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第一童
§1.1集合
1.关于集合的元素的特征
(1)确定性(组成元素不确定的如:
我国的小河流)
(2)互异性
(3)无序性
集合相等:
构成两个集合的元素完全一样
(1)若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B.
(2)A=B
例:
已知A={l,l+d,l+2d},B={1,q,q2},若A=B,求的,d,q的值。
解:
d=_?
q=-|
2.元素与集合的关系;
(1)如果a是集合A的元素,就说a属于(belongto)A,记作a^A
(2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于(notbelongto)A,记作a^A
子集与真子集:
如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素,那么集合A叫做集合B的子集,记作A^B或BpA・
若集合P中存在元素不是集合Q的元素,那么P不包含于Q,或Q不包含P.记作
P^Q
若集合A是集合B的子集,且B屮至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集.4uB或3二力.
子集与真子集的性质:
传递性:
若A^B,BuC,则AoC空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集.
3.常用数集及其记法
非负整数集(或自然数集),记作N正整数集,记作2或N+;整数集,记作Z
有理数集,记作Q
实数集,记作R
4.集合的表示方法
(1)列举法:
把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内。
如:
{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},…;
(2)描述法:
把集合中的元素的公共属性描述出來,写在大括号{}内。
具体方法:
在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共
同特征。
如:
{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+l},{直角三角形},…;
(3)自然语言描述法:
小于10的所有正偶数组成的集合。
({2,4,6,8})里:
1、{1,3,5,7,9}如何用自然语言描述法表示?
2、用例举法表示集合心{兀旳13<8}
练习:
(1)已知集合M={a,b,c}屮的三个元素可构成某一三角形的三条边,那么此三角形一定不是()
A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形
5.集合间的基本运算
并集(U):
—般的由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,成为集合A与B的并集,记作AUB,即:
AB={x\xeA^eB}t韦恩图如下:
交集(门):
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作AAB,W:
A3=A,且韦恩图如下:
全集(U):
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就成这个集合为全集,记为U。
补集:
对于一个集合a,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作C』,即
CuA={x|xwU且xgA},韦恩图如下:
练习:
1、若A={0,2,4},CLIA={-1,2},CliB={-1,0,2},求B二
2、设A二{xx>-2},B={xx<0},求AQB.
3、若A二{xx二4n,n^Z},B={xx=6n,nEZ},求AQB・
4、A二{x|aWxWa+3},B二{x|xVT或x>5},分别求出满足下列条件的a的取值范围:
⑴APB=0
(2)AQB二A
5、已知A={x|-l 77777-4-I 6、集合A=—wZ},B={m\——wZ},贝UAB= 7、已知X二{x|x2+px+q二0,p2-4q〉0},A二{1,3,5,7,9},B二{1,4,7,10},且 XnA=0,XClB=X,试求p、q; 8、已知集合A二{a+2,(a+1)2,a2+3a+3},且1WA,求实数a的值 9、已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|mx+l=0},AUB二A,求实数m的值组成的集合。 10、集合A二{x||x—2|W2,xWR},B={y|y=-x2,—1WxW2},则CR(AClB)等于() A.RB.{x|xeR,xHO}C.{0}D.①(空集) 11>已知{"b}cA,且A为{a,b,c,d,c}的真子集,则满足条件的集合A的个数是() 12、记函数f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合M,函数g(x)=J1—士的定义域为集合N,求: (1)集合M、N; (2)集合mAN,MUN 13、已知集合A={x||x-a|^l},B={x|x2-5x+4^0},若AAB=①,则实数a的取值范围是() §1.2函数 函数概念: 设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A屮的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称£A—B为从集合A到集合B的一个函数。 