八上 勾股定理的应用 知识点+例题+练习 非常好 分类全面.docx
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八上勾股定理的应用知识点+例题+练习非常好分类全面
教学内容
勾股定理的应用
教学目标
会灵活运用勾股定理
重点
勾股定理的应用
难点
勾股定理的应用
课堂精讲
【知识要点】
1.勾股定理的概念:
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
常用关系式
由三角形面积公式可得:
AB·CD=AC·BC
2.勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a,b,c有下面关系:
a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,其中
为斜边。
3.勾股数:
①满足a2+b2=c2的三个正整数叫做勾股数
(注意:
若a,b,c、为勾股数,那么ka,kb,kc同样也是勾股数组。
)
②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如
;
;
;
;8,15,17等
4.判断直角三角形:
(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形。
(2)有两个角互余的三角形是直角三角形。
(3)如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
(4)如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
(经典直角三角形:
勾三、股四、弦五)
实际应用:
1.梯子滑动问题:
1.一架长2.5
的梯子,斜立在一竖起的墙上,梯子底端距离墙底0.7
(如图),如果梯子的顶端沿墙下滑0.4
,那么梯子底端将向左滑动米
2.如图,一个长为10米的梯子,斜靠在墙面上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8米,如果梯子的顶端下滑2米,那么,梯子底端的滑动距离米
3.小明想知道学校旗杆的高度,他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1m,当他把绳子的下端拉开使绳子下端刚好触到地面,此时绳子下端距离旗杆底部是3米,试问旗杆的高度为米
4.如图,一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定,两个固定点之间的距离是。
5.如图,一个5米长的梯子AB,斜着靠在竖直的墙AO上,这时AO的距离为4米.
①求梯子的底端B距墙角O多少米?
②如果梯的顶端A沿墙下滑1米至C,算一算,底端滑动的距离.
6.如图所示,梯子AB靠在墙上,梯子的底端A到墙根O的距离为2m,梯子的顶端B到地面的距离为7m.现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m,同时梯子的顶端B下降到B′,那么BB′也等于1m吗?
2.爬行距离最短问题:
1.如图,一块砖宽AN=5㎝,长ND=10㎝,CD上的点F距地面的高FD=8㎝,地面上A处的一只蚂蚁到F处吃食,要爬行的最短路线是cm
2.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶两相对的端点,A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物,则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是分米?
3.一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点,那么它所爬行的最短路线的长是.
3、方向问题:
1.一职工下班后以50米/分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了5.6分,又沿南北马路向南走了19.2分到家,则他的家离公司距离为()
A.100mB.500mC.1240mD.1000m
2.一轮船在大海中航行,它先向正北方向航行8km,接着,它又掉头向正东方向航行15千米.
⑴此时轮船离开出发点多少km?
⑵若轮船每航行1km,需耗油0.4升,那么在此过程中轮船共耗油多少升?
3.甲、乙两船上午11时同时从港口A出发,甲船以每小时20海里的速度向东北方向航行,乙船以每小时15海里的速度向东南方向航行,求下午1时两船之间的距离.
4.折叠问题:
1.如图,在长方形ABCD中,将△ABC沿AC对折至△AEC位置,CE与AD交于点F。
(1)试说明:
AF=FC;
(2)如果AB=3,BC=4,求AF的长
2.如图,正方形ABCD中,E是BC边上的中点,F是AB上一点,且
,那么△DEF是直角三角形吗?
为什么?
4.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,如果将该矩形沿对角线BD折叠,那么图中阴影部分的面积是多少?
5.利用勾股定理测量长度
1.如图,水池中离岸边D点1.5米的C处,直立长着一根芦苇,出水部分BC的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B恰好落到D点,并求水池的深度AC.
2.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出1尺,斜放就恰好等于门的对角线长,已知门宽4尺.求竹竿高与门高.
3、一辆装满货物的卡车,高2.5m,宽1.6m,要开进形状如图所示的某工厂厂门,这辆卡车能否通过厂门?
说明你的理由.
4.如图,E为正方形ABCD的边AB上的一点,AE=3,BE=1,P为AC上的动点,求PB+PE的最小值.
5、如图,铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上修建一个土特产收购站E,使得C、D两村到E站的距离相等,则E站应修建在离A站多少千米处?
6、勾股定理几何应用
1.如图在矩形ABCD中,M是CD中点,AB=8,AD=3.
(1)求AM的长;
(2)△MAB是直角三角形吗?
为什么?
2.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上高,若AD=8,BD=2,求CD.
3.一个长方体木箱沿斜面下滑,当木箱滑至如图位置时,AB=3m,已知EO=2m,斜面坡角为30°,求木箱端点E距地面AC的高度EF。
4.有一块土地形状如图所示,∠B=∠D=90°,AB=20米,BC=15米,CD=7米,请计算这块地的面积.
5.四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。
6如图,在四边形ABCD中,AB=12cm,BC=3cm,CD=4cm,∠C=90°
(1)求BD的长;
(2)当AD为多少时,∠ABD=90°?
7.农民牛伯伯承包了一块四边形水稻田ABCD,他量得边长AB=90m,BC=120m,CD=130m,DA=140m,且边AB、BC正好位于两条相互垂直的公路的拐角处,请你帮牛伯伯计算一下这块水稻田的面积。
8.如图所示的一块地,AD=12m,CD=9m,∠ADC=90°,AB=39m,BC=36m,求这块地的面积.
课后作业
选择题:
1.要从电杆离地面5m处向地面拉一条长为13m的电缆,则地面电缆固定点与电线杆底部的距离应为()
A.10mB.11mC.12mD.13m
2.一海轮以24海里每小时的速度从港口A出发向东南方向航行,另一海轮以18海里每小时的速度同时从港口A出发向西南方向航行,离开港口2h后,两海轮之间的距离为()
A.84海里B.60海里C.48海里D.36海里
3.如图,一根长为2.5米的梯子斜靠在垂直于地面的墙上,这时梯子的底端B离开墙根为0.7米,如果梯子的底端向外(远离墙根方向)移动0.8米至D处,则梯子的顶端将沿墙向下移动( )
A.0.8米B.0.7米C.0.4米D.0.3米
4.如图,在高为5m,坡面长为13m的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要()
A.17mB.18mC.25mD.26m
二、填空题:
5.等腰三角形ABC的面积为12㎝2,底上的高AD=3㎝,则它的周长为多少㎝.
6、如图,为测湖两岸A、B间的距离,小兰在C点设桩,使△ABC为直角三角形,并测得BC=120m,AC=150m,则A、B两点间的距离是m.
7.如图,在一透明的直圆柱状的玻璃杯内部测得其底部直径为5㎝,高为12㎝,现有一支15㎝的吸管任意斜放于杯中,若不考虑吸管的粗细,则吸管露出杯口外的长度至少为㎝.
8.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,AB=3,BD=2,DC=1,则AC2=.
9.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为cm2.
题7题8题9题10
三、解答题:
10.如图,四边形ABCD中,AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm,且∠A=90°,求四边形ABCD的面积.
11.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm,3dm,2dm,A和B是这个台阶两相对的端点,A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物,则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是多少dm?
12.如图,有两只猴子在一棵树CD高5m的点B处,它们都要到A处的池塘去喝水,其中一只猴子沿树爬下走到离树10m处的池塘A处,另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘的A处.如果两只猴子所经过的路程相等,这棵树高有多少米?
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