数学建模产销问题.docx
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数学建模产销问题.docx
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数学建模产销问题
产销问题
摘要
本问题为如何实现成本最小、利润最大的问题,问题的核心为如何求成本函数最小值的问题,共有2个问题需要我们来解决。
问题1是确定在已知的产品需求预测量的前提下,根据产品各项成本费用,列出成本函数和各项守恒约束条件,我们将此问题转化为线性规划问题求最优解,通过利用LINGO软件,得到模型,并且计算出在不降价促销的情况下解出的最小成本、最大利润。
(其中要注意:
最大利润=售价-最小成本)。
问题2利用问题1所得到的模型,根据给出假设条件(即在计划期内的某个月进行降价促销,当产品价格下降为220元/件时,则接下来的两个月中6%的需求会提前到促销月发生),调整已知条件中的需求预测值,带入问题1中的模型,求出结果。
具体结果如下:
售价(元/件)
最低成本(元)
利润(元)
不降价促销
240
842504
897496
1月份降价
220
842214
875086
4月份降价
220
842454
868306
上面的表格结果一目了然,不降价所得到的利润最大。
关键词
线性规划LINGO最优解
目录
一、问题重述-------------------------------------------4
二、问题背景-------------------------------------------5
三、问题分析-------------------------------------------5
四、模型假设-------------------------------------------6
五、符号说明-------------------------------------------6
六、建立模型与模型求解---------------------------------7
七、模型评价与推广-------------------------------------10
八、研究成果短文---------------------------------------10
九、参考文献-------------------------------------------11
十、附录-----------------------------------------------12
一、问题重述
某企业生产某种手工产品需要原材料的购入,工人工作还需要企业给出工资,产品的产量与市场的需求量不符时,还需要给出相应的剩余的产品的库存成本或者打折时的缺货损失。
无论是讨论成本最低、利润最大的最优产销方案,还是旺季促销、淡季不促销的最优产销规划方案,都有一个怎样合理规划、求的最优解的问题。
人员雇佣的不合适,培训费用和解聘费用不合理,影响利润;产量于市场需求量不符,存在库存成本和缺货损失,影响利润。
因此说,合理调配人员、控制产量是降低成本、提高经济效益的有效途径和方法。
问题1:
当产品的销售价格为240元/件时,年初对上半年6个月的产品需求量预测值如表1所示。
一月初可考虑的工人个数为10,每人每月工作21天,每天工作8小时,超时算加班工资,且按规定每人每月最多加班10小时。
产品各项成本费用如表2所示。
(其中外包成本为全部承包给别的企业生产所需要的成本,不需计入本企业的原材料成本)。
最后要求6月末的库存为0,且不允许缺货。
表1.产品需求预测估计值(件)
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
预计需求量
1000
1100
1150
1300
1400
1300
表2.产品各项成本费用
原材料成本
库存成本
缺货损失
外包成本
培训费用
100元/件
10元/件/月
20元/件/月
200元/件
50元/人
解聘费用
产品加工时间
工人正常工资
工人加班工资
100元/人
1.6小时/件
12元/小时/人
18元/小时/人
请你建立数学模型并合理规划,制定出一个成本最低、利润最大的最有生产方案。
问题2:
当产品价格为220元/件时,需求量自然会增加。
根据预测,若某个月进行降价促销,则接下来的两个月的需求量的6%要加到本月的需求量中。
请你利用问题1中已经设计好的模型,制定出淡季(一月份)降价促销和旺季(四月份)的最优产销方案,且与问题1中制定出的不降价促销的最优产销方案进行对比,最终选取出最优解,制定出最好的产销规划方案。
二、问题背景
随着市场经济的激烈竞争现状,经济学中理性人追求最大利益的本质愈加显现。
在市场经济竞争下,实际上售价是很难在很大程度上起伏的。
因为要考虑竞争道德、法律法规等因素,不能投机倒把,不正当竞争。
所以在这样的现实情况下,企业要追求最大利润,必须要尽可能减少成本上的支出。
这也是本题规划的现实意义所在。
目前,要考虑的因素有:
①增加工人人数还是让工人加班;②外包还是自己加工;③缺货与加工剩余等权衡。
无论是哪种因素,都会影响到我们建立的模型以及最后的出的最优解。
所以在本题给出的因素中,得出的结论还是具有很高的现实意义的。
三、问题分析
根据本题给出的背景知识,我们得出本题所要研究的是成本函数的最小值问题。
这是一个线性规划问题。
于是我们要列出成本函数的整个组成。
由上图可以看出,成本函数的几个组成项,由每一项设出未知量,与已知量线性组合。
依据本题要求,我们得出的解题思路是:
设出未知量,根据已知的费用成本,列出成本函数,设置约束条件,并利用LINGO软件工具得出最优解。
四、模型假设
