数值实验报告.docx

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数值实验报告

北京XX大学计算机与通信工程学院

实验报告

实验名称：

《数值计算方法》课程实验

学生姓名：

_____________XX_______________

专业：

________计算机科学与技术________

班级：

_____________XXXX____________

学号：

_____________XXXXXX___________

指导教师：

_____________XXXXX_____________

实验成绩：

________________________________

实验地点：

__________XXXXXXX____________

实验时间：

____2017____年___6___月___6___日

一、实验目的与实验要求

1、实验目的

实验1：

探究非线性方程的解法，比较不同解法的优劣性，针对具体问题对解法进行实践，并迭代达到指定的精确度。

实验2：

探究一般化曲线拟合的方法，采用最小二乘法对含有多项式，指数和对数多种形式的函数进行拟合，确定拟合结果中的系数。

实验3：

探究多种积分的数值解法，根据给定的精度，选择恰当的数值积分方法，确定迭代步数与步长，分析积分数值解法的优劣性。

2、实验要求

实验1：

采用两种算法求解非线性方程，比较两种算法的性能。

实验2：

用最小二乘法拟合由不超过三阶多项式和指数、对数函数线性组合成的符合函数，确定各个项的系数

实验3：

自选一种数值积分方法求解积分值，根据要求的精度给出最终的迭代步数和步长，分析优缺点。

二、实验设备（环境）及要求

实验1，3采用C语言编写，编译环境为DEVC++。

实验2涉及矩阵操作，故采用MATLAB编写。

三、实验内容与步骤

1、实验1

（1）实验内容

·采用至少两种不同的算法求解ex+3*x3-x2-2=0在[0,1]范围内的一个根，要求两次迭代误差小于10-4。

·根据实验结果，比较分析不同算法的性能。

（2）主要步骤

本实验由C语言实现。

在两种不同的算法上选用简单迭代法和牛顿迭代法。

简单迭代法是将方程化成一个与原方程同解的方程，方程一端化成自变量x，然后判断迭代函数是否收敛，如果收敛的话，不停地迭代将使x趋于一个定值，这个定值就是原方程的近似解。

而牛顿迭代法是直接给出形如

的迭代函数进行迭代，如果满足两个端点异号，f’（x）在[a,b]上不等于零，f’’（x）在[a,b]上不变号且初值

满足条件f（

）f’’（

）≥0，则由牛顿迭代法产生的序列单调收敛于[a,b]内的唯一根。

两种算法在理论上，牛顿迭代法的收敛速度要大于简单迭代法，以下进行迭代解非线性方程组并验证收敛速度的差异。

1.简单迭代法：

将

移项，整理，得到迭代函数如下：

，选取收敛的初值点

=0。

在实现上利用for循环进行迭代，直到相邻两次的误差小于

。

C语言代码如下：

简单迭代函数：

floatSimpleIteration（floatx）//简单迭代

{

returnpow（（x*x+2-exp（x））/3.0,1.0/3）;//pow（doublex,doubley）;函数为求x的y次方

}

主函数中简单迭代法部分：

a[0]=SimpleIteration（0）;//简单迭代法

printf（"简单迭代法：

\n"）;

printf（"迭代值\t\t相邻两次误差\n"）;

printf（"%f\n",a[0]）;

for（i=1;;i++）

{

a[i]=SimpleIteration（a[i-1]）;

d1=fabs（a[i]-a[i-1]）;

printf（"%f\t%f\n",a[i],d1）;

if（d1<1e-4）break;

}

2.牛顿迭代法：

根据牛顿迭代法迭代函数的一般形式可以得到具体的迭代函数如下：

，选取与简单迭代法相同的初值

=0。

C语言代码如下：

牛顿迭代函数：

floatNewtonIteration（floatx）//牛顿迭代

{

returnx-（exp（x）+3*x*x*x-x*x-2）/（exp（x）+9*x*x-2*x）;

}

主函数中牛顿迭代法的部分：

b[0]=NewtonIteration（0）;//牛顿迭代法

printf（"\n牛顿迭代法：

\n"）;

printf（"迭代值\t\t相邻两次误差\n"）;

printf（"%f\n",b[0]）;

for（j=1;;j++）

{

b[j]=NewtonIteration（b[j-1]）;

d2=fabs（b[j]-b[j-1]）;

printf（"%f\t%f\n",b[j],d2）;

if（d2<1e-4）break;

}

两个迭代法完整C语言代码如下：

#include

#include

#include

#defineMAXSIZE30

floatSimpleIteration（floatx）//简单迭代

{

returnpow（（x*x+2-exp（x））/3.0,1.0/3）;//pow（doublex,doubley）;函数为求x的y次方

}

floatNewtonIteration（floatx）//牛顿迭代

{

returnx-（exp（x）+3*x*x*x-x*x-2）/（exp（x）+9*x*x-2*x）;

