全国高考理科数学试题及答案湖南.docx
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全国高考理科数学试题及答案湖南
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2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
数学(理工农医类)
本试题包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页.时量120分钟,满分150分.
参考公式:
锥体的体积公式为
,其中
是锥体的底面积,
是锥体的高.
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
,
,则
A.
B.
C.
D.
2.下列命题中的假命题是
A.
,
B.
,
C.
,
D.
,
3.极坐标方程
和参数方程
(t为参数)所表示的图形分别是
A.圆、直线B.直线、圆
C.圆、圆D.直线、直线
4.在
中,
,
,则
等于
A.
B.
C.8D.16
5.
等于
A.
B.
C.
D.
6.在
中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若
,
,则
A.a>bB.a<b
C.a=bD.a与b的大小关系不能确定
7.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为
A.10B.11C.12D.15
8.用
表示a,b两数中的最小值,若函数
的图象关于直线
对称,则t的值为
A.-2B.2C.-1D.1
二、填空题:
本大题共7小题,每小题5分,共35分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
9.已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间.若用0.618法安排试验,则第一次试点的加入量可以是.
10.如图1所示,过⊙O外一点P作一直线与⊙O交于A,B
两点.已知PA=2,点P到⊙O的切线长PT=4,则弦AB
的长为.
11.在区间[-1,2]上随机取一个数x,则
的概率为.
12.图2是求
的值的程序框图,则正整数
.
13.图3中的三个直角三角形是一个体积为20
的几何体的三视图,则
.
14.过抛物线
的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于
两点,
在
轴上的正射影分别为
.若梯形
的面积为
,则
.
15.若数列
满足:
对任意的
,只有有限个正整数
使得
成立,记这样的
的个数为
,则得到一个新数列
.例如,若数列
是
,则数列
是
.已知对任意的
,
,则
,
.
三、解答题:
本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知函数
.
(Ⅰ)求函数
的最大值;
(II)求函数
的零点集合.
17.(本小题满分12分)
图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位:
吨)的频率分布直方图.
(I)求直方图中x的值;
(II)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样),求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望.
18.(本小题满分12分)
如图5所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.
(I)求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值;
(II)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F//平面A1BE?
证明你的结论.
19.(本小题满分13分)
为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距8km的A,B两点各建一个考察基地.视冰川面为平面形,以过A,B两点的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图6).在直线
的右侧,考察范围为到点B的距离不超过
km的区域;在直线
的左侧,考察范围为到A,B两点的距离之和不超过
km的区域.
(Ⅰ)求考察区域边界曲线的方程;
(Ⅱ)如图6所示,设线段
,
是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍,求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间.
20.(本小题满分13分)
已知函数
,对任意
,恒有
(I)证明:
当
时,
(II)若对满足题设条件的任意b,c,不等式
恒成立,求M的最小值.
21.(本小题满分13分)
数列
中,
是函数
的极小值点.
(I)当a=0时,求通项
(II)是否存在a,使数列
是等比数列?
若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.
参考答案
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1—4CBAD5—8DABD
二、填空题:
本大题共7小题,每小题5分,共35分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
9.171.81或48.210.611.
12.10013.4
14.215.2,
三、解答题:
本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.解:
(I)因为
所以,当
,即
时,函数
取得最大值1.
(II)解法1由(I)及
得
,所以
,或
即
故函数
的零点的集合为
解法2由
得
于是
,或
即
由
;由
可知
故函数
的零点的集合为
17.解:
(I)依题意及频率分布直方图知,
0.02+0.1+x+0.37+0.39=1,
解得x=0.12.
(II)由题意知,X~B(3,0.1).
因此
故随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.729
0.243
0.027
0.001
X的数学期望为EX=3×0.1=0.3.
18.解法1设正方体的棱长为1,如图所示,以
为单位正交基底建立空间直角坐标系.
