应用条件极值与隐函数习题课.docx
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应用条件极值与隐函数习题课
[应用]条件极值与隐函数习题课
第十四、十五章条件极值与隐函数习题课
一、重要内容
1、极值
1)、无条件极值的计算和判断
主要步骤:
i)、计算可疑点:
驻点,偏导数不存在的点。
Ii)、判断
A)、判断可疑点为极值点,常用方法:
p0
a)、定义法:
计算,若存在某个,使,,,ffpfp()()Up()00
得在上恒成立,则为极小值点;若存在某个Up()p,,f000
,使得在上恒成立,则为极大值点。
Up()Up()p,,f0000
b)、利用题意和问题的实际背景判断,此时,可疑点通常是唯一的。
即若要求计算极大值或问题的实际背景要求存在极大值,则唯一的可疑点必是极大值点;即若要求计算极小值或问题的实际背景要求存在极小值,则唯一的可疑点必是极小值点。
c)、驻点处极值性质的二阶导数判别法(二阶微分法)。
pp通过的Heisen矩阵H的正定或负定性判断点的极值性00质。
pB)、判断可疑点不是极值点,常用方法有:
0
Up()ppUp,(),a)、定义法:
对任意的,确定一对点,0120使得
,,,fpfp()()012
则,不是极值点。
p0
b)、二阶导数法:
H为不定矩阵时,不是极值点。
p0
2)、条件极值的计算与判断
主要步骤:
i)、构造L-函数;
ii)、计算L-函数的驻点;
iii)、判断,常用方法为二阶微分法。
3)、隐函数极值的计算
4)、极值的应用
主要有计算函数闭区域上的最值;证明多元不等式。
2、隐函数存在定理
要求:
熟练掌握极值和条件极值的计算和应用,了解隐函数
存在定理。
二、典型例题
22例1、讨论的极值。
进一步研究zfxyyxyx,,,,(,)()
(2)
沿任意直线在p(0,0)的极值性质。
0
解、先计算驻点。
求解
2,fxyx,,,68,x,2fyx,,23,y,
p(0,0)得唯一驻点。
0
fpfpfp()0,()0,()2,,,判断。
计算得,H=0,故xxxyyy000
22dzdy|2,二阶导数法失效。
(同样,,因而不能确定对任意的p0
22dzdy|2,(dx,dy),(0,0),都成立>0,二阶微分法同样失效。
)p0
用定义判断。
注意到
22,,,,,,zfpfpyxyx()()()
(2)0
92因而,对任意,取r充分小满足,则,,,,01rr,,04
32且,故不是,pprrUp(0,),(,)(,),,,zpzp()()0p(0,0),12012022
极值点。
再考虑沿直线y=kx在的极值性质。
转化为无条件极p(0,0)0
值讨论。
4当k=0时,沿直线y=0,函数z转化为一元函数,因zx,2而为其极小值点,故对应的为函数z沿直线y=0的x,0p(0,0)00
极小值点。
2234k,0zkxkxx,,,32当时,沿直线y=kx,则,为x,00驻点,进一步判断为极小值点,因而,对应的为原函数zp(0,0)0沿直线y=kx的极小值点。
注、事实上,在原点的任意邻域内,通过曲线p0
222将邻域分成曲线下面的部分、夹在两条曲线yxyx,,和2yx,
2之间的部分和曲线上面的部分,函数z在上下两部分上取yx,2
pp值为正,在曲线间的部分取值为负,而正取自使函数不同号1,2
的部分里。
当沿直线y=kx考虑时,由于当x充分小时,直线y=kx
2p总在曲线的上方,因而,取不到使函数z取负值的点如,yx,22
p故是极值点。
0
p注、结论表明:
设为函数z的定义域内某一点,沿任一过0
直线,为函数z极值点,并不一定表明点就是函数z在ppp000
其定义域内的极值点。
2例2、计算z=f(x,y)=在由直线x+y=6及x轴、yxyxy(4),,
轴所围成的闭区域D上的极值和最值。
解、先计算D内的极值点。
求解
fxyxy,,,,(832)0,x,2fxxy,,,,(4)0y,
