本科1009离散数学之欧阳科创编.docx

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本科1009离散数学之欧阳科创编

一、单项选择题

时间：

2021.02.05

创作：

欧阳科

1．设P：

a是偶数，Q：

b是偶数。

R：

a+b是偶数，则命题“若a是偶数，b是偶数，则a+b也是偶数”符号化为（D．PQ→R）。

2．表达式

x（P（x，y）

Q（z））

y（Q（x，y）→

zQ（z））中

x的辖域是（P（x，y）Q（z））。

3．设

则命题为假的是（

）。

4．设G是有n个结点的无向完全图，则G的边数（1/2n（n-1））。

5．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r=（e-v+2）。

6．若集合A={1，{2}，{1，2}}，则下列表述正确的是（{1}A）．

7．已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T的树叶数为（5）．

8．设无向图G的邻接矩阵为

则G的边数为（7）．

9．设集合A={a}，则A的幂集为（{，{a}}）．

10．下列公式中（AB（AB））为永真式．

11．若G是一个汉密尔顿图，则G一定是（连通图）．

12．集合A={1,2,3,4}上的关系R={|x=y且x,y

A}，则R的性质为（传递的）．

13．设集合A={1，2，3，4，5}，偏序关系是A上的整除关系，则偏序集上的元素5是集合A的（极大元）．

14．图G如图一所示，以下说法正确的是（{（a,d）,（b,d）}是边割集）．

图一

15．设A（x）：

x是人，B（x）：

x是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（（

x）（A（x）∧B（x）））．

16．若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是（AB，且AB）．

17．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图一所示，则下列结论成立的是（（d）是强连通的）．

18．设图G的邻接矩阵为

则G的边数为（5）．

19．无向简单图G是棵树，当且仅当（G连通且边数比结点数少1）．

20．下列公式（（P（QP））（P（PQ）））为重言式．

21．若集合A＝{a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是（{a}A）．

22．设图G＝，vV，则下列结论成立的是（

）．

23．命题公式（P∨Q）→R的析取范式是（（P∧Q）∨R）

24．下列等价公式成立的为（P（QP）P（PQ））．

25．设A={a,b}，B={1,2}，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1={,}，R2={,,}，R3={,}，则（R2）不是从A到B的函数．

26．设A={1,2,3,4,5,6,7,8}，R是A上的整除关系，B={2,4,6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为（无、2、无、2）．

27．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（1024）．

28．如图一所示，以下说法正确的是（e是割点）．

图一

29．设完全图K

有n个结点（n≥2），m条边，当（n为奇数）时，K

中存在欧拉回路．

30．已知图G的邻接矩阵为

，则G有（5点，7边）．

二、填空题（每小题3分，共15分）

1．设A，B为任意命题公式，C为重言式，若A

C

B

C，那么A

B是重言式（重言式、矛盾式或可满足式）。

2．命题公式（P→Q）

P的主合取范式为

。

3．设集合A={

，{a}}，则P（A）=

。

4．设图G=〈V，E〉，G′=〈V′，E′〉，若V′=V,E′E,则G′是G的生成子图。

5．在平面G=〈V，E〉中，则

=2|E|，其中

（i=1，2，…，r）是G的面。

6．命题公式

的真值是假（或F，或0）　．

7．若无向树T有5个结点，则T的边数为4．

8．设正则m叉树的树叶数为t，分支数为i，则（m-1）i=t-1．

9．设集合A={1，2}上的关系R＝{<1,1>,<1,2>}，则在R中仅需加一个元素<2,1>，就可使新得到的关系为对称的．

10．（x）（A（x）→B（x，z）∨C（y））中的自由变元有z，y．

11．若集合A={1，3，5，7}，B={2，4，6，8}，则A∩B=空集（或）．

12．设集合A={1，2，3}上的函数分别为：

f={<1,2>,<2,1>,<3,3>,}，g={<1,3>,<2,2>,<3,2>,}，则复合函数gf={<1,2>,<2,3>,<3,2>,}．

13．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则G的结点度数之和为2|E|（或“边数的两倍”）．

