数值分析 验证性实验报告.docx

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数值分析验证性实验报告

内江师范学院

数值分析

验证性实验报告

编制覃燕梅审定牟廉明

专业：

数学与应用数学

班级：

数学系2009级班

学号：

姓名：

数学与信息科学学院

2011年8月

目录

Lagrange插值（实验一）1

曲线拟合的最小二乘方法（实验二）3

Romberg积分法（实验三）5

常微分方程的差分方法（实验四）7

Newton方法（实验五）9

雅可比迭代方法和高斯－赛德尔迭代方法（实验六）11

列主元的高斯消去法（实验七）13

验证性实验成绩汇总

实

验

一

实

验

二

实

验

三

实

验

四

实

验

五

实

验

六

实

验

七

验证性实验成绩=

（实验一+实验二+实验三+实验四+实验五+实验六+实验七）/7

分数

说明：

1.学生在做实验之前必须要准备实验，主要包括预习与本次实验相关的理论知识，熟练与本次实验相关的软件操作，收集整理相关的实验参考资料，要求学生在做实验时能带上充足的参考资料；若准备不充分，则学生不得参加本次实验，不得书写实验报告；

2.要求学生要认真做实验，主要是指不得迟到、早退和旷课，在做实验过程中要严格遵守实验室规章制度，认真完成实验内容，极积主动地向实验教师提问等；若学生无故旷课，则本次实验计为0分；

3.学生要认真工整地书写实验报告，实验报告的内容要紧扣实验的要求和目的，不得抄袭他人的实验报告；

实验成绩=实验准备+实验态度+实验报告书写+实验报告内容，根据实验成绩来判定学生是否达到了实验目的。

实验名称：

Lagrange插值（实验一）指导教师：

覃燕梅

实验时数：

2实验设备：

计算机

实验日期：

2011年月日实验地点：

第五教学楼北802

实验目的：

掌握Lagrange插值数值算法，能够根据给定的函数值表达求出插值多项式和函数在某一点的近似值。

实验准备：

1.在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容；

2.需要准备安装WindowsXPProfessional操作系统和Matlab、C++、VF等数学软件。

实验内容及要求

已知数据如下：

10

11

12

13

2.3026

2.3979

2.4849

2.5649

要求：

试用分别用线性插值、二次插值、三次插值分别计算在点

时的函数近似值．

实验过程：

function[y0,N]=Lagrange_eval（X,Y,x0）

m=length（X）;

N=zeros（m,1）;

y0=0;

fori=1:

m

N（i）=1;

forj=1:

m

ifj~=i

N（i）=N（i）*（x0-X（j））/（X（i）-X（j））;

end

end

old=digits;

digits（16）;

y0=vpa（y0+Y（i）*N（i））;

digits（old）;

end

令X=[11,12];Y=[2.3979,2.4849];x0=11.75;

运行[y0,N]=Lagrange_eval（X,Y,x0）

结果为y0=2.46315这是用线性插值所求得的结果

令X=[10,11,12];Y=[2.3026,2.3979,2.4849];x0=11.75;

运行[y0,N]=Lagrange_eval（X,Y,x0）

y0=2.463928125这是用二次插值所求得的结果

令X=[10,11,12,13];Y=[2.3026,2.3979,2.4849,2.5649];x0=11.75;

运行[y0,N]=Lagrange_eval（X,Y,x0）

y0=2.46385703125这是用三次插值所求得的结果

实验总结（由学生填写）：

教师对本次实验的评价（下面的表格由教师填写）：

评价细目

定性评价

量化分

实验准备（20分）

充分（15-20）□

基本充分（0-15）□

实验态度（20分）

认真（15-20）□

比较认真（10-15）□

不认真（0-10）□

实验报告书写（20分）

规范（15-20）□

基本规范（10-15）□

不规范（0-10）□

实验报告内容（40分）

符合实验要求

（30-40）□

基本符合实验要求

（10-30）□

不符合实验要求

（0-10）□

实验结论及实验成绩

达到实验目的

（80-100）□

基本达到实验目的

（60-80）□

没有达到实验目的

（0-60）□

实验名称：

曲线拟合的最小二乘方法（实验二）指导教师：

覃燕梅

实验时数：

2实验设备：

计算机

实验日期：

2011年月日实验地点：

第五教学楼北802

实验目的：

掌握最小二乘方法，并能根据给定数据求其最小二乘一次或二次多项式，然后进行曲线拟合。

实验准备：

1.在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容；

2.需要准备安装WindowsXPProfessional操作系统和Matlab、C++、VF等数学软件。

实验内容及要求

已知一组实验数据如下：

．

1

2

3

4

2

4

6

8

2

11

28

40

试用最小二乘法求一次拟合多项式，并将拟合曲线画出来．

实验过程：

MATLAB程序

x=2:

