梁彬灿电磁学第三节习题解答.docx
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梁彬灿电磁学第三节习题解答.docx
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梁彬灿电磁学第三节习题解答
3.2.1
解答:
(1)如图,偶极子的电荷量和所受的电场力分别为和,大小相等,合力为0,但所受的力矩为
当且仅当和时,电偶极子受的力矩为0,达到平衡状态,但在的情况下稍受微扰,电偶极子将受到回复力矩回到平衡位置上,因此,时,是稳定平衡;但在的情况下稍受微扰,电偶极子受到的力矩将使电偶极子“倾覆”到达情况,因此,的情况是不稳定平衡。
(2)若E不均匀,一般情况下,偶极子的电荷量和所受的电场力不为0,电场力将使偶极子转向至偶极矩P与场强E平行的情况,由于电场不均匀,偶极子所受的合力不为0.因此,电偶极子不能达到平衡状态。
3.2.2
解答:
(1)如图,偶极子和中的处激发的电场为
所受的电场力为
偶极子和中的处激发的电场为
所受的电场力为
偶极子受到的合力为
令,,,则,故
因,对和在处展开后,略去高次项
所以
其大小为
以上是和同向的情况,反向时大小不变,受力方向相反。
(2)对的情况亦相同。
易见和同向时互相吸引,反向时互相排斥。
3.2.3
解答:
(1)偶极子所受的力矩大小为
最大力矩为时
(2)偶极子从不受力矩的方向转到受最大力矩的方向,即从0到,电场力所做的功为
3.2.4
解答:
(1)偶极矩为p的电偶极子处在外电场E中,最一般情况是p与外电场E夹角为(图,所在处的电势为,偶极子的电势能为
(2)P与E的夹角为0时电势能最小,即
(3)P与E的夹角为时电势能最大,即
3.4.1
解答:
图,因圆板被均匀极化,故只有在介质圆板边缘上有极化面电荷,弧长为,厚度为h的面元面积为,在处的极化面电荷密度为
根据对称性,极化面电荷在圆板中心产生的电场强度只存在y分量,位于处的极化电荷在圆板中心产生的电场强度的y分量为
全部极化面电荷在圆板中心产生的电场强度大小为
补上电场强度的方向,电场强度为
3.4.2
解答:
紧靠导体A表面的极化电荷面密度与该处的极化强度矢量P在导体面法线上的投影的关系为
式中:
法线的方向为导体的外法线方向。
利用关系与,得
紧邻该导体面元作一贯通导体表面的小柱面(图,根据介质中的高斯定理可证得紧靠导体A表面介质的电位移矢量在导体面的外法线的投影
从而有
解得
3.4.3
解答:
(1)在介质两个底面的极化电荷面密度为
式中:
法线为介质圆柱体的外法线单位矢。
(2)如图,在介质内沿轴向作一端面积为S、长为、体积为V的柱体,极化电荷体密度为
3.4.4
解答:
如附图所示,法线单位矢向下,因是均匀电介质,故。
在界面处作一底面积为的柱面,被包围导体面上的自由电荷的电荷量为,根据高斯定理,自由电荷在介质中激发的电场为
而极化电荷面密度为
极化电荷在介质中激发的电场为
自由电荷和极化电荷在介质中激发的总电场为
3.4.5
解答:
(1)根据电容器的定义并代入数据,得
(2)金属板内壁的自由电荷(绝对值)为
(3)放入电介质后,电压降至时电容C为
(4)两板间的原电场强度大小
(5)放入电介质后的电场强度大小
(6)电介质与金属板交界面上的极化电荷的绝对值为,因极化电荷与自由电荷反号,有
而
(7)电介质的相对介电常数为
3.4.6
解答:
空腔面的法线取外法线方向单位矢,建立直角坐标系,为矢径R与z轴的夹角(图,球面上的极化电荷面密度为
由上式知,紧贴球形空腔表面介质上的极化电荷面密度是不均匀的,极化电荷面密度左侧为正,右侧为负。
球面上坐标为的面元面积为。
该面元上的极化电荷量为
带电面元在球心处激发的电场强度方向由源点指向场点,用单位矢表示
根据对称性,极化电荷在球心的场强E的方向沿z轴方向,故只需计算场强E的z分量,即
因