14．无向连通图G的结点数为v，边数为e，则G当v与e满足e=v-1关系时是树．

15．设个体域D＝{1,2,3}，P（x）为“x小于2”，则谓词公式（x）P（x）的真值为假（或F，或0）．

16．命题公式

的真值是T（或1）．

17．若图G=中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S，在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W，则S中结点数|S|与W满足的关系式为W|S|．

18．给定一个序列集合{000，001，01，10，0}，若去掉其中的元素0，则该序列集合构成前缀码．

19．已知一棵无向树T中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T的树叶数为5．

20．（x）（P（x）→Q（x）∨R（x，y））中的自由变元为R（x，y）中的y．

21．设集合A={0,1,2,3}，B={2,3,4,5}，R是A到B的二元关系，

则R的有序对集合为{<2,2>，<2,3>，<3,2>}，<3,3>．

22．设G是连通平面图，v,e,r分别表示G的结点数，边数和面数，则v，e和r满足的关系式v-e+r=2．

23．设G＝是有6个结点，8条边的连通图，则从G中删去3条边，可以确定图G的一棵生成树．

24．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且所有结点的度数全为偶数．

25．设个体域D＝{1,2}，则谓词公式

消去量词后的等值式为A

（1）A

（2）．

26．设集合A＝{a，b}，那么集合A的幂集是{,{a,b},{a},{b}}．

27．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有2个．

28．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去4条边后使之变成树．

29．设连通平面图G的结点数为5，边数为6，则面数为3．

30．设个体域D＝{a,b}，则谓词公式（x）A（x）∧（x）B（x）消去量词后的等值式为（A（a）∧A（b））∧（B（a）∨B（b））．

31.设集合A={0，1，2}，B={l，2，3，剖，R是A到B的二元关系，R={|x∈A且y∈B且x，y∈A∩B}则R的有序对集合为___{<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}___

32.设G是连通平面图，v，e，r分别表示G的结点数，边数和面数，则v，e和r满足的关系式__v-e+r=2_____

33.G=是有20个结点，25条边的连通图,则从G中删去__6__条边，可以确定图G的一棵生成树.

34.无向图G存在欧拉回路，当且仅当G所有结点的度数全为偶数且_连通____

35.设个体域D={1,2}，则谓词公式"xA（x）消去量词后的等值式为__A

（1）∧A

（2）___

三、化简解答题

11．设集合A={1，2，3，4}，A上的二元关系R，R={〈1，1〉，〈1，4〉，〈2，2〉，〈2，3〉，〈3，2〉，〈3，3〉，〈4，1〉，〈4，4〉}，说明R是A上的等价关系。

解从R的表达式知，

即R具有自反性；

三、逻辑公式翻译

1．将语句“今天上课．”翻译成命题公式．

设P：

今天上课，则命题公式为：

P．

2．将语句“他去操场锻炼，仅当他有时间．”翻译成命题公式．

设P：

他去操场锻炼，Q：

他有时间，则命题公式为：

PQ．

3．将语句“他是学生．”翻译成命题公式．

设P：

他是学生，则命题公式为：

P．

4．将语句“如果明天不下雨，我们就去郊游．”翻译成命题公式．

设P：

明天下雨，Q：

我们就去郊游，则命题公式为：

PQ．

5．将语句“他不去学校．”翻译成命题公式．

设P：

他去学校，P．

6．将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．

设P：

他去旅游，Q：

他有时间，PQ．

7．将语句“所有的人都学习努力．”翻译成命题公式．

设P（x）：

x是人，Q（x）：

x学习努力，（x）（P（x）Q（x））．

8．将语句“如果你去了，那么他就不去．”翻译成命题公式．

设P：

你去，Q：

他去，PQ．

9．将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．

设P：

小王去旅游，Q：

小李去旅游，PQ．

10．将语句“所有人都去工作．”翻译成谓词公式．

设P（x）：

x是人，Q（x）：

x去工作，（x）（P（x）Q（x））．

11．将语句“如果所有人今天都去参加活动，则明天的会议取消．”翻译成命题公式．

设P：

所有人今天都去参加活动，Q：

明天的会议取消，PQ．

12．将语句“今天没有人来．”翻译成命题公式．

设P：

今天有人来，P．

13．将语句“有人去上课．”翻译成谓词公式．

设P（x）：

x是人，Q（x）：

x去上课，（x）（P（x）Q（x））．

11.将语句"如果小李学习努力，那么他就会取得好成绩."翻译成命题公式.