}

voidmain（）

{

floata[MAXSIZE];

floatb[MAXSIZE];

floatd1=1;

floatd2=1;

inti,j;

a[0]=SimpleIteration（0）;//简单迭代法

printf（"简单迭代法：

\n"）;

printf（"迭代值\t\t相邻两次误差\n"）;

printf（"%f\n",a[0]）;

for（i=1;;i++）

{

a[i]=SimpleIteration（a[i-1]）;

d1=fabs（a[i]-a[i-1]）;

printf（"%f\t%f\n",a[i],d1）;

if（d1<1e-4）break;

}

b[0]=NewtonIteration（0）;//牛顿迭代法

printf（"\n牛顿迭代法：

\n"）;

printf（"迭代值\t\t相邻两次误差\n"）;

printf（"%f\n",b[0]）;

for（j=1;;j++）

{

b[j]=NewtonIteration（b[j-1]）;

d2=fabs（b[j]-b[j-1]）;

printf（"%f\t%f\n",b[j],d2）;

if（d2<1e-4）break;

}

}

执行程序，结果如下：

可见，牛顿迭代法的收敛速度大于简单迭代法，具体详见实验结果与分析。

2、实验2

（1）实验内容

·已知如下数据：

x:

1.00001.40001.80002.20002.60003.00003.40003.80004.20004.60005.0000

y:

2.71836.644815.366730.186752.654284.5925128.1972186.2022262.1349360.7020488.3660

·数据可能来自于不超过3阶多项式和指数、对数函数线性组合形成的复合函数（[1,x,x2,x3,ex,ln（x）]），请采用最小二乘算法确定复合函数中各个函数项的系数。

（2）主要步骤

最小二乘法是在确定函数形式的情况下，找出一条最靠近所有数据点的直线，其判定规则是

达到最小。

在求解的过程中，用最小二乘法拟合复合函数的过程实际上就是求法方程组的过程。

分别写出各项的内积

和

然后求解方程组

=

根据题目中给出的数据点和复合函数形式，可以定义出如下的6种基函数，具体的MATLAB代码如下：

functiony=f（x,n）

ifn==1y=1;

end

ifn==2y=x;

end

ifn==3y=x.^2;

end

ifn==4y=x.^3;

end

ifn==5y=exp（x）;

end

ifn==6y=log（x）;

end

end

然后在M命令文件中调用上述函数，并输入相应的n。

整个法方程组的系数矩阵可以用一个三重for循环实现，等号右侧的矩阵用另一个二重循环实现，实现系数矩阵的MATLAB代码如下：

fork=1:

6%ؖ控制行

fori=1:

6%ؖ控制列

forj=1:

11%ؖ控制所有元素求和

D（k,i）=f（X（j）,k）.*f（X（j）,i）+D（k,i）;

end

end

end

等式右边的矩阵的MATLAB代码如下：

forl=1:

6%ؖ控制行

form=1:

11%ؖ控制所有元素求和

F（l）=f（X（m）,l）.*Y（m）+F（l）;

end

end

完整的MATLAB代码如下：

functiona=LS（）

clc

clear

formatshort

X=[11.41.82.22.633.43.84.24.65];%11个元素

Y=[2.71836.644815.366730.186752.654284.5925128.1972186.2022262.1349360.7020488.3660];

D=zeros（6）;

F=zeros（1,6）';

a=[];

fork=1:

6

fori=1:

6

forj=1:

11

D（k,i）=f（X（j）,k）.*f（X（j）,i）+D（k,i）;

end

end

end

forl=1:

6

form=1:

11

F（l）=f（X（m）,l）.*Y（m）+F（l）;

end

end

a=D\F%ؖ求解

end

得出的结果如下：

a=

-2.0006

0.0006

-1.0000

3.0000

1.0000

-5.0008

所以，拟合出的复合函数应为

3、实验3

（1）实验内容

·选择一种数值积分方法求解下列函数在区间[0,2]内的积分值，要求精度小于10-5：

f（x）=（3x-x2+x3+ex）0.5

·给出迭代步数和最终的步长，并分析你所采用方法的优缺点。

（2）主要步骤

在积分难求出解析解时通常用数值解的方法求积分结果的近似值，在本题的实现方法上选用复合Simpson公式进行数值积分的计算，并从步数n=2，步长h=

开始逐步细化步长，增大步数，直到精度满足题目中的要求

。

首先在定义一个题目中给出的待积分的函数，C语言代码如下：

doublefunction（doublex）

{

doubles;

s=sqrt（3*x-x*x+x*x*x+exp（x））;

returns;

}

然后编写复合Simpson公式，将其定义在一个独立的函数中，C代码如下：

doubleReiterationOfSimpson（doublea,doubleb,doublen,doublef（doublex））

{

doubleh,fa,fb,xk,xj;

h=（b-a）/n;

fa=f（a）;

fb=f（b）;

doubles1=0.0;

doubles2=0.0;

intk,j;

for（k=1;k

{

xk=a+k*h;

s1=s1+f（xk）;

}

for（j=0;j

{

xj=a+（j+0.5）*h;

s2=s2+f（xj）;

}

doublesn;

sn=h/6*（fa+fb+2*s1+4*s2）;

returnsn;

