华师版数学九年级上册教案第22章 一元二次方程222一元二次方程的解法5课时.docx
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华师版数学九年级上册教案第22章一元二次方程222一元二次方程的解法5课时
22.2 一元二次方程的解法
1 直接开平方法和因式分解法(第1课时)
一、基本目标
1.理解直接开平方法和因式分解法,掌握用两种方法解一元二次方程的一般步骤,并会根据方程的特点灵活选用方法解一元二次方程.
2.通过利用已学知识求解一元二次方程,获得成功的体验,体会转化思想的应用.
二、重难点目标
【教学重点】
用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.
【教学难点】
根据方程特点选择合适的方法解一元二次方程.
环节1 自学提纲,生成问题
【5min阅读】
阅读教材P20~P25的内容,完成下面练习.
【3min反馈】
1.直接开平方法:
利用__平方根的定义__解一元二次方程的方法.
2.因式分解法:
利用__因式分解__求出方程的解的方法.
3.因式分解法的依据:
如果两个因式的积等于0,那么两个因式中__至少__有一个等于0.反过来,如果两个因式中有一个等于0,那么__它们的积__就等于0.
4.方程(x-1)2=1的解为__x1=2,x2=0__.
5.用因式分解法解一元二次方程(4x-1)(x+3)=0时,可将原方程转化为两个一元一次方程,其中一个方程是4x-1=0,则另一个方程是__x+3=0__.
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】用直接开平方法或因式分解法解下列方程:
(1)(x+1)2=2;
(2)(2x+1)2=2x+1;
(3)-x2=4x; (4)
(x+5)2=9.
【互动探索】(引发学生思考)观察方程的特点,确定解方程的方法及一般步骤.
【解答】
(1)直接开平方,得x+1=±
.
故x1=
-1,x2=-
-1.
(2)移项,得(2x+1)2-(2x+1)=0.方程左边分解因式,得(2x+1)(2x+1-1)=0,所以2x+1=0或2x+1-1=0,得x1=-
,x2=0.
(3)方程可变形为x2+4x=0.方程左边分解因式,得x(x+4)=0,所以x=0或x+4=0,得x1=0,x2=-4.
(4)方程两边同时乘2,得(x+5)2=18.直接开平方,得x+5=±3
,所以x1=3
-5,x2=-3
-5.
【互动总结】(学生总结,老师点评)
(1)用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤:
①观察方程两边是否符合x2=b(b≥0)或(mx+a)2=b(m≠0,b≥0)的形式;②直接开平方,得到两个一元一次方程;③解这两个一元一次方程,得到原方程的两个根.
(2)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
①移项,将方程的右边化为0;②将方程的左边分解成两个一次因式的积的形式;③令每个因式分别为0,得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,得到原方程的两个根.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.一元二次方程x2-16=0的根是( D )
A.x=2B.x=4
C.x1=2,x2=-2D.x1=4,x2=-4
2.在实数范围内定义一种运算“﹡”,其规则为a﹡b=a2-b2,根据这个规则,方程(x+1)﹡3=0的解为__x1=2,x2=-4__.
【教师点拨】根据新定义,由(x+1)﹡3=0,得(x+1)2-32=0.
3.解下列方程:
(1)4x2=25;
(2)x(x+2)=x+2.
解:
(1)方程可化为x2=
.直接开平方,得x=±
,所以x1=
,x2=-
.
(2)移项,得x(x+2)-(x+2)=0.方程左边分解因式,得(x+2)(x-1)=0,所以x+2=0或x-1=0,得x1=-2或x2=1.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】由多项式乘法:
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,将该式从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式:
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
示例:
分解因式:
x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).
(1)尝试:
分解因式:
x2+6x+8=(x+__2__)(x+__4__);
(2)应用:
请用上述方法解方程:
x2-3x-4=0.
【互动探索】理解“十字相乘法”的含义→对方程左边因式分解(十字相乘法)→解方程.
【解答】∵x2-3x-4=0,即x2+(-4+1)x+(-4)×1=0,∴(x-4)(x+1)=0,则x+1=0或x-4=0,解得x1=-1,x2=4.
