八年级下册数学思想专题.docx
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八年级下册数学思想专题
数学八下数学思想
一、转化思想
转化思想就是将所要解决的问题,转化为一个较易解决的问题或已经解决问题的思想.具体来说,就是使“新知识”向“旧知识”转化,“未知”向“已知”转化,“复杂”向“简单”转化.
1.“新知识”向“旧知识”转化
a.将分式方程转化为整式方程.
b.将新定义转化为所学知识解题.
c.将求两直线交点坐标问题转化为解二元一次方程组.
【示例a】
.
【破题思维】将分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
【参考答案】去分母得x2+2x+1-4=x2-x,
解得x=1,
经检验x=1是增根,
所以原分式方程无解.
【示例b】规定运算:
a☆b=
-
,a※b=
+
,其中a,b为实数,则(3☆5)(3※5)=.
【破题思维】根据题中的新定义,将新定义的运算转化为熟悉的二次根式运算,计算即可求出值.
【参考答案】根据题中的新定义得原式=(
-
)×(
+
)=3-5=-2.
【示例c】已知直线l1:
y=-4x+5和直线l2:
y=
x-4.
(1)求两条直线l1和l2的交点坐标;
(2)求两条直线l1和l2与x轴围成的三角形的面积.
【破题思维】将两直线的表达式联立起来解方程组,方程组的解就是交点坐标,本题将求两直线交点坐标的问题转化为解二元一次方程组,体现了转化思想的应用.
【参考答案】设两条直线l1和l2的交点坐标为P(x,y),
依题意得
解得
即P(2,-3).
(2)如图,设两条直线l1和l2与x轴的交点为A,B,
则A(8,0),B(
,0),
∴S△PAB=
×(8-
)×3=
.
2.“未知”向“已知”转化
a.将四边形转化为三角形解题.
b.添加辅助线将多边形转化为三角形解题.
【示例a】如图,在▱ABCD中,点E、F分别在边CB,AD的延长线上,且BE=DF,EF分别与AB,CD交于点G,H,则BG与DH有怎样数量关系?
证明你的结论.
【破题思维】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质,解题的关键是四边形转化为三角形,通过全等三角形找出线段间的关系.
【参考答案】BG=DH,理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,∠A=∠C,AB=DC,
∴∠E=∠F.
又∵BE=DF,AF=AD+DF,CE=CB+BE,
∴AF=CE,
在△CEH和△AFG中,
∴△AFG≌△CEH(ASA),
∴AG=CH,
∴BG=DH.
【示例b】已知:
如图,四边形ABCD中,AD∥BC,E是AB中点.求证:
S四边形ABCD=2S△CDE.
【破题思维】通过添加辅助线,将不规则的多边形转化为熟悉的三角形,利用全等三角形的判定与性质进行求解与证明.
【参考答案】如图,延长DE交CB的延长线于点F,
∵AD∥CF,
∴∠A=∠EBF,∠ADE=∠F.
∵点E为BA的中点,
∴AE=BE.
在△DAE≌△BEF中,
∴△DAE≌△BEF,
∴DE=EF,DA=BF.
设四边形ABCD的高为h,
∴S△DCF=
(BC+BF)h=
(BC+AD)h=S四边形ABCD,
∴S△DEC=
S△DCF=
S四边形ABCD.
3.“复杂”向“简单”转化
a.将立体图形上最短路径问题转化为平面图形上两点之间最短距离问题.
b.将不规则图形面积转化为规则图形的面积.
c.将解方程(组)的问题转化为解不等式(组)的问题.
【示例a】如图,圆柱形容器的高为0.9m,底面周长为1.2m,在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子.此时,一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处,求壁虎捕捉蚊子的最短距离.
【破题思维】将容器侧面展开,即将立体图形转化为平面图形,建立A关于EF的对称点A′,根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.
【参考答案】如图,∵高为0.9m,底面周长为1.2m,在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子,
此时一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处,
∴A′D=0.6m,BD=0.8m.
将容器侧面展开,作A关于EF的对称点A′,
连接A′B,则A′B即为最短距离,
A′B=
=
=1(m).
【示例b】如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过O作直线交AD于点E,交BC于点F.若▱ABCD的面积为30,求阴影部分的面积.
