初一数学绝对值典型例题精讲.docx
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初一数学绝对值典型例题精讲
第三讲绝对值
内容概述
绝对值是有理数中非常重要的组成部分,它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学
习的基石,希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。
广绝对值的定义及性质
绝对值简单的绝对值方程
化简绝对值式,分类讨论(零点分段法)
L绝对值几何意义的使用
绝对值的定义及性质
绝对值的定义:
在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值,记作|a|。
绝对值的性质:
(1)绝对值的非负性,可以用下式表示:
∣a≥0,这是绝对值非常重要的性质;
r^a(a>0)
(2)IaI=W0(a=0)(代数意义)
-a(av0)
(3)若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0;
(4)任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数,即∣a≥a,
且∣a≥-a;
(5)若∣a∣=∣b∣,则a=b或a=-b;(几何意义)
a|aI
(6)∣ab∣=∣a∣∙|b|;||=(b≠0);
b|b|
222
(7)|a|=|a|=a;
(8)∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣∣a-b≥∣∣a∣-∣b∣∣∣a∣+∣b≥|a+b|∣a∣+∣b≥|a-b|
[例1]
(1)绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个?
(2)若ab<∣ab∣,则下列结论正确的是()
A.aV0,bv0B.a>0,bV0C.aV0,b>0D.abV0
(3)下列各组判断中,正确的是()
A.若∣a∣=b,则一定有a=bB.若∣a∣>Ibl,则一定有a>b
22
C.若|a|>b,则一定有|a|>|b|D.若∣a∣=b,则一定有a=(-b)
(4)设a,b是有理数,则∣a+b∣+9有最小值还是最大值?
其值是多少?
分析:
(1)结合数轴画图分析。
绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3,±4,有4个
(2)答案C不完善,选择D.在此注意复习巩固知识点3。
(3)选择D。
(4)根据绝对值的非负性可以知道∣a+b≥0,则∣a+b≥9,有最小值9
[巩固]绝对值小于3.1的整数有哪些?
它们的和为多少?
<分析>:
绝对值小于3.1的整数有0,±1,±2,±3,和为0。
[巩固]有理数a与b满足∣a∣>∣b,则下面哪个答案正确()
A.a>bB.a=bC.a 分析: 选择D。 [巩固]若∣x-3∣=3-x,则X的取值范围是 分析: 若∣x-3∣=3-x,则x-3≤0,即X≤3。 对知识点3的复习巩固 [巩固]若a>b,且∣a∣<∣b∣,则下面判断正确的是() A.av0B.a>0C.bV0D.b>0 分析: 选择C [巩固]设a,b是有理数,则-8-∣a-b|是有最大值还是最小值? 其值是多少? 分析: ∣a-b≥0,-8-∣a-b∣≤-8,所以有最大值-8 [例2] (1)(竞赛题)若3∣x-2∣+∣y+3∣=0,则1的值是多少? X 2_4 (2)若∣x+3∣+(y-1)2=0,求()n的值 y_x 分析: (1)∣x-2∣=0,∣y+3∣=0,x=2,y=-3, 2 (2)由∣x+3∣+(y-1)=0,可得x=-3,y=1。 n为偶数时,原式=1;n为奇数时,原式=-1 2 小知识点汇总: (本源∣a≥0b2≥0) 22 若(x-a)+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0; 若∣x-a∣+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0; 若∣x-a∣+∣x-b∣=0,则x-a=0且x-b=0; 0,两个非 当然各项前面存在正系数时仍然成立,非负项增加到多项时,每一项均为 负数互为相反数时,两者均为0 简单的绝对值方程 【例3】 (1)已知X是有理数,且IXI=I-4|,那么X= (2)已知X是有理数,且-∣x∣=-∣2∣,那么X= (3)已知X是有理数,且-∣-x∣=-∣2∣,那么X= (4)如果x,y表示有理数,且x,y满足条件|x|=5,|y|=2,∣x-y∣=y-x,那么x+y的值是多少? 