【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,要把握新定义的内涵,抓住关键词语,合理套用求解.
环节3 课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)
直接开平方法
因式分解法
请完成本课时对应练习!
2 配方法(第2课时)
一、基本目标
1.理解配方法解一元二次方程的含义,并掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤.
2.经历利用完全平方公式推导配方法的过程,掌握新的解一元二次方程的方法——配方法.
二、重难点目标
【教学重点】
用配方法解一元二次方程.
【教学难点】
把一元二次方程通过配方转化为(x±h)2=k(k≥0)的形式.
环节1 自学提纲,生成问题
【5min阅读】
阅读教材P25~P27的内容,完成下面练习.
【3min反馈】
1.
(1)x2+6x+__9__=(x+__3__)2;
(2)x2-x+__
__=
2;
(3)4x2+4x+__1__=(2x+__1__)2.
2.配方法:
通过方程的简单变形,将左边配成一个含有未知数的__完全平方式__,右边是一个__非负常数__,从而可以直接开平方求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】用配方法解下列方程:
(1)x2-4x-12=0;
(2)22x2+4x-6=0.
【互动探索】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么?
【解答】
(1)原方程可化为x2-4x=12.
配方,得x2-4x+4=16,即(x-2)2=16.
直接开平方,得x-2=±4,
所以x1=-2,x2=6.
(2)移项,得22x2+4x=6.
两边同除以22,得x2+
x=
.
配方,得x2+
x+
2=
+
2,即
2=
.
直接开平方,得x+
=±
,
所以x1=
,x2=
.
【互动总结】(学生总结,老师点评)用配方法解一元二次方程的一般步骤:
(1)变形:
将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0);
(2)移项:
将常数项移到方程的右边;(3)系数化为1:
方程的两边同除以二次项的系数,将二次项系数化为1;(4)配方:
在方程的两边各加上一次项系数绝对值的一半的平方,把原方程化为(x±h)2=k的形式;(5)求解:
若k≥0,则利用直接开平方法求解;若k<0,则原方程无实数根.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.用配方法解下列方程,配方正确的是( D )
A.2y2-4y-4=0可化为(y-1)2=4
B.x2-2x-9=0可化为(x-1)2=8
C.x2+8x-9=0可化为(x+4)2=16
D.x2-4x=0可化为(x-2)2=4
2.用配方法解下列方程,其中应在方程左右两边同时加上4的是( C )
A.x2-2x=5B.2x2-4x=5
C.x2+4x=3D.x2+2x=5
3.用配方法解方程2x2-x=4,配方后方程可化为
2=__
__.
4.用配方法解下列方程:
(1)x2+6x+1=0;
(2)2x2-3x+
=0.
解:
(1)x1=2
-3,x2=-2
-3.
(2)x1=
,x2=
.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】试用配方法说明:
无论x取何值,代数式x2-4x+5的值总是正数,并指出当x取何值时,这个代数式的值最小,最小值是多少?
【互动探索】这是一个二次三项式的最值问题→对x2-4x+5进行配方→确定代数式的最小值.
【解答】x2-4x+5=(x-2)2+1.
∵(x-2)2≥0,
∴(x-2)2+1≥1,
∴不论x为何值,代数式x2-4x+5的值总是正数,且当(x-2)2=0,即x=2时,代数式x2-4x+5有最小值,最小值为1.
【互动总结】(学生总结,老师点评)已知代数式是一个关于x的二次三项式且含有一次项,在求它的最值时,通常用配方法将原代数式变形为一个完全平方式加一个常数的形式,再根据一个数的平方是非负数求出原代数式的最值.
环节3 课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)
配方法
请完成本课时对应练习!
3 公式法(第3课时)
一、基本目标
1.理解求根公式的推导过程,能正确推导出一元二次方程的求根公式.
2.理解b2-4ac≥0是求根公式使用的前提条件和重要的组成部分,当b2-4ac<0时,方程无解.