【破题思维】运用全等三角形的性质将三角形AEO的面积转化为三角形CFO的面积,从而使三块阴影部分构成一个整体,进而求解.
【参考答案】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AB∥CD,△BCD的面积=
平行四边形ABCD的面积=
×30=15,
∴∠AEO=∠CFO.
在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF(AAS),
∴△AOE的面积=△COF的面积,
∴阴影部分的面积=△BCD的面积=15.
【示例c】如果关于x,y的二元一次方程组
的解是正整数,求整数p的值.
【破题思维】先把p看成常数,求出方程组的解,然后根据题意转化为求解关于p的不等式组.
【参考答案】解二元一次方程组
得
∵方程组的解是正整数,
∴
解得
.
∵p为整数,方程组的解为正整数,
∴p=7,9.
二、分类讨论思想
分类讨论思想,其实质是把问题“分而治之,各个击破”.把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题转化为“小”问题,便于求解.
1.对字母、未知数的取值范围分不同情况讨论
【示例】已知一次函数
的图象经过点A(0,3),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为3,求此一次函数的表达式.
【破题思维】根据点(0,3)确定常数b的值,利用图象与x轴的交点坐标特征确定其坐标,再根据图象与两坐标轴围成的三角形的面积确定待定系数k,即可求出一次函数表达式.
【参考答案】把A(0,3)代入一次函数y=kx+b得b=3,
当y=0时,kx+3=0,解得x=-
,
则直线与x轴的交点坐标为(-
,0),
∵一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为3,
∴
×|-
|×3=3,
当k>0时,解得k=1.5,
当k<0时,解得k=-1.5,
∴一次函数的表达式为y=1.5x+3或y=-1.5x+3.
2.对图形的位置、类型的分类讨论
【示例】△ABC中,AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,则BC的长
为____________.
【破题思维】①当高AD在△ABC的外部时,②当高AD在△ABC的内部时.分别根据勾股定理计算BC的长即可.
【参考答案】①如图
(1),当高AD在△ABC的外部时,
AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,
在Rt△ABD中,由勾股定理,得BD2=AB2-AD2=152-122=81,
∴BD=9.
同理可得CD=5,
∴BC=BD-DC=9-5=4.
②如图
(2),当高AD在△ABC的内部时,
AB=15,AC=13,BC边上高AD=12,
在Rt△ABD中,由勾股定理,得BD2=AB2-AD2=152-122=81,
∴BD=9,
同理可得CD=5,
∴BC=DC+BD=5+9=14.
故BC的长为4或14.
3.对问题的题设条件需分类讨论
【示例】已知|a|=5,
且ab>0,则a-b的值为______________.
【破题思维】本题中a,b可能是正数,也可能是负数,因此分情况讨论即可求解.
【参考答案】∵|a|=5,
且ab>0,
∴a=5,b=3或a=-5,b=-3.
当a=5,b=3时,a-b=2;
当a=-5,b=-3时,a-b=-2.
综上a-b的值为-2或2.
4.从图象中获取信息进行分类讨论
【示例】如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B沿AE折叠,使点B落在点B′处,当△CEB′为直角三角形时,求BE的长.
【破题思维】由题和题图可分∠B′EC=90°,∠EB′C=90°,∠B′EC=90°三种情况讨论即可.
【参考答案】当∠B′EC=90°时,如图
(1),
∴∠BEA=∠B′EA=45°,
∴BE=AB=3;
(2)当∠EB′C=90°时,如图
(2).
在Rt△ABC中,∵AB=3,BC=4,
∴AC=
=5,
∵矩形ABCD沿AE折叠,使点B落在点B′处,
∴∠B=∠AB′E=90°,EB=EB′,AB′=AB=3,
∴点A、B′、C共线,即点B′在AC上,CB′=AC-AB′=5-3=2,
设BE=x,则EB′=x,CE=4-x,
在Rt△CEB′中,∵EB′2+CB′2=CE2,
∴x2+22=(4-x)2,解得x=
,
即BE=
,
(3)当∠B′EC=90°,不符合题意.
综上所述,BE的长为3或
.
(1)
(2)
5.对求解过程中不便统一表述的问题进行分类讨论
【示例】已知△ABC是等腰三角形,BC边上的高恰好等于BC边长的一半,求∠BAC的度数.