设P：

小李学习努力，Q:

小李会取得好成绩，P→Q

12.将语句"小张学习努力,小王取得好成绩."翻译成命题公式.

设P：

小张学习努力，Q:

小王取得好成绩，P∧Q

四、判断说明题

1．设集合A={1，2}，B={3，4}，从A到B的关系为f={<1,3>}，则f是A到B的函数．

错误．因为A中元素2没有B中元素与之对应，故f不是A到B的函数．

2．设G是一个有4个结点10条边的连通图，则G为平面图．

错误．不满足“设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v≥3，则e≤3v-6．”

3．设N、R分别为自然数集与实数集，f：

N→R，f（x）=x+6，则f是单射．

正确．设x1，x2为自然数且x1x2，则有f（x1）=x1+6x2+6=f（x2），故f为单射．

4．下面的推理是否正确，试予以说明．

（1）（x）F（x）→G（x）前提引入

（2）F（y）→G（y）US

（1）．

错误．

（2）应为F（y）→G（x），换名时，约束变元与自由变元不能混淆．

5．如图二所示的图G存在一条欧拉回路．

图二

错误．因为图G为中包含度数为奇数的结点．

6．设G是一个有6个结点14条边的连通图，则G为平面图．

错误．不满足“设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v≥3，则e≤3v-6．”

7．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2是自反的．

正确．R1和R2是自反的，xA，R1，R2，则R1R2，所以R1∪R2是自反的．

8．如图二所示的图G存在一条欧拉回路．

正确．因为图G为连通的，且其中每个顶点的度数为偶数．

9．┐P∧（P→┐Q）∨P为永真式．

正确．

┐P∧（P→┐Q）∨P是由┐P∧（P→┐Q）与P组成的析取式，

如果P的值为真，则┐P∧（P→┐Q）∨P为真，

如果P的值为假，则┐P与P→┐Q为真，即┐P∧（P→┐Q）为真，

也即┐P∧（P→┐Q）∨P为真，

所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式．

另种说明：

┐P∧（P→┐Q）∨P是由┐P∧（P→┐Q）与P组成的析取式，

只要其中一项为真，则整个公式为真．

可以看到，不论P的值为真或为假，┐P∧（P→┐Q）与P总有一个为真，

所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式．

或用等价演算┐P∧（P→┐Q）∨PT

10．若偏序集的哈斯图如图一所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在．

图一

正确．

对于集合A的任意元素x，均有R（或xRa），所以a是集合A中的最大元．按照最小元的定义，在集合A中不存在最小元．

11.如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∩R2是自反的。

正确，R1和R2，是自反的，"x∈A,∈R1,∈R2,则∈R1∩R2，所以R1∩R2是自反的.

12.如图二所示的图中存在一条欧拉回路.

图二

正确，因为图G为连通的，且其中每个顶点的度数为偶数。

五．计算题（每小题12分，本题共36分）

1．试求出（P∨Q）→（R∨Q）的析取范式．

（P∨Q）→（R∨Q）┐（P∨Q）∨（R∨Q）

（┐P∧┐Q）∨（R∨Q）

（┐P∧┐Q）∨R∨Q（析取范式）

2．设A={{1},1,2}，B={1,{2}}，试计算

（1）（A∩B）

（2）（A∪B）（3）A（A∩B）．

（1）（A∩B）={1}

（2）（A∪B）={1,2,{1},{2}}

（3）A（A∩B）={{1},1,2}

3．图G=，其中V={a,b,c,d}，E={（a,b）,（a,c）,（a,d）,（b,c）,（b,d）,（c,d）}，对应边的权值依次为1、2、3、1、4及5，试