3.理解和掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤,并能正确运用公式法解一元二次方程.
二、重难点目标
【教学重点】
用公式法解一元二次方程.
【教学难点】
求根公式的推导过程.
环节1 自学提纲,生成问题
【5min阅读】
阅读教材P28~P31的内容,完成下面练习.
【3min反馈】
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是x=__
(b2-4ac≥0)__.将一元二次方程中系数a、b、c的值,直接代入这个公式,就可以求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做__公式法__.
2.用公式法解方程2x2-3x-1=0时,a=__2__,b=__-3__,c=__-1__,则b2-4ac=__17__,代入求根公式,得x=__
__.
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】用公式法解下列方程:
(1)5x2-4x-1=0;
(2)3x2+5(2x+1)=0.
【互动探索】(引发学生思考)用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么?
【解答】
(1)∵a=5,b=-4,c=-1,
∴b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=16+20=36,
∴x=
=
=
,
∴x1=1,x2=-
.
(2)将方程化为一般形式,得3x2+10x+5=0.
∵a=3,b=10,c=5,
∴b2-4ac=102-4×3×5=100-60=40,
∴x=
=
=
,
∴x1=
,x2=
.
【互动总结】(学生总结,老师点评)用公式法解一元二次方程的一般步骤:
(1)把一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0);
(2)确定a、b、c的值;(3)求出b2-4ac的值;(4)判断b2-4ac的符号.当b2-4ac≥0时,把a、b及b2-4ac的值代入求根公式,求出x1、x2;当b2-4ac<0时,
无意义,此时方程无解.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.以x=
为根的一元二次方程可能是( D )
A.x2+bx+c=0B.x2+bx-c=0
C.x2-bx+c=0D.x2-bx-c=0
2.方程3x2-5x+1=0的解,正确的是( B )
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=
3.用公式法解下列方程:
(1)3x2-6x-1=0;
(2)(x-1)(x+3)=12;
(3)x2-x+3=0.
解:
(1)x1=
,x2=
.
(2)x1=-5,x2=3.
(3)方程没有实数解.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】我们规定一种运算:
=ad-bc,例如:
=2×5-3×4=10-12=-2.按照这种运算的规定,当x取何值时,
=0?
【互动探索】理解新定义的规则→转化所求式子形式→得一元二次方程→利用公式法解方程.
【解答】由
=0,得2x2-1×(0.5-x)=0.
整理,得4x2+2x-1=0,则a=4,b=2,c=-1,∴b2-4ac=22-4×4×(-1)=20,
∴x=
=
,∴当x=
或
时,
=0.
【互动总结】(学生总结,老师点评)这是一个关于二元一次方程的新定义问题,解这类题的关键是根据新定义得到方程,再解方程即可.
环节3 课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)
公式法
请完成本课时对应练习!
4 一元二次方程根的判别式(第4课时)
一、基本目标
1.了解根的判别式,掌握由根的判别式符号判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根的情况.
2.经历思考、探究一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的过程,学会合作交流,并掌握代数学习的常用方法——分类讨论法.
二、重难点目标
【教学重点】
由根的判别式符号判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根的情况.
【教学难点】
推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的b2-4ac的符号与其根的关系.
环节1 自学提纲,生成问题
【5min阅读】
阅读教材P31~P32的内容,完成下面练习.
【3min反馈】
1.根的判别式:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的__b2-4ac__叫做一元二次方程根的判别式,通常用符号“__Δ__”来表示.
2.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况:
当Δ__>0__时,方程有两个不相等的实数根;当Δ__=0__时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程__没有__实数根.
3.一元二次方程x2-5x-78=0根的情况是__有两个不相等的实数根__.
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】不解方程,判定下列方程的根的情况:
(1)16x2+8x=-3;
(2)9x2+6x+1=0;
(3)2x2-9x+8=0; (4)x2-7x-18=0.
【互动探索】(引发学生思考)不解方程,要判断方程的根的情况,结合一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中Δ的符号与根的关系,各个方程的Δ与0的大小关系是什么?
相应的方程根的情况是什么?