【破题思维】在解题过程中分情况BC边为底边或BC边为腰讨论,可使问题化难为易得到解决.
【参考答案】
(1)如图
(1),当BC边为底边时,AD=
BC=BD=CD,
所以△ABD和△ADC为等腰直角三角形,
所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=90°.
(2)如图
(2),当BC边为腰,垂足在三角形内部时,
AD=
BC=
AC,
所以∠C=30°,
又因为AC=BC,
所以∠BAC=∠ABC=
(180°-∠C)=75°.
(3)如图(3),当BC边为腰,垂足落在三角形外时,
AD=
AB,
所以∠ABD=30°,
所以∠BAC=∠C=
∠ABD=15°.
故∠BAC的度数为90°或75°或15°.
(1)
(2)(3)
三、数形结合思想
数形结合思想是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。
“数无形时不直观,形无数时难入微”.数形结合思想的关键就是抓住“数”与“形”之间本质上的联系,以“形”直观地表达“数”,以“数”精确地研究“形”,实现代数与几何之间的相互转化.
1.数转化为形:
即根据给出的“数式”的结构特点,构造出与之相应的几何图形,用几何方法解决代数问题.
【示例】如图是一个长、宽、高分别是4,2,1的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处,沿着长方体的表面到长方体上和点A相对的顶点B处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是.
【破题思维】本题计算最短路径,但在立方体表面不容易进行分析计算,因此需要把立体图形展开成平面图形,把各边长准确地标记好,就能更直观地进行路径的分析计算.
【参考答案】5
【解析】因为蚂蚁在长方体表面爬行,可以将长方体展开成平面图形求解。
长方体的平面展开图不唯一,故分以下三种情况进行讨论:
①把前面和右面展开,连接AB,如图
(1),得AB2=(2+4)2+12=37;②把前面和上面展开,连接AB,如图
(2),得AB2=(1+4)2+22=29;③把左面和上面展开,连接AB,如图(3),得AB2=(2+1)2+42=25.综上,最短路径的长为
=5.
图
(1)图
(2)图(3)
2.形转化为数:
用代数方法研究几何问题,这是解析几何的基本特点.
【示例】如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E.
(1)求证:
四边形ADCE为矩形.
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是正方形?
并给出证明.
【破题思维】在证明矩形的过程中,需要通过计算求得未知角的度数,看是否满足矩形的条件;证明正方形则在矩形的基础上,利用角度关系求得三角形的满足条件.把各种几何图形的联系转换成边角的计算,以“数”精确地研究“形”,实现代数与几何之间的相互转化.
【解题思路】
(1)在等腰三角形ABC中,易得∠BAD=∠CAD,由AN平分∠MAC,可得∠MAE=∠CAE,进而可得∠DAE=90°,由∠ADC=∠CEA=90°,即可得证;
(2)要使四边形ADCE是正方形,需AD=DC,即∠DAC=45°,则∠BAC=90°.
【参考答案】
(1)证明:
在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC.
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线,
∴∠MAE=∠CAE,
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=
×180°=90°.
又AD⊥BC,CE⊥AN,
∴∠ADC=∠CEA=90°,
∴四边形ADCE为矩形.
(2)当△ABC满足∠BAC=90°时,四边形ADCE是正方形.
证明:
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ACB=∠B=45°.
∵AD⊥BC,
∴∠CAD=∠ACD=45°,
∴DC=AD,
∴四边形ADCE是正方形.
3.数形结合:
即用形研究数,用数研究形,相互结合,使问题变得直观、简捷、思路易寻.
【示例】如图
(1),在长方形MNPQ中,动点R从点N出发,沿着N→P→Q→M方向运动至点M处停止.设点R运动的路程为x,△MNR的面积为y,如果y关于x的函数图象如图
(2)所示,那么下列说法不正确的是()
图
(1)图
(2)
A.当x=2时,y=5B.长方形MNPQ的周长是18
C.当x=6时,y=10D.当y=8时,x=10
【破题思维】根据面积与运动路程的函数图象,结合拐点的数据,以及矩形的特征,逐段分析运动情况,体现了数形结合的数学思想.