2:

8;

y=[2112840];

A=polyfit（x,y,1）

z=polyval（A,x）;

plot（x,y,'k*',x,z,'r'）

A=6.5500-12.5000

实验总结（由学生填写）：

教师对本次实验的评价（下面的表格由教师填写）：

评价细目

定性评价

量化分

实验准备（20分）

充分（15-20）□

基本充分（0-15）□

实验态度（20分）

认真（15-20）□

比较认真（10-15）□

不认真（0-10）□

实验报告书写（20分）

规范（15-20）□

基本规范（10-15）□

不规范（0-10）□

实验报告内容（40分）

符合实验要求

（30-40）□

基本符合实验要求

（10-30）□

不符合实验要求

（0-10）□

实验结论及实验成绩

达到实验目的

（80-100）□

基本达到实验目的

（60-80）□

没有达到实验目的

（0-60）□

实验名称：

Romberg积分法（实验三）指导教师：

覃燕梅

实验时数：

2实验设备：

计算机

实验日期：

2011年月日实验地点：

第五教学楼北802

实验目的：

掌握Romberg算法，并能根据给定的精度要求计算定积分。

实验准备：

1.在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容；

2.需要准备安装WindowsXPProfessional操作系统和Matlab、C++、VF等数学软件。

实验内容及要求

用Romberg法求函数积分

，精度为

．

实验过程：

function[quad,R]=Romberg（f,a,b,eps）

h=b-a;

R（1,1）=h*（feval（f,a）+feval（f,b））/2;

M=1;J=0;err=1;

whileerr>eps

J=J+1;

h=h/2;

S=0;

forp=1:

M

x=a+h*（2*p-1）;

S=S+feval（f,x）;

end

R（J+1,1）=R（J,1）/2+h*S;

M=2*M;

fork=1:

J

R（J+1,k+1）=R（J+1,k）+（R（J+1,k）-R（J,k））/（4^k-1）;

end

err=abs（R（J+1,J）-R（J+1,J+1））;

end

quad=R（J+1,J+1）;

format（'long','eng'）

functionf=f1（x）

f=sin（x）/x;

运行

f=@f1;b=1;a=10^-100;eps=10^-4;

[quad,R]=Romberg（f,a,b,eps）

得

quad=946.083004063674e-003

R=

920.735492403948e-0030.00000000000000e+0000.00000000000000e+000

939.793284806177e-003946.145882273587e-0030.00000000000000e+000

944.513521665390e-003946.086933951794e-003946.083004063674e-003

f=@f1;b=1;a=10^-100;eps=10^-7;

[quad,R]=Romberg（f,a,b,eps）

quad=946.083070387223e-003

R=

920.735492403948e-0030.00000000000000e+0000.00000000000000e+0000.00000000000000e+000

939.793284806177e-003946.145882273587e-0030.00000000000000e+0000.00000000000000e+000

944.513521665390e-003946.086933951794e-003946.083004063674e-0030.00000000000000e+000

945.690863582701e-003946.083310888472e-003946.083069350917e-003946.083070387223e-003

实验总结（由学生填写）：

教师对本次实验的评价（下面的表格由教师填写）：

评价细目

定性评价

量化分

实验准备（20分）

充分（15-20）□

基本充分（0-15）□

实验态度（20分）

认真（15-20）□

比较认真（10-15）□

不认真（0-10）□

实验报告书写（20分）

规范（15-20）□

基本规范（10-15）□

不规范（0-10）□

实验报告内容（40分）

符合实验要求

（30-40）□

基本符合实验要求

（10-30）□

不符合实验要求

（0-10）□

实验结论及实验成绩

达到实验目的

（80-100）□

基本达到实验目的

（60-80）□

没有达到实验目的

（0-60）□

实验名称：

改进的欧拉方法（实验四）指导教师：

覃燕梅

实验时数：

2实验设备：

计算机

实验日期：

2011年月日实验地点：

第五教学楼北802

实验目的：

掌握欧拉方法与改进的欧拉方法，能够用改进的欧拉方法求解微分方程。

实验准备：

1.在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容；

2.需要准备安装WindowsXPProfessional操作系统和Matlab、C++、VF等数学软件。

实验内容及要求

用改进的欧拉方法求初值问题：

．

实验过程：

functionE=MendEuler（f,a,b,N,ya）

h=（b-a）/N;

y=zeros（1,N+1）;

x=zeros（1,N+1）;

y

（1）=ya;

x=a:

h:

b;

fori=1:

N

y1=y（i）+h*feval（f,x（i）,y（i））;

y2=y（i）+h*feval（f,x（i+1）,y1）;

y（i+1）=（y1+y2）/2;

end

E=[x',y']

functionf=f1（x,y）

f=-y;

functiony=solvef1（x）

y=exp（-x）;

运行程序：

f=@f1;a=0;b=1.5;N=15;ya=1;

E=MendEuler（f,a,b,N,ya）;y=solvef1（a:

（b-a）/N:

b）;m=[E,y']

得m=

01.00001.0000

0.10000.90500.9048

0.20000.81900.8187

0.30000.74120.7408

0.40000.67080.6703

0.50000.60710.6065

0.60000.54940.5488

0.70000.49720.4966

0.80000.45000.4493

0.90000.40720.4066

1.00000.36850.3679

1.10000.33350.3329

1.20000.30180.3012

1.30000.27320.2725

1.40000.24720.2466

1.50000.22370.2231

实验总结（由学生填写）：

教师对本次实验的评价（下面的表格由教师填写）：

评价细目

定性评价

量化分

实验准备（20分）

充分（15-20）□

基本充分（0-15）□

实验态度（20分）

认真（15-20）□

比较认真（10-15）□

不认真（0-10）□

实验报告书写（20分）

规范（15-20）□

基本规范（10-15）□

不规范（0-10）□

实验报告内容（40分）

符合实验要求

（30-40）□

基本符合实验要求

（10-30）□

不符合实验要求

（0-10）□

实验结论及实验成绩

达到实验目的

（80-100）□

基本达到实验目的

（60-80）□

没有达到实验目的

（0-60）□

实验名称：

Newton方法（实验五）指导教师：

覃燕梅

实验时数：

2实验设备：

计算机

实验日期：

2011年月日实验地点：

第五教学楼北802

实验目的：

掌握Newton迭代算法，能够根据所给方程求出在某一点附近的根。

实验准备：

1.在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容；

2.需要准备安装WindowsXPProfessional操作系统和Matlab、C++、VF等数学软件。

实验内容及要求

公元1225年，Lenardo宣布他求得方程

的一个根

．当时颇为轰动，但无人知道他是用什么方法得到的．现在，请你试试用Newton迭代法求解这个结果．

实验过程：

function[x,k]=Newton_method（f,x0,emg）

[f1,d1]=feval（f,x0）;

k=1;

x

（1）=x0;

x

（2）=x

（1）-f1/d1;

whileabs（f1）>emg

k=k+1;

[f1,d1]=feval（f,x（k））;

x（k+1）=x（k）-f1/d1;

[f2,d2]=feval（f,x（k+1））;

whileabs（f2）>abs（f1）

x（k+1）=x（k）-f1/d1;

[f2,d2]=feval（f,x（k+1））;

end

end

function[f,d]=func3（x）

f=x^3+2*x^2+10*x-20;

symsy

d1=y^3+2*y^2+10*y-20;

d=subs（diff（d1）,y,x）;

运行：

f=@func3;[x,k]=Newton_method（f,1.5,10^-6）

得

x=

1.50001.37361.36881.36881.3688

k=

4

实验总结（由学生填写）：

教师对本次实验的评价（下面的表格由教师填写）：

评价细目

定性评价

量化分

实验准备（20分）

充分（15-20）□

基本充分（0-15）□

实验态度（20分）

认真（15-20）□

比较认真（10-15）□

不认真（0-10）□

实验报告书写（20分）

规范（15-20）□

基本规范（10-15）□

不规范（0-10）□

实验报告内容（40分）

符合实验要求

（30-40）□

基本符合实验要求

（10-30）□

不符合实验要求

（0-10）□

实验结论及实验成绩

达到实验目的

（80-100）□

基本达到实验目的

（60-80）□

没有达到实验目的

（0-60）□

实验名称：

雅可比迭代方法（实验六）指导教师：

覃燕梅

实验时数：

2实验设备：

计算机

实验日期：

2011年月日实验地点：

第五教学楼北802

实验目的：

掌握列主元的高斯消去法思想，能够利用列主元的高斯消去法求解任意阶数的线性方程组。

实验准备：

1.在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容；

2.需要准备安装WindowsXPProfessional操作系统和Matlab、C++、VF等数学软件。

实验内容及要求

用的雅可比迭代方法求解下列方程组：

.