分析: (1)4,-4 (2)2,-2,(3)2,-2 (4)X=±5,y=±2,且∣x-y∣=y-x,x-y≤0; 当x=5,y=2时不满足题意;当x=5,y=-2时不满足题意; 当x=-5,y=2时满足题意;x+y=-3;当x=-5,y=-2时满足题意,x+y=-7。 【巩固】巩固|x|=4,|y|=6,求代数式|x+y|的值 分析: 因为|x|=4,所以X=±4,因为|y|=6,所以y=±6 当x=4,y=6时,∣x+y∣=∣10∣=10;当x=4,y=-6时,∣x+y∣=∣-2∣=2; 当x=-4,y=6时,∣x+y∣=∣2∣=2;当x=-4,y=-6时,∣x+y∣=∣10∣=10 【例4】 解方程: 3 (1)|x・5|_5=0 2 (2)∣4x+8∣=12 (3)∣3x+2∣=-1 12 (4)已知∣x-1∣=2,∣y∣=3,且X与y互为相反数,求X-∙xy-4y的值 3 分析: (1)原方程可变形为: ∣x+5∣=10,所以有x+5=±10,进而可得: x=-—,-空; 3333 (2)4x+8=±12,x=1,x=-5 (3)此方程无解 (4)|x-1|=2,X-仁±2,x=3,x=-1,|y|=3,y=±3,且X与y互为相反数,所以x=3, 12 y=-3,X-χy-4y=24 3 【例5】若已知a与b互为相反数,且|a-b|=4,求ab_b的值 a2+ab+1 分析: a与b互为相反数,那么a+b=0。 当a-b=4时,且a+b=0,那么a=2,b=-2,-ab=4; 当a-b=-4时,且a+b=0,那么a=-2,b=2,-ab=4; 综上可得 a-abb 2 aab1 化简绝对式 【例6】 (1) 11 已知a=-,b=_—, 23 |2a4b|_4 (a2b)2|a2b| 的值 |4b3-|2a-3|| (2)若|a|=b,求|a+b|的值 (3) 化简: |a-b| (2)|a|=b,我们可以知道b≥0,当a<0时,a=-b,|a+b|=0;当a≥0时,a=b,|a+b|=2b 当a-b>0时,即a>b,∣a-b∣=a-b; 当a-b=0时,即a=b,∣a-b∣=O; 当a-bv0时,即avb,∣a-b∣=b-a° 【巩固】化简: (1)∣3.14-∏|⑵∣8-x∣(X≥8) 分析: (1)3.14<π,3.14-πV0,∣3.14-πFn-3.14 (2)x≥8,8-x≤0,∣8-x∣=x-8。 【例7】有理数a,b,C在数轴上对应点如图所示,化简∣b+a∣+∣a+c∣+∣c-b∣ II[I. CB0A 分析: ∣b+a∣+∣a+c∣+∣c-b∣=b+a-(a+c)-(c-b)=2b-2c 【巩固】已知a,b,C在数轴上的位置如图所示,化简∣a∣+∣c-b∣+∣a-c∣+∣b-a∣ 1J III I. a( JCI b, 分析: ∣a∣+∣c-b∣+∣a-c∣+∣b-a∣=-a+b-c-a+c+b-a=2b-3a 【巩固】数a,b在数轴上对应的点如图所示,是化简∣a+b∣+∣b-a∣+Ibl-Ia-Iall 分析: ∣a+b∣+∣b-a∣+∣b∣-∣a-∣a∣∣=-(a+b)+(b-a)+b-(-2a)=ba 【例8] (1)若a<-b且0,化简∣a∣-∣b∣+∣a+b∣+∣ab∣ 分析: b (2)若-2≤a≤0,化简∣a+2∣+∣a-2∣ (3)已知x<0 a (1)若a<-b且0,a<0,b<0,a+b<0,ab>0 b ∣a∣-∣b∣+∣a+b∣+∣ab∣=-a+b-a-b+ab=ab-2a (2)因为-2≤a≤0,所以a+2≥0,a-2≤0,∣a+2∣+∣a-2∣=(a+2)-(a-2)=4 (3)由x<0 y<0 y 【巩固]如果0 分析: |x-m|+|x-10|+|x-m-10|=x-m+10-x+m+10-x=20-x 【例9] (1)已知x<-3,化简|3+|2-|1+x||| 分析: (1)当x<-3时,|3+|2-|1+x|||=|3+|2+1+x||=|3+|3+x||=|3-3-x|=|-XI=-X ⑵2a-|3a|=2a3a=旦=-5 ∣∣3aI—aI|,a—a|—4a4 abC 【例10】若abc≠0,贝U的所有可能值 |a||b||c| 分析: 从整体考虑: (1)a,b,C全正,则—b-=3; |a||b||c| a b C (2)a,b, C两正一负, 则 ++ =1; IaI IbII cI a b C (3)a,b, C一正两负, 则 •++■ =-1; IaI IbII cI 人宀Ma丄b丄C (4)a,b,C全负,则=-3 |a||b||c| 【巩固】有理数a,b,c,d,满足IabCd1=一1,求La-ILb-1J-c-1■Ld-1的值 abcdabCd 分析: 有LabCdJ-_1知abcd<0,所以a,b,c,d里含有1个负数或3个负数: abcd (1) (2) 若含有1个负数,则IaIIbIl£l.LL1=2; abcd 若含有3个负数,则回•回•也•回=-2 abcd 【例11】化简Ix+5I+I2x-3I 3 分析: 先找零点。 