1、假设每个工人均身体健康且无意外,可以正常工作八小时,并且每月可最多加班10小时。
2、假设原材料供给充足。
3、假设各项成本均在月底结算,保证数量均为静态量,不考虑动态量。
4、假设有足够的库存空间。
5、假设企业有足够资金流动,以供支配。
6、假设各已知条件在六个月内不会发生变动。
五、符号说明
:
第i个月工人数(Worker)
:
第i个月生产数量
:
第i个月解雇工人数(Fire)
:
第i个月培训工人数(Pei`xun)
:
第i个月库存量(Ku`cun)
:
第i个月外包数量(wai`Bao)
:
第i个月缺货数量(Que`huo)
:
第i个月加工时间(Jia`gong)
:
第i个月的需求量(以上i=1,2,…,6)
六、建立模型与模型求解
根据问题分析可以知道,这个问题是要将成本最小化。
所以目标为列出成本函数以及通过约束条件求得成本最小值。
可见成本函数是线性函数,将函数与约束条件输入LINGO,求解模型。
问题1:
根据问题1的已知条件,列出成本函数:
成本最小
=
其后,约束条件:
1、物流守恒:
是指在每一个时段而言,该项目在上一个时段的库存情况加上当前时段的生产量,减去该项目当前用于满足外需条件的量和用于外包的量,应当等于当前的库存情况。
即:
2、
为理论分析在确定工人数的前提下应该可以生产出产品的最大量,应当大于或等于实际产量。
即:
即
3、若当前时段的加工人数为
,则
,由题目规定可以知道加工时间不能超过10,所以
,
,即:
4、
,那么
,
;
若
,那么
,
;
即:
。
综上所述,约束条件如下:
由LONGO运算,得
第一题结果:
时期n
工人人数(Wi)
缺货(Qi)
库存(Ki)
解雇工人数(Fi)
培训工人数(Pi)
外包(Bi)
加班时间(Ji)
生产数量(Xi)
成本
0
10
0
0
0
200
0
0
0
0
1
8
0
40
2
0
0
0
840
100728
2
10
5
0
0
2
0
8
1055
126004
3
11
0
0
0
1
0
0
1155
137726
4
13
0
65
0
2
0
0
1365
163458
5
13
0
30
0
0
0
0
1365
163008
6
12
0
0
1
0
0
16
1270
151580
合计
842504
由上表可知成本最小值为842504元
因为销售价格为240元/件,所以销售收入为240×(1000+1100+1150+1300+1400+1300)=1740000(元)
此时利润最大为:
897496元。
问题2:
根据问题2的已知条件,可知降价促销后,产品需求预测值变为
月份
1
2
3
4
5
6
一月份实施促销方案预计需求量
1135
1034
1081
1300
1400
1300
四月份实施促销方案预计需求量
1000
1100
1150
1462
1316
1222
约束条件未发生变化,只需将需求量作出相应改变即可.
由LONGO软件得第二题运算结果如下:
第二题(一月份促销)结果
时期n
工人人数(Wi)
培训工人数(Pi)
解雇工人数(Fi)
加班时间(Ji)
库存(Ki)
缺货(Qi)
外包(Bi)
生产数量(Xi)
成本
0
10
0
0
0
200
0
0
0
0
1
9
0
10
1
0
0
0
945
112844
2
10
0
26
0
1
0
0
1050
125470
3
10
0
0
0
0
0
8
1055
125804
4
13
0
65
0
3
0
0
1365
163508
5
13
0
30
0
0
0
0
1365
163008
6
12
0
0
1
0
0
16
1270
151580
总计
842214
由上表得该方案的成本为842214元。
因为促销时的价格为220元/件,其余月份价格正常,所以产品销售收入为:
220×1135+240×(1034+1081+1300+1400+1300)=1717300(元)。
此时利润最大为:
875086元
第二题(四月份促销)结果
时期n
工人人数(Wi)
培训工人数(Pi)
解雇工人数(Fi)
加班时间(Ji)
库存(Ki)
缺货(Qi)
外包(Bi)
生产数量(Xi)
成本
0
10
0
0
0
200
0
0
0
0
1
8
0
40
2
0
0
0
840
100728
2
10
5
0
0
2
0
8
1055
126004
3
11
0
0
0
1
0
0
1155
137726
4
14
0
8
0
3
0
0
1470
175454
5
13
0
57
1
0
0
0
1365
163378
6
11
0
0
2
0
0
16
1165
139164
总计
842454
由上表得该方案成本最小为842454元。
因为促销时的价格为220元/件,其余月份价格正常,所以产品销售收入为:
220×1462+240×(1000+1100+1150+1316+1222)=1710760元。
则利润最大为:
868306元。
综上所述,由上面的模型建立与模型求解可以显然看出,利润:
(4月份促销)868306元﹤(1月份促销)875086元﹤(不降价促销)897496元
因此,可以得知,不降价促销所得到的规划产销方案,利润最大。
讨论:
(基于现实意义下的两方面制约因素的讨论)
一、如果企业为了形象,一点要选择某一月份进行促销:
在实际情况中,我们知道,一家企业要保留稳定的消费群体,必须保持正面的、积极的企业形象,而打折售货是一个良好的促销手段,同时更可以为人家留下企业是物美价廉销售产品的印象。
所以,在实际竞争中,不可避免地要进行降价促销。
此时,我们回到第2题得到的结论中。
反观结果:
(4月份促销)868306元﹤(1月份促销)875086元﹤(不降价促销)897496元。
那我们是不是有理由做出预测,月份越早降价促销得到的利润越大呢?