记作: y=f{x), 其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{fd)|xWA}叫做函数的值域. 构成函数的三要素: 定义域、对应关系、值域 区间: (1)、开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)、无穷区间;区间的数轴表示 例1: 已知函数f(x)-Jx+3+一—,求函数的定义域。 X+2 例2: 设一个矩形周长为80,其中一边长为x,求它的面积关于x的函数的解析式,并写出定义域。 函数的定义域小结: (1)如果fd)是整式,那么函数的定义域是实数集R・ (2)如果只劝是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 (3)如果代方是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合. (4)如果代劝是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.(即求各集合的交集) (5)满足实际问题有意义. 例3: 下列函数屮哪个与函数y二x相等? (1)y二(Q;⑵y二(V7); (3)y二7? ;(4)y=— X 练习: 1・求下列函数的定义域兀_ (1)y—+厂=_±常认 2-|x|7b厶一 说明: (1)这两个集合有先后顺序,A到B的映射与B到A的映射是截然不同的,其中/表示具体的对应法则,可以用多种形式表述. (2)“都有唯一”包含两层意思: 一是必有一个;二是只有一个,也就是说有口只有一个的意思. 例: 1.已知A二{x,y},B={a,b,c},从集合A到集合B的所有不同的映射有 ()个。 2.已知A={x,y},B={a,b,c},从集合B到集合A的所有不同的映射有()个。 函数的表示方法: 解析法、列表法、图像法 练习: 1.己知f(x—2)二2x‘一9x+13,求f(x)配凑法 答案: f(x)=2x2—x+3 2•已知f(仮+1)=x+2Vx,求f(x+1),f(x2)换元法 答案: f(x+1)=x2+2x,(x20);f(x2)=xl—1,(xW—1或x21) 3.已知f(x)是一次函数,且有f[f(x)]=9x+8,求f(x)待定系数法答案: f(x)二3x+2或f(x)二一3x—4 4•设F(x)满足关系式F(x)+2f(-)=3x,求f(x)——消元法 X 答案: f(x)=|—x,xW{x|xWR,xHO} 6.已知xHO,函数f(x)满足f(x—2)=x2+—,则f(x)的表达式为() xx2 A.f(x)=x+iB.f(x)=x2+2C.f(x)=x2D.f(x)=(x--)2 XX { 2X(x<4) z'、,那么f(5)的值为() f(x-l),(x>4) A.32B.16C.8D.64 &若函数f(2x+l)x2-2x,则f(3)=() 9•已知函数f(x)二丄二,则f (1)+f (2)+f(i)+f(3)+f(i)+1+x223 f(4)+f(i)的值为() 4 10.已知f(|+1)=lgx,求f(x) 11.已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+l,求f(x) 12•定义在(一1,1)内的函数f(x)满足: 2f(x)—f(—x)=lg(x+1),求函数f(x)的解析式. §1.3函数的基本性质 增函数: 一般地,设函数y二f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量X],X2,当xKx2时,都有f(xi) 注意: (1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; (2)必须是对于区间D内的任意两个自变量X],X2;当XKX2吋,总有f(X1) 减函数: 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x“x2,当Xl 函数的单调性定义: 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y二f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。 例1: 物理学中的玻意耳定律P二令(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减少时,压强P将增大。 试用函数的单调性证明Z。 (设仏>V2>0) 判断函数单调性的方法步骤: 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤: 1任取X”X2WD,且Xig; 2作差f(X1)-f(x2); 3变形(通常是因式分解和配方); 4定号(即判断差f(xj—f(X2)的正负); 5下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).练习: 1、用函数单调性的定义证明f(X)二x+扌在(VL+-)上是增函数。 