x+5=0,x=-5;2x-3=0,X=,零点可以将数轴分成几段。 2 当x≥3,x+5>0,2x-3≥0,Ix+5I+I2x-3I=3x+2; 2 3 当-5≤XV,x+5≥0,2x-3V0,Ix+5I+I2x-3I=8-x; 2 当x<-5,x+5<0,2x-3,Ix+5I+I2x-3I=-3x-2 【巩固】化简: I2x-1I 1 分析: 先找零点。 2x-仁0,X=丄,依次零点可以将数轴分成几段 2 1 (1)x<2,2x-1<0,I2x-1I=-(2x-1)=1-2x; 1 (2)X=,2x-仁0,I2x-1I=0 1 (3)x>,2x-1>0,∣2x-1∣=2x-1。 也可将 (2)与 (1)合并写出结果 2 【例12】求∣m∣+∣m-1+∣m-2∣的值 分析: 先找零点,m=0,m-1=0,m-2=0,解得m=0,1,2 依这三个零点将数轴分为四段: mv0,0≤mv1,1≤mv2,m≥2。 当m<0时,原式=—m—(m-1)-(m-2)=-3m+3 当0≤mv1时,原式=m-(m-1)-(m-2)=-m+3 当1≤mv2时,原式=m+(m-1)-(m-2)=m+1 当m≥2时,原式m+(m-1)+(m-2)=3m-3 绝对值几何意义的应用 Ia的几何意义: 在数轴上,表示这个数的点离开原点的距离 ∣a-b∣的几何意义: 在数轴上,表示数a,b对应数轴上两点间的距离 【例13】求∣x-3∣+∣x-5∣+∣x-2∣+∣x+1∣+∣x+7∣的最小值 分析: 由上题可知,本题中的式子值应为X所对应的点分别到3,5,2,-1,-7所对应的点距 离和。 通过数轴可以看到,当x=2时,五段距离的和有最小值16。 这里我们可以把 小学奥数中的相关知识联系到一起讲解: 【小学奥数相关题目】如图,在接到上有A、B、C、D、E五栋居民楼,现在设立一个邮筒, 为使五栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短,邮局应立于何处? IllIl ABCDE 分析: 我们来分析以下A、E两个点,不论这个邮筒放在AE之间的哪一点,A到邮筒的距 离加上E到邮筒的距离就是AE的长度。 也就是说邮筒放在哪不会影响这两个点到邮筒的距离之和。 那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短,再看为了使 B、D两个到邮筒的距离之和也是不变的,等于BD。 最后,只需要考虑C点到邮筒 的距离最近就行了。 那么当然也就是把邮筒放在C点了。 这里就体现了一个“向中 心靠拢的思想” 题后小结论: 求|x-a1|+|x-a21+,+|x-an|的最小值: 当n为奇数时,把a1、a2、,an从小到大排列,X等于最中间的数值时,该式子的值最小。 当n为偶数时,把a1、a2、,an从小到大排列,X取最中间两个数值之间的数(包括 最中间的数)时,该式子的值最小。 【巩固】探究Ia与∣a-b∣的几何意义 分析: |a即为表示a的点A与原点之间的距离,也即为线段Ao的长度。 关于∣a-b∣,我们可以引入具体数值加以分析: 当a=3,b=2时,∣a-b∣=1;当a=3,b=-2时,∣a-b∣=5; 当a=3,b=0时,∣a-b∣=3;当a=-3,b=-2时,∣a-b∣=1; 从上述四种情况分别在数轴上标注出来,我们不能难发现: |a-b对应的是点A与点 B之间的距离,即线段AB的长度。 【巩固】设a1、a2、a3、a4、a5为五个有理数,满足a1 a3|+|x-a4|+|x-a51的最小值 分析: 当X=a3时有最小值,a4+a5-a1-a2 【例14】设a 分析: 根据几何意义可以得到,当b≤x≤C时,y有最小值为c+d-a-b 'e 附加习题 【例1】若∣a∣=1,∣b∣=2,∣c∣=3,且a>b>c,那么a+b-c= 分析: 根据题意可得: a=±1,b=-2,c=-3,那么a+b-c=0或2 【例2】已知(a+b)2+∣b+5∣=b+5,且∣2a-b-1∣=0,那么ab= 分析: 因为(a+b)2+∣b+5∣=b+5,我们可以知道b+5>0,所以原式可以表示为: 22 (a+b)+b+5=b+5,(a+b)=0,a=-b,又因为|2a-b-1|=0,进而2a-b-1=0,进而 111 2a-b-1=0,3a=1,a=,b,ab=- 339 【例3】对于|m-1|,下列结论正确的是() 我们可以用特殊值 0,3种数帮助找到 分析: 我们可以分类讨论,但那样对于做选择题都过于麻烦了。 