相似图形提高讲义.docx
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相似图形提高讲义
图形相似
线段的比、黄金分割及形状相同的图形
知识要点
◆要点1线段的比
(1)线段的比:
在同一单位下,两条线的长度的比叫做这两条线段的比。
(2)成比例线段:
四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即
,那么这四条线段成比例线段,当b=c时,有
,称b为a与d的比例中项。
(3)比例尺:
比例尺=图上距离:
实际距离
(4)两条线段被一组平行线所截的线段成比例。
★说明:
判断四条线段是否成比例,首先要把四条线段的单位化成同一单位,再计算它们的比值来判断,要注意它们的顺序。
◆要点2比例的性质
比例的基本性质:
◆要点3黄金分割
概念:
若点C把线段AB分成两条线段AC、BC(AC>BC),若
,我们称线段AB被点C黄金分割,C点为该条线段的黄金分割点,较短线段与较长线段(或较长线段与原线段)的比叫做黄金比
。
★说明:
(1)一条线段有两个黄金分割点。
黄金分割比是两个线段的比,没有单位;
(2)一条线段黄金分割后,原线段、较长线段、较短线段有其固定关系:
若AB=1,
XS—01
相似多边形\相似三角形及三角形相似的条件
知识要点
相似多边形
◆要点1各角对应相等,各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。
相似多边形对应边的比叫做多边形的相似比。
★说明:
(1)相似多边形的定义既可以看作是相似多边形的性质,又可以看作相似多边形的判定;
(2)判定相似的两个条件,一个是各角对应相等,另一个是各边对应成比例;二者缺一不可。
相似三角形
◆要点2三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
★说明:
(1)相似三角形的各角对应相等,各边对应成比例;
(2)两个三角形的相似比为1时,这两个三角形就是全等三角形,故全等三角形是相似三角形的特殊情况;(3)△ABC与△A/B/C/相似和△ABC∽△A/B/C/的含义有所不同,前者没有指明这两个相似三角形的对应关系,而后者表明了对应关系。
◆要点3三角形相似的判别方法
方法1:
平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
方法2:
两角对应相等的两个三角形相似;
方法3:
三边对应成比例的两个三角形相似;
方法4:
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
●引申直角三角形除了具有以上3种判别方法,还有以下方法:
①一条直角边和一条斜边对应成比例的两个直角三角形相似;②斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
★说明:
(1)相似三角形判定的三种判别方法中,“角角”“边边边”用的最广泛。
在用“边角边”时要注意,必须是夹“角”的两边对应成比例;
(2)要找准对应边,一般对应角所对的边是对应边,最长的边或最短的边是对应边,公共边一般不是对应边。
在找对应角时,公共角、对顶角一般是对应角。
相似形的应用、相似多边形的性质、图形的放大与缩小
知识要点
◆要点1测量旗杆高度的三种方法:
(1)方法1:
利用阳光下的影子(如图1)
(还可利用结论:
同一时刻:
);
(2)方法2:
利用标杆;(如图2,本方法主要注意人与标杆及被测旗杆应都与地面垂直,故三者平行,由此构造相似三角形)
(3)方法3:
利用镜子反射(如图3,本方法用镜面反射,由反射角等于入射角,人与被测旗杆与地面垂直)
★说明:
在测量旗杆高度的三种方法中,都是利用三角形相似的知识解决,根据实际情况,构造相似三角形,通过测量三角形的边,利用对应边成比例计算出要求的目标。
◆要点2相似三角形与相似多边形的性质
相似三角形的性质:
(1)相似三角形对应高的比等于相似比;
(2)相似三角形对应角平分线的比等于相似比;
(3)相似三角形对应中线的比等于相似比;
(4)相似三角形周长的比等于相似比;
(5)相似三角形面积的比等于相似比的平方。
★说明:
这里的高线、角平分线、中线必须是对应的。
相似多边形的性质:
(1)相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方;
(2)相似多边形中,对应的三角形相似,相似比等于原多边形的相似比。
◆要点3位似图形定义:
如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形。
每组对应点所在的直线都经过的点叫位似中心。
在已确定的两位似图形中,只有一个位似中心,两位似图形可在位似中心的同侧,也可在位似中心的两侧。
两个位似图形的相似比又称为位似比。
如图
(1)、
(2)、(3)、(4)、(5)。
位似图形的性质:
(1)对应边的比等于位似比;
(2)周长的比等于位似比,面积的比等于位似比的平方;(3)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
★说明:
(1)位似图形一定是相似图形,而相似图形不一定是位似图形;
(2)判断两个图形是位似图形,先判断两个图形相似,再看它们的对应点的连线或其延长线是否经过同一点;(3)将一个图形放大或缩小时,位似中心可以在图形内或边上,也可以在图形的顶点上。
例题精讲:
例1若
,则
=________。
变形1:
已知
,求
及
的值。
例2已知x:
y:
z=1:
3:
5,求
的值。
变形1:
若4x=7y+5z,2x+y=z,那么x:
y:
z=()
A.2:
1:
(-3)B.2:
1:
3C.2:
(-1):
3D.3:
2:
1
变形2:
若
,且x+y+z=18,求x,y,z。
例3若点C是线段AB的分割点(AC>BC),AB=16,则AC=______,BC=_______;如果D是线段AB的另一个黄金分割点,则CD=_______。
变形:
如果线段上一点P把线段分割为两条线段PA,PB.当PA2=PB·AB时,则称点P是线段AB的黄金分割点,现已知线段AB=10,点P是线段AB的黄金分割点,如图所示,那么线段PB的长约为()
A.6.18B.0.382C.0.618D.3.82
例4、如图,D,E分别为△ABC的边AB,AC上一点,且△ADE∽△ABC,F为AD上一点,且△AEF∽△ACD,
(1)AD2=AF·AB吗?