（1）画出G的图形；

（2）写出G的邻接矩阵；

（3）求出G权最小的生成树及其权值．

（1）G的图形表示如图一所示：

（2）邻接矩阵：

（3）最小的生成树如图二中的粗线所示：

权为：

1+1+3=5

4．画一棵带权为1,2,2,3,4的最优二叉树,计算它们的权．

最优二叉树如图三所示

图三

权为13+23+22+32+42=27

5．求（P∨Q）→R的析取范式与合取范式．

（P∨Q）→R（P∨Q）∨R

（P∧Q）∨R（析取范式）

（P∨R）∧（Q∨R）（合取范式）

6．设A={0，1，2，3}，R={|xA，yA且x+y<0}，S={|xA，yA且x+y2}，试求R，S，RS，S-1，r（R）．

R=,S={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<2,0>}

RS=，

S-1=S，

r（R）=IA={<0,0>,<1,1>,<2,2>,<3,3>}．

7．试求出（P∨Q）→R的析取范式，合取范式，主合取范式．

（P∨Q）→R┐（P∨Q）∨R（┐P∧┐Q）∨R（析取范式）

（┐P∨R）∧（┐Q∨R）（合取范式）

（（┐P∨R）∨（Q∧┐Q））∧（（┐Q∨R）∨（P∧┐P））

（┐P∨R∨Q）∧（┐P∨R∨┐Q）∧（┐Q∨R∨P）

∧（┐Q∨R∨┐P）

（┐P∨Q∨R）∧（┐P∨┐Q∨R）∧（P∨┐Q∨R）

8．设A={{a,b},1,2}，B={a,b,{1},1}，试计算

（1）（AB）

（2）（A∪B）（3）（A∪B）（A∩B）．

（1）（AB）={{a,b},2}

（2）（A∪B）={{a,b},1,2,a,b,{1}}

（3）（A∪B）（A∩B）={{a,b},2,a,b,{1}}

9．图G=，其中V={a,b,c,d,e}，E={（a,b）,（a,c）,（a,e）,（b,d）,（b,e）,（c,e）,（c,d）,（d,e）}，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试

（1）画出G的图形；

（2）写出G的邻接矩阵；

（3）求出G权最小的生成树及其权值．

（1）G的图形表示为：

（2）邻接矩阵：

（3）粗线表示最小的生成树，

权为7：

10．设谓词公式

，试

（1）写出量词的辖域；

（2）指出该公式的自由变元和约束变元．

（1）x量词的辖域为

，

z量词的辖域为

y量词的辖域为

．

（2）自由变元为

与

中的y，以及

中的z

约束变元为x与

中的z，以及

中的y．

11．设A={{1},{2},1,2}，B={1,2,{1,2}}，试计算

（1）（AB）；

（2）（A∩B）；（3）A×B．

（1）AB={{1},{2}}

（2）A∩B={1,2}

（3）A×B={<{1},1>，<{1},2>，<{1},{1,2}>，<{2},1>，<{2},2>，

<{2},{1,2}>，<1,1>，<1,2>，<1,{1,2}>，<2,1>，<2,2>,

<2,{1,2}>}

12．设G=，V={v1，v2，v3，v4，v5}，E={（v1,v3），（v2,v3），（v2,v4），（v3,v4），（v3,v5），（v4,v5）}，试

（1）给出G的图形表示；

（2）写出其邻接矩阵；

（3）求出每个结点的度数；（4）画出其补图的图形．

（1）G的图形表示为：

（2）邻接矩阵：

（3）v1，v2，v3，v4，v5结点的度数依次为1，2，4，3，2

（4）补图如下：

13．设集合A={1，2，3，4}，R={|x,yA；|xy|=1或xy=0}，试

（1）写出R的有序对表示；

（2）画出R的关系图；

（3）说明R满足自反性，不满足传递性．

（1）R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>}

（2）关系图为

3）因为<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>均属于R，即A的每个元素构成的有序对均在R中，故R在A上是自反的。

因有<2,3>与<3,4>属于R，但<2,4>不属于R，所以R在A上不是传递的。

14．求PQR的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．

P→（R∨Q）

Û┐P∨（R∨Q）

Û┐P∨Q∨R（析取、合取、主合取范式）

Û（┐P∧┐Q∧┐R）∨（┐P∧┐Q∧R）∨（┐P∧Q∧R）∨（P∧┐Q∧┐R）

∨（P∧┐Q∧R）∨（P∧Q∧┐R）∨（P∧Q∧R）（主析取范式）

15．设图G=，V={v1，v2，v3，v4，v5}，E={（v1,v2），（v1,v3），（v2,v3），（v2,v4），（v3,v4），（v3,v5），（v4,v5）}，试

（1）画出G的图形表示；

（2）写出其邻接矩阵；

（3）求出每个结点的度数；

（4）画出图G的补图的图形．

（1）关系图

（2）邻接矩阵

（3）deg（v1）=2

deg（v2）=3

deg（v3）=4

deg（v4）=3

deg（v5）=2

（4）补图

16．设谓词公式$x（A（x,y）∧"zB（x,y,z））∧"yC（y,z）试

（1）写出量词的辖域;

$x量词的辖域为（A（x,y）∧"zB（x,y,z））,"z量词的辖域为B（x,y,z）,"y量词的辖域为C（y,z）

（2）指出该公式的自由变元和约束变元.

