初中数学辅助线添加秘籍4图形变换轴对称.docx

初中数学辅助线添加秘籍4图形变换轴对称.docx

《初中数学辅助线添加秘籍4图形变换轴对称.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学辅助线添加秘籍4图形变换轴对称.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

初中数学辅助线添加秘籍4图形变换轴对称

初中数学辅助线添加秘籍4、图形变换轴对称

1、线段的垂直平分线

2、轴对称

（1）轴对称图形（1个图形）

（2）轴对称（2个图形）

3、轴对称和轴对称图形性质

（1）轴对称图形的对应线段相等、对应角相等。

（2）如果两个图形关于莫条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

4、坐标轴的对称点，设点p的坐标为（x，y）

（1）关于x轴对称p’（x，-y）

（2）关于y轴对称p’（-x，y）

（3）关于y=x对称p’（y，x）

（4）关于y=-x对称p’（-y，-x）

（5）关于o对称p’（-x，-y）

5、折叠问题

（1）折叠前后—全等

（2）折痕—垂直平分线

（3）勾股定理或相似三角形、

一、折痕问题

1、考察图形折痕的不变形。

折叠前后—全等

如图,把矩形ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B'处,点A落在A'处,若

请写出a,b,c之间的一个等量关系

答案

.

则

.

ab=a’b’=aae=a’e’=bbf=b’f=b’e=c

.

2、如图，等边

的边长为

，

、

分别是

、

上的点，将

沿直线

折叠，点

落在点

处，且点

在

外部，则阴影部分图形的周长为_____

。

将

沿直线

折叠，点

落在点

处，所以

，

。

则阴影部分图形的周长等于

。

故本题正确答案为

。

3、如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD，BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使点A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E.若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N＝——；若M、N分别是AD、BC边上距DC最近的n等分点（n≥2，d且n为整数），则A′N＝——.（用含有N的式子表示）

答案

4、如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则折痕MN的长是（　　）

图1图2图3

图2正方形中AB垂直CD，则AB=CD

在RT△CHG和RT△AGL中，∠cgb=∠agf，∴∠HCG=∠GAL

Ae=cf∠cfd=∠bea=90°∴△bae全等于△cdf∴ab=cd

解：

图3连接de,MG⊥bc

Mn为折痕（对称轴），两边对称，对称点的连线垂直于对称轴，e，d为对称点，ed⊥mn，可证△mng全等于△dec∴mn=de

mn²=De²=8²+4²=80

二、轴对称变换

●线段或角度存在2倍关系

5、如图4-12所示，在△ABC中，AB=2BC，∠B=2∠A，求∠C 

答案

作△ABC的角平分线BD,作△ABD的高DE 

∵∠B=2∠A,∠B=2∠ABD（角平分线） 

∴∠A=∠ABD 

∴AD=BD（等边对等角） 

∴E是AB的中点（三线合一） 

∴AB=2BE 

∴BE=BC 

∴△BDC≌△BDE（SAS） 

∴∠C=∠BED=90°

●有互余互补关系的图形

6、四边形ABCD中,

则四边形ABCD的面积为

答案

解:

作

连接

是直角三角形,

四边形ABCD的面积为:

.

●角度和或角度差存在特殊角

7、如图所示，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCA－∠ACD=60°，求证：

AD＋CD≥AB.

答案

解：

通过角的关系，得出边的关系来求

故答案为：

在四边形内侧作∠BCE＝60°，CE交AB于E在直线CE上取一点F得FB＝FC，连接FA

∵FB＝FC，∠FCB＝60°，∴△FBC是等边三角形

∴CD＝BC＝FB＝FC

∵∠BCA－∠ACD＝60°，∴∠BCA－60°＝∠ACD，即∠FCA＝ACD

∵AC＝AC，∴△ACF≌△ACD，∴AF＝AD

若点F和点E不重合（∠B≠60°），AD＋CD＞AB

若点F和点E重合（∠B＝60°），AD＋CD＝AB

综上所述AD＋CD≥AB

●路径最短问题

8、1）如图①，在l上找一点P，使PA＋PB最小.

（2）如图②，在l上找一点P，使PA＋PB最小.

（3）如图③，在1上找一点Q，使AQ＋BQ最大.

（4）如图④，在l上找一点Q，使AQ－BQ最大.

答案

解：

（1）如图1连接AB交直线l于点P，则点P为所求.

理由：

在直线l上另取异点P的点P′，连接P′A，P′B则有P′A＋P′B＞AB，故点P符合要求.

（2）如图2，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，则点P即为所求的点.

理由：

在直线l上取异于点P的另一点P′.连接P′A，PA′，P′A′，P′B.则有PA＝PA′，P′A＝P′A′.在△A′BP′中，P′A′＋P′B＞A′B＝PA′＋PB＝PA＋PB.

（3）如图3，连接AB异延长交直线l于点Q，点Q即为所求.

理由：

在直线l上另取一点Q′，连接AQ′，BQ′.

在△ABQ′中，AQ′－BQ′＜AB.即AQ′－BQ′＜AQ－BQ

（4）如图4，作点A关于直线l的对称点A′，直接A′B异延长，交直线l于点Q，则点W即为所求.

理由：

在l上另取一点Q′，连结Q′A，Q′B，QA，则有Q′A＝Q′A′，QA＝QA′.

AQ－BQ＝OA′－BQ＝A′B＞A′Q′－Q′B＝Q′A－Q′B

9、已知∠AOB内有一点P，在角的两边上找两点M，N，使△PMN的周长最短.

答案

【答案】

解：

分别作出点P关于直线OA和OB的对称点C、D，然后连接CD，则CD与OA、OB的交点就是所要求的点M和N.

如图所示.

10、在直线L1，L2上分别求点M、N使得四边形PMNQ的周长最小.

答案

解：

如图所示：

分别作点P、Q关于L2、L1的对称点C、D，

DQ交L1与点M，PC交L2于点N，则MN为所求．

11、在直线上求两点m、n（m在左），使MN=a，使AM+MN+NB最小

B

A

B

A

12、在直线上求P点，/PA-PB/最大

B

A

Ab延长与直线相交于p

13、如图,已知点P在锐角

内部,

在OB边上存在一点D,在OA边上存在一点C,能使

最小,此时

解:

过P的作关于OB的对称点

作

于C,交OB于D,此时

根据点到直线的距离最短可以知道

最短,

.

14、

（1）如图,四边形ABCD是正方形,M是BC的中点,

.点P是BD上一动点,则

的最小值是

（2）如图,四边形ABCD是菱形,

M是BC的中点,

.点P是BD上一动点,则

的最小值

答案

解:

四边形ABCD是正方形,

且A与C关于直线BD对称,

连接AM,AM与BD的交点,即为所求的P点,

M是BC的中点,

在

中,

的最小值是

.

因此，本题正确答案是:

.

答案

（2）

解:

如图,

四边形ABCD是菱形,

点A、C关于BD对称,

连接AM,AM即为

的最小值,

是BC的中点,

是等边三角形,

是直角三角形,

即

的最小值.

因此，本题正确答案是:

.