}

最后在主函数中定义初始步数n为2，初始步长h为0.5，并通过for循环逐步增大n，直到相邻两次误差小于

，具体的C代码如下：

voidmain（）

{

doublen=2;

doubleh=1/n;

inti;

doubleS[MAXN];

printf（"====================复合Simpson公式法=====================\n\n"）;

printf（"迭代步数\t步长\t\t积分数值\t误差\n"）;

S[0]=ReiterationOfSimpson（0,2,n,function）;

printf（"%d\t\t%f\t%f\n",（int）n,h,S[0]）;

n++;

h=1/n;

S[1]=ReiterationOfSimpson（0,2,n,function）;

printf（"%d\t\t%f\t%f\t%f\n",（int）n,h,S[1],S[1]-S[0]）;

for（i=2;S[i-1]-S[i-2]>=1e-5;i++）

{

n=i+2;

h=1/n;

S[i]=ReiterationOfSimpson（0,2,n,function）;

printf（"%d\t\t%f\t%f\t%f\n",（int）n,h,S[i],S[i]-S[i-1]）;

}

}

程序执行的结果如下：

可见，在迭代步数n为10时，即步长为0.1时，精度达到要求，且此时的积分数值约为4.941104。

优劣性分析见实验结果与分析。

四：

实验结果与分析

实验1：

通过采用简单迭代法和牛顿迭代法处理同一问题，观察达到指定精度时所需的不同迭代次数，简单迭代法经过7步之后误差小于

，牛顿迭代法经过6步之后误差小于

，所以在收敛速度上来讲，牛顿迭代法的性能优于简单迭代法。

实验2：

通过采用最小二乘法拟合一个由不超过3阶多项式和指数、对数函数线性组合形成的复合函数，通过解法方程组求解，在求解过程中熟悉了最小二乘法的求解方法和基本概念，包括最小二乘法和插值的区别所在。

在计算机中可以通过循环较容易地求得各个基函数的内积，从而构建求解法方程组。

实验3：

通过用数值积分方法求解一个函数在一个积分区间的积分值，并根据具体的精度要求给出迭代步数和最终步长。

在方法上我选用了复合Simpson公式法，复合Simpson公式在Simpson公式的基础上提高了求积的精度，将[a,b]等分成n个子区间，在每个子区间上使用低阶求积公式计算，然后把所有子区间上的计算结果求和。

复合Simpson公式的优点在于通过增加子区间的个数可以缩小误差提高精度，这一点比单纯的Simpson公式，梯形公式和Cotes公式要好。

但是缺点在于复合Simpson公式是4阶收敛的，在收敛速度上没有复合Cotes公式收敛的快，所以需要n=10时才能达到精度要求。

五：

结论（讨论）

1、实验结论

在本次数值计算实验课中一共完成了三个实验，分别对应理论课程中三章的内容，分别复习并实践了非线性方程的迭代解法，插值与拟合，积分的数值解法等内容。

这三个实验涉及到了数值计算方法的主要内容，熟悉了数值计算方法的理论知识，并加以应用，在有一定创新度并结合各种具体编程环境的基础上，在实践中体会到了数值计算方法在实际问题中的作用。

在具体实现上，分别用C语言实现了1,3两个实验，用MATLAB实现了第2个实验，锻炼了把数值计算方法结合到不同应用场景的能力，为今后在各领域的使用打下基础。

在具体的实验上，在第一个实验中，应用了简单迭代法和牛顿迭代法解常见的非线性方程，熟悉了各种非线性方程的解法，包括二分法，简单迭代法，牛顿迭代法弦截法和牛顿下山法等。

其中应用简单迭代法和牛顿迭代法求解了题目中的问题，理解了两者的区别，牛顿迭代法直接通过迭代函数的一般形式给出具体的迭代函数，且收敛速度比简单迭代法要快。

在第二个实验中，应用了最小二乘法拟合一个由不超过3阶多项式和指数、对数函数线性组合形成的复合函数，熟悉了最小二乘法的概念及求解方法，通过构造法方程组来求解最小二乘法拟合的问题，并在一定程度上了解了最小二乘法拟合后平方误差的计算方法。

在第三个实验中，应用了数值积分方法中的复合Simpson公式法解一个函数在固定区间中的积分值。

由于复杂的函数在一定情况下难以找到解析解，所以要通过数值积分的方法求数值解。

在求数值解的方法上主要有梯形公式，Simpson公式，Cotes公式，复合梯形公式，复合Simpson公式，复合Cotes公式等，其中复合的公式通过在区间内等分子区间提高数值积分的精度，子区间个数越多，精度越高，直到达到目标的精度为止。

在实验中主要应用了复合Simpson公式求解积分，熟悉并理解了相关的理论知识并加以实践，在一定程度上掌握了相关的方法。

2、讨论

在本次数值计算实验课程中，完成了课程中要求的实验，进一步掌握了实验中涉及的知识点，包括非线性方程的解法，最小二乘法拟合，数值积分法等等，但是对于实验题目中未涉及到的内容仍有些掌握不牢，比如说线性方程组的解法，插值，常微分方程的数值解法等等，所以我认为实验课中涉及的知识点可以覆盖到各章最好，这将在熟悉知识点上提供很大的帮助。

六、教师评审

教师评语

实验成绩

签名：

日期：