实验过程：

function[x,k]=Jacobimethod（A,b,x0,N,emg）

n=length（A）;

x1=zeros（n,1）;

x2=zeros（n,1）;

x1=x0;k=0;

r=max（abs（b-A*x1））;

whiler>emg

fori=1:

n

sum=0;

forj=1:

n

ifi~=j

sum=sum+A（i,j）*x1（j）;

end

end

x2（i）=（b（i）-sum）/A（i,i）;

end

r=max（abs（x2-x1））;

x1=x2;

k=k+1;

ifk>N

disp（'µü´úʧ°Ü£¬·µ»Ø'）;

return;

end

end

x=x1;

运行

A=[10,-1,2,0;-1,11,-1,3;2,-1,10,-1;0,3,-1,8];b=[6,25,-11,15]';x0=[0,0,0,0]';

[x,k]=Jacobimethod（A,b,x0,100,10^-5）

得

x=

1.000000752687866

1.999998684403860

-0.999998994536013

0.999998615913465

k=

16

实验总结（由学生填写）：

教师对本次实验的评价（下面的表格由教师填写）：

评价细目

定性评价

量化分

实验准备（20分）

充分（15-20）□

基本充分（0-15）□

实验态度（20分）

认真（15-20）□

比较认真（10-15）□

不认真（0-10）□

实验报告书写（20分）

规范（15-20）□

基本规范（10-15）□

不规范（0-10）□

实验报告内容（40分）

符合实验要求

（30-40）□

基本符合实验要求

（10-30）□

不符合实验要求

（0-10）□

实验结论及实验成绩

达到实验目的

（80-100）□

基本达到实验目的

（60-80）□

没有达到实验目的

（0-60）□

实验名称：

列主元的高斯消去法（实验七）指导教师：

覃燕梅

实验时数：

2实验设备：

计算机

实验日期：

2011年月日实验地点：

第五教学楼北802

实验目的：

掌握列主元的高斯消去法思想，能够利用列主元的高斯消去法求解任意阶数的线性方程组。

实验准备：

1.在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容；

2.需要准备安装WindowsXPProfessional操作系统和Matlab、C++、VF等数学软件。

实验内容及要求

解下列方程组

实验过程：

functionx=Gauss_pivot（A,b）

n=length（b）;

x=zeros（n,1）;

c=zeros（1,n）;

d1=0;

fori=1:

n-1

max=abs（A（i,i））;

m=i;

forj=i+1:

n

ifmax

max=abs（A（j,i））;

m=j;

end

end

if（m~=i）

fork=i:

n

c（k）=A（i,k）;

A（i,k）=A（m,k）;

A（m,k）=c（k）;

end

d1=b（i）;

b（i）=b（m）;

b（m）=d1;

end

fork=i+1:

n

forj=i+1:

n

A（k,j）=A（k,j）-A（i,j）*A（k,i）/A（i,i）;

end

b（k）=b（k）-b（i）*A（k,i）/A（i,i）;

A（k,i）=0;

end

end

%huidaiqiujie

x（n）=b（n）/A（n,n）;

fori=n-1:

-1:

1

sum=0;

forj=i+1:

n

sum=sum+A（i,j）*x（j）;

end

x（i）=（b（i）-sum）/A（i,i）;

end

运行

A=[0.729,0.81,0.9;1,1,1;1.331,1.21,1.1];b=[0.6876,0.8338,1.000]';

>>x=Gauss_pivot（A,b）

得

x=

0.274545454545451

0.176********3643

0.382890909090906

实验总结（由学生填写）：

教师对本次实验的评价（下面的表格由教师填写）：

评价细目

定性评价

量化分

实验准备（20分）

充分（15-20）□

基本充分（0-15）□

实验态度（20分）

认真（15-20）□

比较认真（10-15）□

不认真（0-10）□

实验报告书写（20分）

规范（15-20）□

基本规范（10-15）□

不规范（0-10）□

实验报告内容（40分）

符合实验要求

（30-40）□

基本符合实验要求

（10-30）□

不符合实验要求

（0-10）□

实验结论及实验成绩

达到实验目的

（80-100）□

基本达到实验目的

（60-80）□

没有达到实验目的

（0-60）□