的D内驻点。
p(2,1)0
(注、(0,y)、(4,0)也是驻点,但不在D内,而在D的边界上。
)
判断。
计算得
,H=32,AfpBfpCfp,,,,,,,,,()6,()4,()8xxxyyy000
故,为极大值点且对应的极大值为。
p(2,1)fp()4,00
其次,计算边界上的最值。
记D的边界为lxx,,,{(,0):
06}、1
lxyxyxy,,,,,{(,):
0,0,6}、2
2gxzxx()|2(6),,,zz|0,|0,,lyy,,,{(0,):
06}。
则,,lll3132计算得
ggxggx(0)max()0,(4)min()64,,,,,[0,6][0,6]
最后,对内部极值和边界值进行比较。
比较内部极值和边界
fp()4,值可知:
函数z在D的内部有极大值,而在整个闭区域0
fp()4,D上,函数的最大值为,最小值为f(4,2)=-64.0
AB,,例3、设为正定矩阵,计算H,,,BC,,
2222在上的最值。
zfxyAxBxyCy,,,,(,)2xy,,1
22解、在有界闭集上连续,因而存在fDxyxy,,,{(,):
1}
最大值点
和最小值点,故,最小值pp(x,y)(x,y)211122
22,又由正定性得。
进f(x,y),0fxyAxBxyCy(,)2,,,22222222
一步计算如下:
构造
2222,LAxBxyCyxy,,,,,,2
(1),
得驻点方程组:
(A,)x,By,0
(1),
,Bx,(C,)y,0,
(2),
22,x,y,1(3),
由于在D上必能达到最大值和最小值,故上述方程组必有解。
f
pp和就是其两个解。
由(3)知:
其解必为非零(x,y)(x,y)211122
解,因而对
(1)、
(2),必有
AB,,0BC,,
122,,,,,,,[()()4()]ACACACB解得,12
122,,,,,,,[()()4()]ACACACB。
22
设为其一组解,则代入方程组且由得(,,)xy,
(1)
(2),,,xy00000
2222,AxBxycyxy,,,,,2()0,0000000
2222因而,。
即对应fxy(,),AxBxycyxy,,,,,2(),,0000000000
的一组解必满足,因此,必有(,,)xy,fxy(,),,000000
,。
fxy(,),,fxy(,),,111222
mnp例4、计算在下的最大值。
xyza++=fxyzxyz(,,)=
其中amnpxyz>>>>>>>0,0,0,0,0,0,0.
解、显然,函数f>0,此时,f(x,y,z)与具有相同的ln(,,)fxyz单调性,故可以采用对数法。
记,构造L-函gxyzfxyzmxnypz(,,)ln(,,)lnlnln==++
数
Lxyzfxyza(,,)ln()=-++-l
则,求解如下驻点方程组
m0L=-=lxx
m0L=-=lxx
m0L=-=lxx
mnpmanapa++l====,,,xyz得。
0000amnpmnpmnp++++++
又,计算得
mnp2222(,,,)|0dLxyzdxdydzl=--- 。 fp()0>0 又,沿边界x=0,y=0,z=0,都有,故所求最大值fxyz(,,)0=为。 fp()0 注、注意掌握上述求极值的对数法。 n2例5、计算在条件xxxc+++=Lfxxxax(,,,)L=å12n12nii=1i 下的最小值。 其中。 acin>>=L0,0,1,2,,i nn2解、构造L,函数,Lxxxaxxc(,,,)()Lll=+-邋1,21nii==11ii求解方程组 Lax=+=20lx111 Lax=+=20,lx222 LLL Lax=+=20l,xnnn n Lxc=-=0åli1=i lll2c000---=-Lp(,,,),l得唯一驻点。 00n1222aaa12nåa=i1i 由题意和驻点的唯一性,则在处达到最小值fxxx(,,,)Lp12n0 2c。 ()=fp0n1 åa=i1i n2特别,当时,在ain==L1,1,2,,fxxxx(,,,)L=åi12ni=1i 2ccccp(,,,)L下在处达到最小值,因而,xxxc+++=L012nnnnn成立不等式 22()xxx+++Lc222n12。 xxx+++? Ln12nn 注、利用题意和驻点的唯一性,不需进一步的判断,可以直接给出唯一的驻点处的极值性质,这也是计算极值时应该掌握的技巧之一。 ststtte,,,ln例7、证明: 时成立不等式。 ts,,1,0 s证明、用极值理论证明不等式。 记,,(,)lnsttttets,,,, ,只需证明在D上成立,因而,只D,,,,,,[0,)[1,),(,)0st,需证明,(,)st在区域D上的最小值为0。 求解 s,,,,,et0s,,,,ln0ts,t, ss,0得函数的驻点为曲线,上的所有点且lte: ,(,)st 。 (,)|0st,l (进一步验证,在这些驻点处都有H=0,因而,二阶导数法失效, 且在无界区域D上,函数最值存在性也是未知的,为此,,(,)st 采用逼进法,转化为在有界闭区域的最值的讨论。 ) 记,则,曲线l在内的点仍是的驻DRR,,[0,][1,]D,(,)stRR点,为计算在上的最值,只需讨论边界最值。 简单计算D,(,)stR 可知: s在s=0处取到最小值0;hsses()(,1)1,,,,,1 s在s=lnR处取到最小值0;hssRRRReRs()(,)ln,,,,,,2 gttttt()(0,)ln1,,,,,在t=1处取到最小值0;1 RRte,在处取到最小值0;gtRtttteRt()(,)ln,,,,,,2 0DD因而,函数在上的最小值为0,即在,;,(,)st,(,)stRR 0由R的任意性,得到,(,)st,(,)stD,。 tt,注、沿任一条直线,可以发现,函数在曲线l上达到最0 小值0,但,由例1知道,这还不能说明函数的最小值为0。 例8、设z=z(x,y)是由 222Fxyzxxyyyzz(,,)6102180,,,,,,, 确定的隐函数,计算函数z(x,y)的极值。 分析: 先计算可疑点。 这些点满足,由此出发确zz,,0,0xy定可疑点。 解、将方程中z视为x、y的复合函数,求导得 26220xyyzzz,,,,xx ,,,,,6202220xyzyzzzyy 故、令,代入得zz,,0,0xy x=3y -3x+10y-z=0 222此外,还成立,Fxyzxxyyyzz(,,)6102180,,,,,,,解之得解为 ,则对应点为函数zMM(9,3,3),(9,3,3),,,p(9,3),p(9,3),,1212 的可疑的极值点。 进一步计算二阶导数,得 1151AzpBzpCzpH,,,,,,,,(),(),(),1111111xxxyyy62336 1151AzpBzpCzpH,,,,,,,,,(),(),(),2222222xxxyyy62336 zp()3,pp故,为极小值点,极小值为,为极大值点,极大值211 zp()3,,为。 2 注、关于隐函数的极值的计算还有下述结论。 例9、具二阶连续偏导,且由=0可确定F(x,y,z)F(x,y,z) ,讨论的极值的必要和充分条件,并由此计z,f(x,y)z,f(x,y) 算由 222x,y,z,2x,2y,4z,10,0所确定的的极值。 z,f(x,y) 分析题意: 由极值理论,对一个已知的函数,其z,f(x,y) 2极值点的充要条件是已知的(在本题条件下),因此,本题的C 目的是将由表示的充要条件转化为已知的函数f(x,y)F(x,y,z) 来表示。 解: 必要条件。 给定点,设为的极值点,M(x,y,z)p(x,y)z,f(x,y)0000000 则,,,(我们要寻求能确定的条件)由z,fpM(x,y,z)000000 在点取得极值的必要条件,则pz,f(x,y)0 ,,,,fp,0,fp,0。 