答案未知,但是我们可以做出这样的假设,而以下我们就来验证我们的假设:
即为越早降价促销所得利润越大。
首先,我们计算在二月份降价促销,所得到的成本和利润:
。
二月份促销时:
成本为:
842900元
销售收入为:
1247×220+(1000+1081+1222+1400+1300)×240=1716740(元)
则此时利润为:
873840元
其次,我们计算在三月份降价促销,所得的成本和利润:
三月份促销时:
成本为:
842710元
销售收入为:
1312×220+(1000+1100+1222+1316+1300)×240=1713760元
则此时利润为:
871050元。
最后,我们得出结论:
(四月份促销)868306元﹤(三月份促销)871050元﹤(二月份促销)873840元﹤(一月份促销)875086元﹤(不促销)897406
并得出矩形图如下:
由此,我们便验证了我们的假设,在一至四月份中,的确是越早降价促销所得到的利润越大。
因此,若企业为树立良好形象,应尽早选择促销,即选择一月份进行促销活动。
可见,本模型确实具有一定的现实意义和实际作用。
二、为了履行促进良好市场秩序的职责,不得短期内解雇员工
在实际情况中,务工人员的供源并不是确定的,而且企业-工人合同中为了维护良好的市场秩序以及企业和工人应有的权利,企业都不可能在短期内解雇员工。
因此,若假设如果不可解雇工人,
约束条件加“f1+f2+f3+f4+f5+f6<0;”
则得,最低成本为:
846512元,利润为:
893488元。
这种情况下,对比不讲价的情况:
成本高出4008元,利润减少3918元。
可见:
利润:
不解雇工人<不降价销售
七、模型评价与推广
本问题至此已给出了一个比较完整的回答。
对于该模型的优点,有几下几个方面:
1、思路清晰,简单明了。
影响成本的因素本来庞杂繁琐,但是我们经过仔细分析推理,清晰易懂的文字表达,比较彻底地解决了最优利润的问题。
2、方法简便,设计合理。
我们在编写的过程中,一切本着简单清晰地原则,尽可能根据实际需要列出函数,求解模型。
3、通用性好,解题效率高。
问题1建立的模型可以很快地求出最优解,一些已知条件变化了之后,譬如问题2,仍然可以很快地求出结果,说明模型具有普遍存在的意义,并期望解题效率颇高。
八、研究成果短文
通过这次的数学建模,我们认真的巩固了知识,得出了较为合理的答案。
但是我们仍然清醒地意识到,因为时间较为紧张,仅用这几天的时间,是否得出的是最优的结果,我们并不能确定。
此外,在市场竞争的大环境下,我们还可以看出,本题得出的模型,是存在在一定的道德制高点上的。
因为我们不能恶性竞争,或者全部辞退人员等,所以我们得出的结论还是具有一定的局限性的。
最后关于LINGO的使用等技术问题,约束条件的准确性至关重要,这也是我们在建立模型、求解模型中的一点心得体会。
(非)线性规划软件的存在,的确让编程、计算的效率都大大地提高了。
因此,正确选用程序、软件来求解模型也是我们这次得到的一点经验。
九、参考文献
1、赵静但琦,数学建模与数学实验,高等教育出版社,2000
4、数学建模论文——产销问题
十、附录:
第一小题编程如下:
model:
@gin(w1);@gin(w2);@gin(w3);@gin(w4);@gin(w5);@gin(w6);@gin(q1);@gin(q2);@gin(q3);@gin(q4);@gin(q5);@gin(q6);@gin(k1);@gin(k2);@gin(k3);@gin(k4);@gin(k5);@gin(k6);@gin(f1);@gin(f2);@gin(f3);@gin(f4);@gin(f5);@gin(f6);@gin(p1);@gin(p2);@gin(p3);@gin(p4);@gin(p5);@gin(p6);@gin(b1);@gin(b2);@gin(b3);@gin(b4);@gin(b5);@gin(b6);@gin(j1);@gin(j2);@gin(j3);@gin(j4);@gin(j5);@gin(j6);@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);
min=2016*(w1+w2+w3+w4+w5+w6)+20*(q1+q2+q3+q4+q5+q6)+10*(k1+k2+k3+k4+k5+k6)+100*(f1+f2+f3+f4+f5+f6)+50*(p1+p2+p3+p4+p5+p6)+200*(b1+b2+b3+b4+b5+b6)+18*(j1+j2+j3+j4+j5+j6)+100*(x1+x2+x3+x4+x5+x6);
x1+b1=k1-q1+800;
x2+b2+k1-q1=k2-q2+1100;
x3+b3+k2-q2=k3-q3+1150;
x4+b4+k3-q3=k4-q4+1300;
x5+b5+k4-q4=k5-q5+1400;
x6+b6+k5-q5=1300;
j1/1.6+105*w1>=x1;
j2/1.6+105*w2>=x2;