故得
3.5.1
解答:
因导体板上内表面均匀分布自由电荷,取上导体板的法线方向指向下方,即有
在介质1板中,有
在介质2板中,有
如图,贴近上导体板处的极化电荷面密度为
贴近下导体板处的极化电荷面密度为
两介质板间的极化电荷面密度为
3.5.2
解答:
图,以面为对称面在板内作一两端面积为S,垂直面,长为的柱面。
根据电场强度的方向,柱面侧面的电通量为0,按介质中高斯定理,有
得
式中:
为背离面的单位矢;为所求场点到面的距离。
板内介质的极化强度矢量为
同理,以面为对称面作一伸出板外的,两端面积为S,垂直面的柱面。
按介质中高斯定理,有
得
板外的极化强度矢量为
3.5.3
解答:
(1)介质板用“2”标记,其余空气空间用“1”标记,单位矢方向为由高电势指向低电势,两极板间电势差(绝对值)为
无论在空间1还是在2,电位移矢量D相等,故有
得
即
解得
(2)因,故极板上自由电荷的电荷量(绝对值)为
(3)极板和介质间隙中(空气中)的场强,故
(4)电容为
3.5.4
解答:
(1)极板上自由电荷的电荷量(绝对值)为
(2)因,而在空气和介质中,D相同。
故在介质中电位移矢量为
式中:
为高电势向低电势的法向单位矢量。
在介质中电场强度为
(3)断开电源后,插入电介质,电荷量不变,电压改变,故有,利用习题
3.5.5
证明:
虽然电容器极板间两部分充的介质不同,但加在介质上下的电压U却相等。
两介质的分界面垂直极板,由于电场强度的切线分量连续,而对分界面而言,介质两侧的电场强度的仅有切线分量,即。
极板间两部分就如两个电容器与并联。
而,因此两个电容器并联的电容为
3.5.6
解答:
(1)图,“+”、“—”符号标在相应的图上。
(2)两个电容器的电容值为
3.5.7
证明:
在介质中的电位移矢量,因此,电场强度,按题意
介质中离球心为r处的电势为
3.5.8
解答:
设玻璃的电场强度为,空气的电场强度为,当两极板间加上电压U后,有
利用空气与玻璃板中的电位移相等的关系,应有
代入数据得
此值低于玻璃的击穿场强,说明玻璃不会被击穿。
因
此值高于空气的击穿场强,说明空气被击穿。
若取出玻璃,则
此值低于空气的击穿场强,说明空气不会被击穿。
3.5.9
解答:
(1)以r为半径,长度为一个单位,作一与导线同轴的圆柱体。
圆柱体的表面作为高斯面,求得介质中的电位移矢量为
电场强度为
极化强度矢量为
(2)两极的电势差U为
(3)在半径与处,介质表面的极化电荷面密度分别为
3.5.10
解答:
设内筒单位长度的电荷量为,则求得
显然,半径越小,场强越大
的最大值在内筒外半径处,即
的最大值在内筒外半径处,即
图,即,越大,即越趋近于,在分界面上的的最大值就越小,的条件保证两种介质中的最大值与二者之比为
说明总比大。
当电压升高时,内外层介质中的场强就随之增大,由于内、外层介质中的场强最大值分别出现在内筒外半径处和介质的分界面上。
当外层介质中场强最大值超过介电强度时,内层介质在内筒外半径处的场强尚未达到介电强度,因此,外层介质首先被击穿。
两筒之间的电压为
与分界面上的的最大值比较,得
当U达到某值时,,导致外层介质被击穿,故得两筒之间允许的最大电势差为
3.5.11
解答:
(1)先分析介质平板中激发电场的电荷分布,因介质板内有自由电荷密度,在自由电荷处对应的极化电荷密度为
总电荷体密度为
因此,平板中电荷为均匀分布。
另外,在介质板两侧为不同的介质,由于,故在两界面上的极化电荷密度。
在板内存在一个电场强度的平面,不妨称它为零电场面。
此面的电位移矢量,参看图,向两侧作底面积为S,垂直面伸出平板外的柱体,柱体的表面为高斯面,根据对称性,E与D的方向垂直介质板的表面,因此高斯面侧面的电通量为0,两个高斯面包围的自由电荷的电荷量分别为和。
根据介质中高斯定理,求得介质板两侧的电位移矢量为
两侧的电场强度为
单位矢的方向为背向介质板表面,如图,按习题,在介质板两侧的电场的大小相等,即。