2、若3x-3'y^5-x-5y成立,贝9()% A>x+y>0B、x+y<0C、x+y20D、x+yWO 3、函数y=log1/2(4+3x-x2)的一个单调递增区间是() A.(—I|)B.[|,+00)C.(-1,|)D.[|,4) 4•下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是() A.y二一x+1B.y=VxC.y=x2—4x+5D.y=- X 5.函数f(x)二亠(xGR)的值域是() l+x2 A.(0,1)B,(0,1]C.[0,1)D.[0,1] 6•已知函数f(x)ax2+2ax+l,xW[—3,2]的最大值为4,求其最小值. 函数的奇偶性和周期性: 函数的奇偶性定义: 1.偶函数: 一般地,对于函数/(X)的定义域内的任意一个兀,都有f(-x)=f(x),那么/(X)就叫做偶函数.(学生活动)依照偶函数的定义给岀奇函数的定义. 2.奇函数: 一般地,对于函数/(无)的定义域的任意一个兀,都有/(-x)=-/(%),那么/(劝就叫做奇函数. 注意: 1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 2由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个兀,则-兀也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对 称). 3.具有奇偶性的函数的图象的特征: 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 练习: 1.已知函数f(x)是定义在(一8,+oo)上的偶函数,当xW(—°°,0)时,f(x)二X—x",则当XW(0,+8)吋,f(x)二 2.已知f(x)是定义在R上的偶函数•且在[0,+s)上为増函数,若 f(a)Mf (2),则实数3的取值范围是: 3•函数f(x)对任意实数x满足条件f(x+2)二,若f (1)二一5,则f(X) f(f(5))二 第二章基本初等函数 §2.1指数函数 指数和指数冨的运算 1.n次方根的含义 一般地,若兀"m,则x叫做日的门次方根,其中n>l,且脛N* n次方根的写法 。 为正数: 斤为奇数, 斤为偶数, 。 的比次方根有一个,为丽Q的比次方根有两个,为土丽 d为负数: 斤为奇数,。 的川次方根只有一个,为丽 〃为偶数,。 的〃次方根不存在. 零的〃次方根为零,记为呃=0 小结: 正数的偶次方根有两个,并且互为相反数;负数没有偶次方根;零的任何次方根为零。 【例1】写出下列数的n次方根 (1)16的四次方根; (2)・27的五次方根;(3)9的六次方根解: (1)±V16=±2 (2)-V27 (3)±V9=±V3 3、n次方根的性质 归纳: n次方根的运算性质为 (1)丽”m (2)n为奇数,历=u n为偶数,\fa^=\a\=°一[ [-a.a<0 【例2]求下列各式的值 (1) (1) (2)7(-'°)2⑶*3-汀(4)yl(a-b)2(a>b) 解: ⑴珈而=-8; (2)J(-IO)? 二卜⑴=10; (3)#(3-兀)4=|3—^|=71—3; (4)J(d_")2二a-t\=a-b・ [随堂练习] 1.求出下列各式的值 ⑴佢矛 (2)畑-掰(a<1)(3)3(3°-3)“(a>l) 解: (1)寸(-2)7=—2; (2)—3)3=3a—3 (3)V(3^-3)4=|3f/-3|=3a-3 【例3】: 求值: (1)75+276+^7-473-76-4^2; (2)2^3xVk5xVT2 分析: (1)题需把各项被开方数变为完全平方形式,然后再利用根式运算性质;解: (1)75+2亦+丁7-4爺-丁6-4血 =7(V3)2+2V3*V2+(V2)2+722-2x2V3+(a/3)2一^22-2x2^2+(V2)2 =V((V3+V2))2+7(2-V3)2-7(2-V2)2 =|V3+V2|+|2-V3-|-|2-V2| =V3+V2+2-V3-(2-V2) =2^2 注意: 此题开方后先樹: 绝对值,然后根据矽去掉绝对值符号。 (2)2巧xVk5xVT2 =2xV3xJ|xV2^3 =2x好x穆乂畅・ =2/•辛①马 =2x3=6 [随堂练习] 2.若J/-2d+l=a-l,求g的取值范围。 解: «>1 3・计算+#(3_2)4_#(2—用 解: -9+V3 弟一"P 1、分数指数幕 规定: (1)、正数的正分数指数幕的意义为: 正数的负分数指数幕的意义与负整数幕的意义相同. 上1: t 艮卩: a"=—{a>0,m,neN') an (2)、0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕无意义. 2、分数指数幕的运算性质 整数指数幕的运算性质,对于分数指数幕同样适用,即: (1)ar-as=a,+s{a>0,r.seQ) (2)(ar)s=ars(a>0,f,sgQ) (3)(ab)r=arbr(a>0,Z? >0,厂wQ) 3、无理指数鬲 思考: 若a>0,P是一个无理数,则q"该如何理解? 自主学习: 学生阅读教材第62页中的相关内容 归纳得岀: 血的不足近似值,从由小于血的方向逼近血,血的过剩近似值从大于血的方向逼近血。 所以,当血不足近似值从小于©的方向逼近时,5迈的近似值从小于5血的方向逼近5忑. 