x0y0 (根据题意,要将此条件转化为用表示的形式,因此要F(x,y,z)寻求它们的关系) 由于函数是由=0所确定的隐函数,由隐函数z,f(x,y)F(x,y,z) FFyxf,,,f,,,F(M),0的求导及隐函数存在的条件: ,xyz0FFzz F(M),F(M),0p(x,y)因而: z,f(x,y),故: 为的极值x0y0000 点的必要条件为: 为方程组M(x,y,z)0000 Fxyz(,,)0,,x,Fxyz(,,)0,,y Fxyz(,,)0,, 的解。 (因而,通过求解关于x、y、z的方程组 ,,其解(x,y,z)就是可能的极值FMFM()0,()0,,FM()0,xy 点)。 充分性: F(M),0,x,F(M),0设满足: ,M(x,y,z),y0000,F(M),0, (要证在何条件下: 为的极值点,此过程与p(x,y)z,f(x,y)000 上述过程类似,将在点取得极值的充分条件p(x,y)z,f(x,y)000转化为用表示的条件)。 利用隐函数求导: F(x,y,z) f(p),0,f(p),0,因而: 为的驻点,p(x,y)z,f(x,y)x0y0000 ff,,xxxy,,|H,记,p0,,ffxyyy,, p(x,y)则由极值的充分条件: 当H正定时,为极小值点;000 p(x,y)当H负定时,为极大值点。 000 (将上述H中的f(x,y)条件转化为F(x,y,z)的条件)。 Fx由于,因而: f,,xFz 1f,,[(F,F,z)F,F(F,F,z)],xxxxxzxzxzxzzx2Fz 注意到: ,,,,,zp,fp,0,F(M),0x0x0x0 F(M)F(M)xx0xx0f(p)F(M)故: ,,,,,xx0z02F(M)F(M)z0z0 F(M)F(M)xy0yy0类似: f(p),f(p),,,,,xy0yy0F(M)F(M)z0z0 F(M)F(M),,1xx0xy0,,故H,,,,,F(M)F(M)F(M)xy0yy0z0,, F(M)F(M),,1xx0xy0,,H,,故充分条件是: 正定时,,,F(M)F(M)F(M)xy0yy0z0,,p(x,y)为极小点;000 F(M)F(M),,1xx0xy0,,H,,负定时,,,F(M)F(M)F(M)xy0yy0z0,, p(x,y)为极大点。 000 222应用: 考察由F(x,y,z),0,x,y,z,2x,2y,4z,10所确定的隐函数的极值。 由上述结论,先求解 F,2x,2,0,x,F,2y,2,0,,y F,0, 得两组解解: 。 M(1,,1,6),M(1,,1,,2)12 由于,则在点附近确定的隐函数为FM()0,Mizi ,进一步判断在点的极z,f(x,y),i,1,2z,fp(1,,1),p(1,,1)ii12 值性质。 计算,故FxyFxyFxyFxyz(,)2,(,)0,(,)2,(,)24,,,,,xxxyyyz 10,,1,,是负定的,因而为的极大(),,HMpz,f(1,,1)111,,014,, 值点; 10,,1,,是正定的,因而为的极小(),pHMz,f(1,,1)222,,014,, 值点。 222事实上: F=0为球面,因而在(x,1),(y,1),(z,2),16 22z,2,16,(x,1),(y,1)附近确定,为其最大值点;M(1,,1)1 22z,2,16,(x,1),(y,1)在附近确定,为其最小值M(1,,1)2 点。 p注、由上述过程可知,极大值点p和极大值点并(1,,1)(1,,1)21 不是对同一个 M(1,1,6),M(1,1,2),,函数而言的,。 这是由于在和附近,确定12不同的隐函数。 22z,2,16,(x,1),(y,1)注、对函数,其最小值在圆周 22曲线上达到,但这个实事没有在解题过程中 (1) (1)16xy,,,, 22反映出来,其原因为在圆周曲线上的点附近, (1) (1)16xy,,,, 不能确定隐函数。
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