【参考答案】D
【解析】由题图可知,MN=5,NP=4.当x=2时,△MNR的面积=
×5×2=5,故选项A正确.长方形MNPQ的周长为2×(4+5)=18,故选项B正确.当x=6时,点R在QP上,△MNR的面积=
×5×4=10,故选项C正确.当y=8时,设此时△MNR的高为h,则
×5×
h=8,则h=
,所以点R在PN或QM上.当点R在PN上时,x=
;当点R在QM上时,x=
,故选项D错误.故选D.
四、方程思想
在解决问题时,通过已知量和未知量的联系,建立起方程或方程组,通过解方程或方程组,求出未知量的数值,从而使问题得以解决,这种通过立方程(组)去沟通已知和未知的联系的数学思想,就称为方程思想.
1.利用方程思想解决实际问题
a.结合所给数据列方程求解.
b.列分式方程解决实际问题.
【示例a】李老师为了了解本班学生每周课外阅读文章的数量,抽取了8名同学进行调查,调查结果如下(单位:
篇/周):
4,
,2,5,5,4,3,3,其中有一个数据不小心被墨迹污损.已知这组数据的平均数为4,那么这组数据的中位数为篇.
【破题思维】设被污损的数据为x,根据这组数据的平均数为4列方程求出x的值,再依据中位数的定义求解.
【参考答案】设被污损的数据为x,依题意得
4+x+2+5+5+4+3+3=4×8,
解得x=6,
将这8个数据从小到大排列为2、3、3、4、4、5、5、6,
∴
(4+4)=4,
∴这组数据的中位数为4篇.
【示例b】为防控“新型冠状病毒”,某超市分别用1600元、6000元购进两批防护口罩,第二批防护口罩的数量是第一批的3倍,但单价比第一批贵2元.
(1)第一批口罩进货单价多少元?
(2)若这两次购买防护口罩过程中所产生其他费用不少于600元,那么该超市购买这两批防护口罩的平均单价至少为多少元?
【破题思维】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:
(1)找准等量关系,正确列出分式方程;
(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.
【参考答案】
(1)设第一批口罩进货单价为x元,则第二批进货单价为(x+2)元,
依题意,得3×
=
,
解得x=8,
经检验,x=8是原分式方程的解,且符合题意.
答:
第一批口罩进货单价为8元.
(2)购进第一批防护口罩的数量1600÷8=200(个),
购进第一批防护口罩的数量200×3=600(个).
设该超市购买这两批防护口罩的平均单价为m元,
依题意,得(200+600)m≥1600+6000+600,
解得m≥10.25.
答:
该超市购买这两批防护口罩的平均单价至少为10.25元.
2.利用方程思想解决数学问题
a.利用待定系数法列方程(组)求一次函数解析式.
b.利用勾股定理列方程求解.
【示例a】已知一次函数y=kx+b,当x=2时,y=-3,当x=0时,y=-5.
(1)求该一次函数的解析式.
(2)将该函数的图象向上平移7个单位,求平移后的图象与x轴交点的坐标.
【破题思维】利用待定系数法列方程求一次函数解析式,根据一次函数的平移特征求出平移后的直线的函数表达式,进而求解.
【参考答案】
(1)由题意得,
解得
∴一次函数的解析式为y=x-5.
(2)将直线y=x-5向上平移7个单位后得到的直线是y=x+2
∵当y=0时,x=-2,
∴平移后的图象与x轴交点的坐标是(-2,0).
【示例b】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,连接BE.
(1)求AD的长;
(2)求AE的长.
【破题思维】在直角三角形中求线段长时,往往需要引入未知数,根据勾股定理列出方程,通过解方程完成.
【参考答案】
(1)如图所示,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8,
∴AB=10.
∵DE垂直平分AB,
∴AD=BD=5.
(2)∵DE垂直平分AB,
∴BE=AE,
设EC=x,则AE=BE=8-x,
故62+x2=(8-x)2,
解得x=
,
∴AE=8-
=
.
五、整体思想
整体思想方法是指用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握已知和所求之间的关联,进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法.
1.把一组数或一个代数式看作一个整体
【示例a】已知一组数据x1,x2,…,xn的方差是2,则另一组数据2x1-5,2x2-5,…,2xn-5的方差是__________.