当V2的过剩似值从大于72的方向逼近©时,5迈的近似值从大于5匝的方向逼近 5忑,(如课本图所示)所以,5适是一个确定的实数. 总结: 一般来说.无理数指数冨〃(。 >0,卩是一个无理数)是一个确定的实数,有理数指数冨的性质同样适用于无理数指数冨•这样冨的性质就推广到了实数范围 ci・as=a,+s(a>O,rwR,swR) (ary=a,s(a>0,reR.seR) (d・b)r=arbr(a>0,re/? ) 练习: [轻松过关] 1、下列式子中计算正确的是(D) A(x2)4=x24B(X3)3=x6Cx3ex2=x6D(3fl2)2=9a4 2下列式子中计算正确的有(A) (1)=V-6/; (2)=小(3)(莎+b寸=a+a~} A0B1C2D3 3、⑹? •(廝的值是(B) A2B2°C2V2D8 4、下列说法正确的是(C) A5“无意义B5血>25C5L41<5^<5k42D5“v5 5、用计算器算io血—io⑷4“.0128;(保留4个有效数字) 6、已矢口夕+^讨=3,贝[M+a"二7; _29 7、计算(0)丐(祈)让师7的值解: 原式二9土1(#[适度拓展] 8、化简: 冶+冲_4+J(八T+4(e=2.718-) 3 解: 原式二,一盯+,+旷3=2◎ 9、已矢口0+。 一"=3,求如+矿3的值 解原式二3a/2,提示: cr+a~3=(a+a~')(a2-a^ax+a~2)[综合提高] 10、已知: a=2y[i,b=5^2, 34 /宀9沪 ~3_14 -6沪沪+9沪 331 的值 /+3/? 3 432 解: 由戶夕2_6°乌刁+9庚=(/沪一3庚尸, 3532 又l 310 ••原式二叮弩 3b3-a4bA 310 310 b_a2-9b3"355T a4+3b33b3-a4 b2 35 a4+3b3 (q2-9/? 3)b2=b2=_(5歼=_50 W3 9/? 3-a1 定义: 一般地,函数y二/(d>0且心1)叫做指数函数,其中兀是自变量,函数 当0 二、指数函数及其性质 图象特征 函数性质 a>1 0 a>10 向兀轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和J轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在%轴上方 函数的值域为R+ 函数图象都过定点(0,1) a°=l 自左向右/图象逐渐上升 自左向右,图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 x>0zax>1 x>0zax<1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 x<0,ax<1 x<0,as>1 利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[处]上,畑=ax(a>0且aHl)值域是[他)J@)]或W)J(a)]; (2)若心0,贝1护(兀)工1;/(%)取遍所有正数当且仅当xeR; (3)对于指数函数f(x)=ax(。 >0且。 工1),总有/(l)=a; (4)当a>1时,若兀] 练习: 1、函数/(%)=(-)啲定义域和值域分别是多少? xeR,y>0 2 2、当兀引-1,1]时,函数心)=3”一2的值域是多少? (・^l) §2.2对数函数 对数与对数运算 对数: 一般地,若/=N(a>0,且°H1),那么数x叫做以a为底/V的对数,记作兀=log“N a叫做对数的底数,/V叫做真数. 2、对数式与指数式的互化 在对数的概念中,要注意: (1)底数的限制Q>0,且心1 (2)a*=Nolog"N=x 指数式o对数式 幕底数-ci-对数底数 指数—兀一*对数 幕-N-真数 恒等式: E=N 负数和零没有对数。 Logal=0;logaa=l 两类对数: 1以10为底的对数称为常用对数,log10N常记为lgN・ 2以无理数e=2・71828…为底的对数称为自然对数zlog,N常记为InN・例: 求下列各式中x的值 2 (1)log64x=-- (2)logv8=6(3)IglOO=x(4)-lne2=x J丿 分析: 将对数式化为指数式,再利用指数幕的运算性质求出X. 23-(--)1 W: (1)X=(64)3=(45)3=43=4-2=一 16 丄丄丄丄_ (2)卡=&所以(M=(8)'=(23r=2^=72 (3)10v=100=102,于是r=2 (4)由一Ine2=x,W-x=ln^2,BPe"x=e2所以兀=一2 / 对数的运算 运算性质 女[1果a>0,且GH1,M>0,2>0,那么 1log“(M•N)=log“M+logaN; M ①吨访iog“M-log,N; ®log“Mn=nlog“M(neR). 换底公式 log“b= lo&blog" (a>0t1;c〉0z@.ch1;Z? >0)• 证明: iSax=b,所以logcax=logcb,因为logcax=xlogca;所以X=logca7logca=logcb/logca=logab 换底公式推论 /? (1)log“””=—log,; m (2)log宀一. log/,a 对数函数的图象 (1)y=iog2兀 (2)J=logjx 2 (3)y=log3兀 (4)y=log]x 3 图象特征 函数性质 a>1 0 a>1
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