j3/1.6+105*w3>=x3;
j4/1.6+105*w4>=x4;
j5/1.6+105*w5>=x5;
j6/1.6+105*w6>=x6;
j1<=10*w1;
j2<=10*w2;
j3<=10*w3;
j4<=10*w4;
j5<=10*w5;
j6<=10*w6;
w1-10=p1-f1;
w2-w1=p2-f2;
w3-w2=p3-f3;
w4-w3=p4-f4;
w5-w4=p5-f5;
w6-w5=p6-f6;
!
f1+f2+f3+f4+f5+f6<0;!
思考:
不解雇任何一人。
运行结果如下:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
842504.0
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
136
VariableValueReducedCost
W18.000000-108.0000
W210.00000-1008.000
W311.000001092.000
W413.000001092.000
W513.00000192.0000
W612.00000-1108.000
Q10.00000030.00000
Q25.0000000.000000
Q30.00000020.00000
Q40.00000030.00000
Q50.00000030.00000
Q60.00000020.00000
K140.000000.000000
K20.00000030.00000
K30.00000010.00000
K465.000000.000000
K530.000000.000000
K60.00000010.00000
F12.0000000.000000
F20.000000150.0000
F30.000000150.0000
F40.000000150.0000
F50.000000150.0000
F61.0000000.000000
P10.000000150.0000
P22.0000000.000000
P31.0000000.000000
P42.0000000.000000
P50.0000000.000000
P60.000000150.0000
B10.00000081.20000
B20.00000071.20000
B30.00000091.20000
B40.00000091.20000
B50.00000081.20000
B60.00000071.20000
J10.0000006.250000
J28.0000000.000000
J30.00000012.50000
J40.00000012.50000
J50.0000006.250000
J616.000000.000000
X1840.00000.000000
X21055.0000.000000
X31155.0000.000000
X41365.0000.000000
X51365.0000.000000
X61270.0000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1842504.0-1.000000
20.000000-118.8000
30.000000-128.8000
40.000000-108.8000
50.000000-108.8000
60.000000-118.8000
70.000000-128.8000
80.000000-18.80000
90.000000-28.80000
100.000000-8.800000
110.000000-8.800000
120.000000-18.80000
130.000000-28.80000
1480.000000.000000
1592.000000.000000
16110.00000.000000
17130.00000.000000
18130.00000.000000
19104.00000.000000
200.000000-100.0000
210.00000050.00000
220.00000050.00000
230.00000050.00000
240.00000050.00000
250.000000-100.0000
第二小题:
一月份(淡季)促销方案编程如下:
model:
@gin(w1);
@gin(w2);
@gin(w3);
@gin(w4);
@gin(w5);
@gin(w6);
min=2016*(w1+w2+w3+w4+w5+w6)+20*(q1+q2+q3+q4+q5+q6)+10*(k1+k2+k3+k4+k5+k6)+100*(f1+f2+f3+f4+f5+f6)+50*(p1+p2+p3+p4+p5+p6)+200*(b1+b2+b3+b4+b5+b6
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