【解答】
(1)原方程可变形为16x2+8x+3=0,则a=16,b=8,c=3.
∵Δ=b2-4ac=82-4×16×3=64-192=-128<0,
∴方程没有实数根.
(2)a=9,b=6,c=1.
∵Δ=b2-4ac=62-4×9×1=36-36=0,
∴方程有两个相等的实数根.
(3)a=2,b=-9,c=8.
∵Δ=b2-4ac=(-9)2-4×2×8=81-64=17>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
(4)a=1,b=-7,c=-18.
∵Δ=b2-4ac=(-7)2-4×1×(-18)=49+72=121>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
【互动总结】(学生总结,老师点评)不解一元二次方程,由Δ确定方程根的情况的一般步骤:
(1)将原方程化为一般形式;
(2)确定a、b、c的值;(3)计算b2-4ac的值;(4)判断b2-4ac与0的大小;(5)得出结论.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.一元二次方程x2+3x+5=0的根的情况是( C )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
2.若关于x的一元二次方程x2+x-m=0有实数根,则m的取值范围是( B )
A.m≥
B.m≥-
C.m≤
D.m≤-
【教师点拨】若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根,则b2-4ac≥0.
3.已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数根,则p与q的关系是__p2=4q__.
4.不解方程,试判断下列方程的根的情况:
(1)2+5x=3x2;
(2)x2-(1+2
)x+
+4=0.
解:
(1)方程有两个不相等的实数根.
(2)方程没有实数根.
5.已知关于x的方程kx2-6x+9=0,问k为何值时,这个方程:
(1)有两个不相等的实数根?
(2)有两个相等的实数根?
(3)没有实数根?
解:
(1)当k<1且k≠0时,方程有两个不相等的实数根.
(2)当k=1时,方程有两个相等的实数根.
(3)当k>1时,方程没有实数根.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.若方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由.
【互动探索】方程有两个相等的实数根→得出a、b、c的数量关系→确定三角形的形状.
【解答】△ABC是直角三角形.理由如下:
∵关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0有两个相等的实数根,
∴Δ=0,即(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,
∴a2=b2+c2,
∴△ABC是直角三角形.
【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,先根据根的情况得到判别式的符号,再推出系数之间的关系,进而解决问题.
【例3】如果关于x的方程mx2-2(m+2)x+m+5=0没有实数根,试判断关于x的方程(m-5)x2-2(m-1)x+m=0的根的情况.
【互动探索】方程mx2-2(m+2)x+m+5=0没有实数根→确定m的取值范围→分类讨论确定方程(m-5)x2-2(m-1)x+m=0的根的情况.
【解答】∵方程mx2-2(m+2)x+m+5=0没有实数根,
∴Δ=[-2(m+2)]2-4m(m+5)=4(m2+4m+4-m2-5m)=4(4-m)<0,
∴m>4.
对于方程(m-5)x2-2(m-1)x+m=0,
当m=5时,方程有一个实数根;
当m≠5时,Δ1=[-2(m-1)]2-4m(m-5)=12m+4.
∵m>4,
∴Δ1=12m+4>0,
∴此时方程有两个不相等的实数根.
综上,当m=5时,方程(m-5)x2-2(m-1)x+m=0有一个实数根;当m>4且m≠5时,方程(m-5)x2-2(m-1)x+m=0有两个不相等的实数根.
【互动总结】(学生总结,老师点评)解此题时,不要忽略对方程(m-5)x2-2(m-1)x+m=0是否为一元二次方程进行讨论,此方程可能是一元一次方程.
环节3 课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)
请完成本课时对应练习!
5 一元二次方程的根与系数的关系(第5课时)
一、基本目标
1.理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系.
2.能利用一元二次方程根与系数的关系解决相关问题.
二、重难点目标
【教学重点】
一元二次方程两根之和及两根之积与方程系数之间的关系.
【教学难点】
一元二次方程的根与系数的关系的推导及其应用.
环节1 自学提纲,生成问题
【5min阅读】
阅读教材P33~P35的内容,完成下面练习.
