG=EG,∴FG=AG,又∵∠DGF=∠EGA,∴△AEG≌Rt△FDG(SAS),∴DF=AE,
又∵AE=AB=CD,∴CD=DF;
(2)如图,当GB=GC时,点G在BC的垂直平分线上,
分两种情况讨论:
①当点G在AD右侧时,取BC的中点H,连接GH交AD于M,
∵GC=GB,∴GH⊥BC,∴四边形ABHM是矩形,∴AM=BH=
AD=
AG,
∴GM垂直平分AD,∴GD=GA=DA,∴△ADG是等边三角形,∴∠DAG=60°,∴旋转角α=60°;
②当点G在AD左侧时,同理可得△ADG是等边三角形,
∴∠DAG=60°,∴旋转角α=360°﹣60°=300°.
6如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,以线段AB为边向外作等边△ABD,点E是线段AB的中点,连接CE并延长交线段AD于点F.
(1)求证:
四边形BCFD为平行四边形;
(2)若AB=6,求平行四边形BCFD的面积.
【分析】
(1)在Rt△ABC中,E为AB的中点,则CE=
AB,BE=
AB,得到∠BCE=∠EBC=60°.由△AEF≌△BEC,得∠AFE=∠BCE=60°.又∠D=60°,得∠AFE=∠D=60度.所以FC∥BD,又因为∠BAD=∠ABC=60°,所以AD∥BC,即FD∥BC,则四边形BCFD是平行四边形.
(2)在Rt△ABC中,求出BC,AC即可解决问题;
【解答】
(1)证明:
在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,
∴∠ABC=60°.在等边△ABD中,∠BAD=60°,
∴∠BAD=∠ABC=60°.∵E为AB的中点,∴AE=BE.又∵∠AEF=∠BEC,
∴△AEF≌△BEC.在△ABC中,∠ACB=90°,E为AB的中点,∴CE=
AB,BE=
AB
∴CE=AE,∴∠EAC=∠ECA=30°,∴∠BCE=∠EBC=60°.
又∵△AEF≌△BEC,∴∠AFE=∠BCE=60°.又∵∠D=60°,∴∠AFE=∠D=60°.∴FC∥BD.又∵∠BAD=∠ABC=60°,∴AD∥BC,即FD∥BC.∴四边形BCFD是平行四边形.
(2)解:
在Rt△ABC中,∵∠BAC=30°,AB=6,∴BC=
AB=3,AC=
BC=3
,∴S平行四边形BCFD=3×
=9
.
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