自由变元为（A（x,y）∧"zB（x,y,z））中的y,以及C（y,z）中的z.

约束变元为（A（x,y）∧"zB（x,y,z））中的x与B（x,y,z）中的z,以及C（y,z）中的y。

六、证明题

1．试证明：

若R与S是集合A上的自反关系，则R∩S也是集合A上的自反关系．

证明：

设xA，因为R自反，所以xRx，即R；

又因为S自反，所以xRx，即S．

即R∩S

故R∩S自反．

2．试证明集合等式A（BC）=（AB）（AC）．

证明：

设S=A（BC），T=（AB）（AC），若x∈S，则x∈A或x∈BC，即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C．

也即x∈AB且x∈AC，即x∈T，所以ST．

反之，若x∈T，则x∈AB且x∈AC，即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C，

也即x∈A或x∈BC，即x∈S，所以TS．

因此T=S．

3．试证明集合等式A（BC）=（AB）（AC）．

证明：

设S=A∩（B∪C），T=（A∩B）∪（A∩C），若x∈S，则x∈A且x∈B∪C，即x∈A且x∈B或x∈A且x∈C，

也即x∈A∩B或x∈A∩C，即x∈T，所以ST．

反之，若x∈T，则x∈A∩B或x∈A∩C，

即x∈A且x∈B或x∈A且x∈C

也即x∈A且x∈B∪C，即x∈S，所以TS．

因此T=S．

4．试证明集合等式A（BC）=（AB）（AC）．

证明：

设S=A（BC），T=（AB）（AC），若x∈S，则x∈A或x∈BC，即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C．

也即x∈AB且x∈AC，即x∈T，所以ST．

反之，若x∈T，则x∈AB且x∈AC，

即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C，

也即x∈A或x∈BC，即x∈S，所以TS．

因此T=S．

5．试证明（x）（P（x）∧R（x））（x）P（x）∧（x）R（x）．

证明：

（1）（$x）（P（x）∧R（x））P

（2）P（a）∧R（a）ES

（1）

（3）P（a）T

（2）I

（4）（$x）P（x）EG（3）

（5）R（a）T

（2）I

（6）（$x）R（x）EG（5）

（7）（$x）P（x）∧（$x）R（x）T（5）（6）I

6．设m是一个取定的正整数，证明：

在任取m＋1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m的整数倍

证明设

，

，…，

为任取的m＋1个整数，用m去除它们所得余数只能是0，1，…，m－1，由抽屉原理可知，

，

，…，

这m＋1个整数中至少存在两个数

和

，它们被m除所得余数相同，因此

和

的差是m的整数倍。

7．已知A、B、C是三个集合，证明A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C）

证明∵xA-（B∪C）xA∧x（B∪C）xA∧（xB∧xC）（xA∧xB）∧（xA∧xC）x（A-B）∧x（A-C）x（A-B）∩（A-C）∴A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C）

8．（15分）设是半群，对A中任意元a和b，如a≠b必有a*b≠b*a，证明：

（1）对A中每个元a，有a*a＝a。

（2）对A中任意元a和b，有a*b*a＝a。

（3）对A中任意元a、b和c，有a*b*c＝a*c。

证明由题意可知，若a*b＝b*a，则必有a＝b。

（1）由（a*a）*a＝a*（a*a），所以a*a＝a。

（2）由a*（a*b*a）＝（a*a）*（b*a）＝a*b*（a*a）＝（a*b*a）*a，所以有a*b*a＝a。

（3）由（a*c）*（a*b*c）＝（a*c*a）*（b*c）＝a*（b*c）＝（a*b）*c＝（a*b）*（c*a*c）＝（a*b*c）*（a*c），所以有a*b*c＝a*c