【3min反馈】
1.一元二次方程根与系数的关系:
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则有x1+x2=__-
__,x1x2=__
__.
特殊形式:
若x2+px+q=0的两根为x1、x2,则x1+x2=__-p__,x1x2=__q__.
2.已知x1、x2是一元二次方程x2-6x-15=0的两根,则x1+x2=__6__,x1x2=__-15__.
3.已知实数x1、x2满足x1+x2=11,x1x2=30,则以x1、x2为根的一元二次方程是__x2-11x+30=0__.
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】已知x1、x2是方程x2+6x+3=0的两实数根,不解方程,求下列代数式的值.
(1)(x1-x2)2;
(2)
+
.
【互动探索】(引发学生思考)方程x2+6x+3=0的根与系数的关系怎样?
所求代数式与它们的关系有什么联系?
【解答】∵x1、x2是方程x2+6x+3=0的两实数根,
∴x1+x2=-6,x1x2=3.
(1)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-6)2-4×3=24.
(2)
+
=
=
=
=10.
【互动总结】(学生总结,老师点评)
(1)解此类题时,先根据根与系数的关系得到两根和与两根积,再把所求代数式变形,最后利用整体代入法计算即可.
(2)常见的与一元二次方程根的和、积有关系的代数式变形:
①x
+x
=(x1+x2)2-2x1x2;
②(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2;
③
+
=
;
④
+
=
;
⑤(x1+k)(x2+k)=x1x2+k(x1+x2)+k2;
⑥|x1-x2|=
=
.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.方程x2-6x+10=0的根的情况是( C )
A.两个实根和为6
B.两个实根之积为10
C.没有实数根
D.有两个相等的实数根
2.若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1,x2=2,则这个方程可能是( C )
A.x2+3x-2=0B.x2+3x+2=0
C.x2-3x+2=0D.x2-2x+3=0
3.已知关于x的方程5x2+kx-6=0的一个根2,则k=__-7__,另一个根为__-
__.
4.设a、b是方程x2+2x-2019=0的两个不相等的实数根.
(1)a+b=__-2__,ab=__-2019__,2a2+4a=__4038__;
(2)求代数式a2+3a+b的值.
解:
a2+3a+b=a2+2a+a+b=2019-2=2017.
5.请利用一元二次方程的根与系数关系解决下列问题:
(1)若x2+bx+c=0的两根为-2和3,求b和c的值;
(2)设方程2x2-3x+1=0的两根为x1、x2,不解方程,求
+
的值.
解:
(1)b=-1,c=-6.
(2)
+
=3.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例2】设一元二次方程x2-6x+k=0的两根分别为x1、x2.
(1)若x1=2,求x2的值;
(2)若k=4,且x1、x2分别是Rt△ABC的两条直角边的长,试求Rt△ABC的面积.
【互动探索】
(1)已知方程一根→利用根与系数的关系得方程的另一个根.
(2)分析法:
Rt△的面积→与两直角边的乘积相关,即x1x2的乘积关系→根与系数的关系,确定x1x2的值.
【解答】
(1)∵x1、x2是一元二次方程x2-6x+k=0的两根,且x1=2,
∴x1+x2=-(-6),即2+x2=6,∴x2=4.
(2)∵x1、x2是一元二次方程x2-6x+k=0的两根,k=4,
∴x1·x2=k=4.
又∵x1、x2分别是Rt△ABC的两条直角边的长,
∴SRt△ABC=
x1·x2=
×4=2.
【互动总结】(学生总结,老师点评)求
(2)问时,弄清直角三角形的面积与方程两实根的关系是解决问题的关键.
环节3 课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)
一元二次方程的根与系数的关系:
ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则x1+x2=-
,x1x2=
.
特殊地,x2+px+q=0的两根为x1、x2,则x1+x2=-p,x1x2=q.
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- 华师版数学九年级上册教案第22章 一元二次方程222 一元二次方程的解法5课时 华师版 数学 九年级 上册 教案 22 一元 二次方程 222 解法 课时
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