法代入检验,对于绝对值的题目我们一般需要带入正数、负数、准确答案。 易得答案为CO 【例4】设a,b,C为实数,且|a|+a=0,|ab|=ab,|c|-c=0,化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|分析: ∣a∣+a=O,∣a∣=-a,a≤0;∣ab∣=ab,ab≥0;ICI-C=0,∣c∣=c,c≥0。 所以可以得到a≤0,b≤0,c≥0; ∣b∣-∣a+b∣-∣c-b∣+∣a-c∣=-b+(a+b)-(c-b)-(a-c)=b 【例5】化简: ∣∣x-1∣-2∣+∣x+1∣ 分析: 先找零点。 x-1=0,x=1,∣x-1∣-2=0,∣x-1∣=2,X-仁2或x-1=-2,可得x=3或 者x=-1;x+仁0,x=-1;综上所得零点有1.,-1,3,依次零点可以将数轴分成几段。 (1)X≥3,x-1>0,∣x-1∣-2≥0,x+1>0,∣∣x-1∣-2∣+∣x+1∣=2x-2; (2)1≤x<3,x-1≥0,∣x-1∣-2<0,x+1>0,∣∣x-1∣-2∣+∣x+1∣=4; (3)-1≤X≤1,x-1<0,∣x-1∣-2<0,x+1≥0,∣∣x-1∣-2∣+∣x+1∣=2x+2; (4)x<-1,x-1<0,∣x-1∣-2<0,x+1<0,∣∣x-1∣-2∣+∣x+1∣=-2x-2 【例6】已知有理数a,b,C满足|a|■|b||cL1,求1abc1的值 abCabc 分析: 对于任意的整数a,有回=1,若LaJlb-1=I,则a,b,C中必 aabc 是两正一负,则abc<0,1abC1=-1 abc 【例7】若a,b,c,d为互不相等的有理数,且Ia-CFIb-CF∣d-b∣=1,求|a-d| 分析: 从∣a-c∣=∣b-c我们可以知道,C到a,b的距离都是1,且三者不相等,那么在 数轴上就有: IIlll」 aCb (b)(a) 因为∣d-b∣=1,且a,b,c,d为互不相等的有理数,则有: aCbd 显然易得∣a-d∣=3(a) 练习三 1、∣m+3∣+∣n-7∣+∣2p-1∣=0,求p+2m+3n的值 2 分析: 绝对值为非负数,∣m+3∣+∣n-£∣+∣2p-1∣=0,所以m+3=0,n-7=0,2p-1=0,即得m=-3, 7117 n=,P=,所以p+2m+3n=-6+3×=5 2222 2、 (1)已知∣x∣=2,∣y∣=3且x-y>0,则x+y的值为多少? (2)解方程: ∣4x-5∣=8 分析: (1)X=±2,y=±3, 当x=2,y=3时,不满足x-y>0; x=2,y=-3时,满足x-y>0,那么x+y=-1; x=-2,y=3时,不满足x-y>0; x=-2,y=-3时,满足x-y>0,那么x+y=-5。 综上可得x+y的值为-1,-5 133 (2)4x-5=±8,X=,x=-— 44 3、 (1)有理数a,b,C在数轴上对应点如图所示,化简∣a-b∣-∣a+b∣+Ib-Cl-ICl →4―F÷→ (2)若avb,求∣b-a+1∣-∣a-b-51的值 (3)若av0,化简∣a-∣-a∣∣ 分析: (1)a-bv0,b-c>0,a+bv0 ∣a-b∣-∣a+b∣+∣b-c∣-∣c∣=-(a-b)+(a+b)+(b-c)+c=3b (2)∣b-a+1∣-∣a-b-5∣=b-a+1+a-b-5=-4 (3) ∣a-∣-a∣∣=∣a+a∣=∣2a∣=-2a 23 分析: 若a>0,那么—笃~τ=1+1+仁3; |a||a2||a3| aa2a3 若av0,那么23=-1+1-1=-1 |a||a2||a3| 5、化简∣x-1∣-∣x-3∣ 分析: 先找零点。 X-仁0,,x=1;x-3=0,x=3,依照零点可以将数轴分成几段。 (1)X≥3,x-1>0,x-3≥0,∣x-1∣-∣x-3∣=x-1-(x-3)=2; (2)1≤XV3,x-1≥0,x-3V0,∣x-1∣-∣x-3∣=x-1+(x-3)=2x-4; (3)XV1,x-1V0,x-3V0,∣x-1∣-∣x-3∣=-(x-1)+(x-3)=-2 6、设avbvc,求当X取何值时∣x-a∣+∣x-b∣+∣x-c∣的最小值 分析: ∣x-a∣+∣x-b∣+∣x-c∣实际表示X到a,b,C三点距离和,画图可知当x=b时,原式有最小 值c-a
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