【破题思维】若在原来数据前乘以同一个数,方差要乘以这个数的平方,若数据都加上一个数(或减去一个数)时,方差不变,把数据x1,x2,…xn看成一个整体,即可得出答案.
【参考答案】∵数据x1,x2,…,xn的方差是2,
∴数据2x1-5,2x2-5,…,2xn-5的方差是22×2=8.
【示例b】已知(2018-a)·(2016-a)=2017,求(2018-a)2+(2016-a)2的值.
【破题思维】将2018-a和2016-a分别看成整体,利用完全平方公式进行计算.
【参考答案】设2018-a=x,2016-a=y,则有x-y=2,xy=2017.
因为(x-y)2=x2-2xy+y2=4,
所以x2+y2=4+2xy=4038.
故(2018-a)2+(2016-a)2的值为4038.
2.把某个图形看作一个整体
【示例】如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,且AD≠CD,过点O作OM⊥AC,交AD于点M.如果△CDM的周长为6,那么平行四边形ABCD的周长是( )
A.8B.10C.12D.18
【破题思维】由平行四边形的性质可得AO=CO,由线段垂直平分线的性质可得AM=MC,然后把CM+MD看作一个整体AD,即可求解.
【参考答案】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,且OM⊥AC,
∴AM=MC.
∵△CDM的周长为6,
∴CM+MD+CD=6,
∴AM+MD+CD=AD+CD=6,
∴平行四边形ABCD的周长=2(AD+CD)=12,
故选C.
六、数学建模思想
在运用数学知识解决实际问题时,可以先根据研究的问题建立数学模型,再通过对数学模型的探索进而达到解题目的的方法。
初中数学中常用的数学模型有:
方程模型,函数模型,几何模型,三角模型,不等式模型和统计模型等等。
1.方程模型
【示例】某校为了创建书香校园,去年购进一批图书.经了解,科普书的单价比文学书的单价多4元,用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等.
(1)文学书和科普书的单价各多少钱?
(2)今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变,该校打算用
10000元再购进一批文学书和科普书,问购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书?
【破题思维】在运用数学知识解决实际问题时,可以构建简单的数学模型,本题构建分式方程模型,代入未知数,寻找等量关系,求解后检验解的合理性,使实际问题得以解决.
【参考答案】
(1)设文学书的单价为x元,则科普书的单价为(x+4)元,根据题意,得
=
,
解得x=8,
经检验x=8是方程的解,并且符合题意.
所以x+4=12.
答:
文学书和科普书的单价分别是8元和12元.
(2)设购进文学书550本后还能购进y本科普书,根据题意,得
550×8+12y≤10000,
解得y≤466
,
因为y为整数,所以y的最大值为466.
答:
至多还能购进466本科普书.
2.函数模型
【示例】甲、乙两地相距300km,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地.如图,线段OA表示货车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数图象;折线BCD表示轿车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数图象.请根据图象解答下列问题:
(1)求货车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数表达式;
(2)当轿车与货车相遇时,求此时x的值;
(3)在轿车与货车行驶过程中,当两车相距20km时,求x的值.
【破题思维】本题需要分析图中所给的图象,判断计算两车的行驶状况,借助一次函数模型,求出各自的行驶情况,再进行分析.要注意在构建函数模型时,先确定是哪一种函数模型,再利用待定系数法确定函数表达式,结合函数的性质解决实际问题.
【参考答案】
(1)设货车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数表达式为y=k1x,根据题意得5k1=300,
解得k1=60,
即货车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数表达式为y=60x(0≤x≤5).
(2)设CD段函数表达式为y=kx+b(k≠0)(2.5≤x≤4.5).
由题图可得C(2.5,80),D(4.5,300),将点C,D的坐标分别代入函数表达式,得
解得
所以CD段函数表达式为y=110x-195(2.5≤x≤4.5).
由
解得
所以当轿车与货车相遇时,x的值为3.9.
(3)由题意知,当x=2.5时,y货=150,两车间距离为150-80=70(km),不满足题意.
令60x-(110x-195)=20或110x-195-60x=20,
解得x=3.5或x=4.3.
所以当两车相距20km时,x的值为3.5或4.3.
3.几何模型
【示例】顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形EFGH,要使四边形EFGH是菱形,应添加的条件是()
A.AD∥BCB.AC=B
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