(I)依题意,得B(1,0,0),E(
),
A(0,0,0),D(0,1,0),所以
在正方体ABCD—A1B1C1D1中,因为AD⊥平面
ABB1A1,所以
是平面ABB1A1的一个法向量,
设直线BE和平面ABB1A1所成的角为
,则
即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为
(II)依题意,得
设
是平面A1BE的一个法向量,则由
,得
所以
取
设F是棱C1D上的点,则F(t,1,1)
又
所以
D而
平面A1BE,于是
B1F//平面A1BE
为C1D1的中点,这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点),使B1F//平面A1BE.
解法2(I)如图(a)所示,取AA1的中点M,连结EM,BM.因为E是DD1的中点,四边形ADD1A2为正方形,所以EM//AD.
又在正方体ABCD—A1B1C1D1中,AD⊥平面ABB1A1,所以EM⊥平面ABB1A1,从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影,∠EBM为BE和平面ABB1A1所成的角.
设正方体的棱长为2,则EM=AD=2,
于是,
在
中,
即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为
(II)在棱C1D上存在点F,使B1F//平面A1BE.
事实上,如图(b)所示,分别取C1D1和CD的中点为F,G,连结EG,BG,CD1,FG.因A1D1//B1C1//BC,且A1D1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,因此,D1C//A1B.又E,G分别为D1D,CD的中点,所以EG//D1C,从而EG//A1B,这说明A1,B,G,E,共面,所以BG
平面A1BE.
因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形,F,G分别为C1D1和CD的中点,所以FG//C1C//B1B,且FG=C1C=B1B,因此四边形B1BGF是平行四边形,所以B1F//BG,而B1F
平面A1BE,BG
平面A1BE,故B1F//平面A1BE.
19.解:
(I)设边界曲线上点P的坐标为
当
时,由
知,点P在以A,B,为焦点,长轴长为
的椭圆上,此时短半轴长
因而其方程为
故考察区域边界曲线(如图)的方程为
(II)设过点P1,P2的直线为
,过点P2,P3的直线为
,则直线
的方程分别为
设直线
平等于直线
,其方程为
代入椭圆方程
消去y,得
由
解得m=8,或m=-8
从图中可以看出,当m=8时,直线
与C2的公共点到直线
的距离最近,此时直线
的方程为
之间的距离为
又直线
到C1和C2的最短距离
,所以考察区域边界到冰川边界的线的最短距离为3.
设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n年,则由题设及等比数列求和公式,
得
,所以
故冰川界线移动到考察区域所需的最短时间为4年.
20.解:
(I)易知
由题设,对任意的
即
恒成立,所以
,
从而
于是
故当
时,有
即当
时,
(II)由(I)知,
当
时,有
令
而函数
的值域是
因此,当
时,M的取值集合为
当
时,由(I)知,
此时
从而
恒成立.
综上所述,M的最小值为
21.解:
易知
令
(1)若
则
当
单调递增;
当
单调递减;
当
单调递增.
故
取得极小值.
(2)若
仿
(1)得,
在
取得极小值.
(3)若
无极值.
(Ⅰ)当
时,
由
(1)知,
因
则由
(1)知,
因为
,则由
(2)知,
.
又因为
则由
(2)知,
由此猜测:
当
时,
下面先用数学归纳法证明:
当
时,
事实上,当
时,由前面的讨论知结论成立.
假设当
成立,则由
(2)知,
,从而
,
所以
故当
时,
成立.
于是由
(2)知,当
时,
,因此
综上所述,当a=0时,
(II)存在a,使数列
是等比数列,
事实上,由
(2)知,若对任意的n,都有
,则
即数列
是首项为a,公比为3的等比数列,且
而要使
,即
都成立,只需
对一切
都成立.记
…
令
,则
,
因此,当
时,
,从而函数
在
上单调递减,故当
时,数列
单调递减,即数列
中最大项为
于是当
时,必有
这说明,当
时,数列
是等比数列.
当
由(3)知,
无极值,不合题意.
当
时,可得
…,数列
不是等比数列.
当
由(3)知,
无极值,不合题意.
当
…,数列
不是等比数列.
综上所述,存在a,数列
是等比数列,且a的取值范围为
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