因而
因,求得零电场面的位置
用i表示方向向右的单位矢,则板外两侧介质的电场为
同理,以零电场面为基面在板内作底面积为S、长为x的高斯面,求得介质板内电位移矢量为
板内的电场强度为
式中:
x为板内场点的坐标。
(3)将数据代入,得
板内极化强度矢量为
板左侧的相对介电常数为1,意味着是真空或空气,故板左侧面的极化电荷面密度为
板右侧区的极化强度矢量为
板右侧面的极化电荷面密度为
板左、右两侧面的面电荷在面激发的电场为
在介质板内作以为对称面、长度为从到面的距离的2倍的柱状高斯面,面内包含的电荷量为
板内电荷在面激发的电场可用高斯定理求得
全部电荷在面激发的总电场为
即验证全部自由电荷与极化电荷在零场面上激发的E的确为零。
3.6.1
解答:
(1)由习题,当极板单位长度带的电荷量为时,两板间的电压为
根据电容器的定义,此电容器单位长度的电容为
(2)因D只有法向(径向)分量,在介质界面上没有自由电荷,故D连续;E亦只有法向(径向)分量,因在介质界两侧介质不同,,界面上有极化电荷,故E不连续。
3.6.2
解答:
如图,左侧电场的法线分量为
因E的切线分量连续,故
利用D的法线分量连续的性质,得
的法线分量为
的大小
3.6.3
解答:
(1)球面的E通量为
(2)因
D沿附图中的窄矩形的环流为
3.6.4
解答:
(1)的切线分量和法线分量分别为
利用边界上电场强度的切线分量连续和电位移矢量法线分量连续的性质
得
(2)B点的极化电荷面密度为
3.7.1
解答:
有玻璃板时,电容器电容为
将玻璃板移开后,电容器电容为
(1)电容器一直与直流电源相接时,电压U不变。
未抽出玻璃板时电容器的能量为
抽出玻璃板后电容器的能量为
二者之比
(2)用直流电源给电容器充电后,先断开电源再抽出玻璃板,电荷量不变,故
二者之比
3.7.2
解答:
距球心r处的电位移矢量和电场强度分别为
电介质内任一点的能量密度为
思考题选答
3.1
解答:
(1)不正确。
例如在介质中有等值异号的正负自由电荷和,作一高斯面包围这两个自由电荷,面内的自由电荷总量虽然等于0,但面上各点的电位移矢量D却不等于0。
(2)正确。
这是介质中的高斯定理的结果
(3)正确。
因为对S面各点的E为零,由,知S面各点的D为零,由介质中的高斯定理,得知面内自由电荷总量为零。
若面内电荷含有自由电荷及极化电荷,由高斯定理,得出面内极化电荷总量的结论。
(4)正确
(5)不正确。
因为由电位移矢量定义,D不仅与自由电荷有关,而且还与极化电荷有关
3.5
解答:
(1)(b);
(2)(a);(3)(b);(4)(a),(d);
(1)由,式中n为导体的外法线方向,而
因而得
(2)由,得
(3)因为
(1)、
(2)、(3)题的结论都与介质是否均匀无关。
(4)静电平衡时,金属内的场强为0,故
下面分析(b)和(c)不成立的理由:
设想一带电导体球放在相对介电常数为的均匀的介质中,根据对称性,自由电荷面密度均匀分布在球面上,因此自由电荷在球内激发的电场强度为0,即,亦可知,由于
导体球面上的极化电荷面密度与自由电荷面密度的大小成比例,也是均匀分布,因而极化电荷在球内激发的电场为0,即。
当导体球放在非均匀介质中,例如导体球的上、下半侧为相对介电常数分别为与的两种电介质,如图3.5所示。
由于静电平衡,导体内。
在导体球表面两个半球面的总电荷面密度均匀分布,即。
但两个半球面上的自由电荷面密度、却不相等
因而,两个半球面上的极化电荷面密度、亦不相等
因此,自由电荷、及极化电荷、在球内激发的电场均不等于0,即
3.6
证明:
图3.6中分界面Oxy坐标面,在介质2的电位移矢量为,在介质1的电位移矢量为。
与界面法线(z轴方向)在Oyz坐标平面,与法线构成的平面为图3.6中带虚线边框的平面,假设该
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