请说明理由。
(2)若AF=4,AB=9,求
AD。
变形:
如图所示,已知梯形ABCD,AD∥BC,若EF∥BC,且所分成的梯形AEFD和梯形EBCF相似,AD=4,BC=9,求EF的长。
例5、如图XS—11所示,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,试证AE·AB=AF·AC。
变形1:
如图XS—11-1,△ABC中,
,D为AB上一点,若△BDE∽△BAC,则
=______。
变形2:
如图XS—11-2,△AOB∽△COD,∠A=∠C,下列各式正确的有()个
①
;②
;③
;④
。
A.1B.2C.3D.4
例6、如图ZJ—26,兴趣小组的同学要测量树的高度,在阳光下,一名同学测得一根长为1m的竹竿的影长为0.4m,同时另一名同学测量树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分落在教学楼的第一级台阶上,测得此影子长为0.2m,一级台阶高为0.3m,如图所示,若此时落在地面上的影长为4.4m,则树高为()
A.11.5mB.11.75mC.11.8mD.12.25m
一、选择题
1.梯形两底分别为m、n,过梯形的对角线的交点,引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为………………………………………………………………………( )
(A)
(B)
(C)
(D)
2.如图,在正三角形ABC中,D,E分别在AC,AB上,且
=
,AE=BE,则有………………………………………………………………………………………( )
(A)△AED∽△BED (B)△AED∽△CBD(C)△AED∽△ABD (D)△BAD∽△BCD
3.P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点,过点P作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,满足这样条件的直线共有……………………………………( )
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
4.如图,∠ABD=∠ACD,图中相似三角形的对数是……………………………( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
5.如图,ABCD是正方形,E是CD的中点,P是BC边上的一点,下列条件中,不能推出△ABP与△ECP相似的是……………………………………………………( )
(A)∠APB=∠EPC (B)∠APE=90°(C)P是BC的中点 (D)BP︰BC=2︰3
6.如图,△ABC中,AD⊥BC于D,且有下列条件:
(1)∠B+∠DAC=90°;
(2)∠B=∠DAC;
(3)
=
; (4)AB2=BD·BC
其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有………………………………( )
(A)3个 (B)2个 (C)1个 (D)0个
7.如图,将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°,得△ABF,连结EF交AB于H,则下列结论中错误的是………………………………………………( )
(A)AE⊥AF (B)EF︰AF=
︰1
(C)AF2=FH·FE (D)FB︰FC=HB︰EC
8.如图,在矩形ABCD中,点E是AD上任意一点,则有…………………( )
(A)△ABE的周长+△CDE的周长=△BCE的周长
(B)△ABE的面积+△CDE的面积=△BCE的面积
(C)△ABE∽△DEC
(D)△ABE∽△EBC
9.如图,直线a∥b,AF︰FB=3︰5,BC︰CD=3︰1,则AE︰EC为( ).
(A)5︰12 (B)9︰5 (C)12︰5 (D)3︰2
10.如图,在△ABC中,M是AC边中点,E是AB上一点,且AE=
AB,连结EM并延长,交BC的延长线于D,此时BC︰CD为……………………………( )
(A)2︰1 (B)3︰2 (C)3︰1 (D)5︰2
11.如图,矩形纸片ABCD的长AD=9cm,宽AB=3cm,将其折叠,使点D与点B重合,那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为………………………………( )
(A)4cm、
cm (B)5cm、
cm
(C)4cm、2
cm (D)5cm、2
cm
二、填空题
12.已知线段a=6cm,b=2cm,则a、b、a+b的第四比例项是_____cm,a+b与a-b的比例中项是_____cm.
13.若
=
=
=-m2,则m=______.
14.如图,在△ABC中,AB=AC=27,D在AC上,且BD=BC=18,DE∥BC交AB于E,则DE=_______.
15.如图,□ABCD中,E是AB中点,F在AD上,且AF=
FD,EF交AC于G,则AG︰AC=______.
16.如图,已知△ABC,P是AB上一点,连结CP,要使△ACP∽△ABC,只需添加条件______(只要写出一种合适的条件).
17.如图,AD是△ABC的角平分线,DE∥AC,EF∥BC,AB=15,AF=4,则DE的长等于________.
18.如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,AE=EC,AD=18,BE=15,则
△ABC的面积是______.
三、证明题
1、如图,在△ABC中,AB=AC,延长BC至D,使得CD=BC,CE⊥BD交AD于E,连结BE交AC于F,求证AF=FC.
2、如图,∠ABC=∠CDB=90°,AC=a,BC=b.
(1)当BD与a、b之间满足怎样的关系时,△ABC∽△CDB?
(2)过A作BD的垂线,与DB的延长线交于点E,若△ABC∽△CDB.
求证四边形AEDC为矩形(自己完成图形).
3、如图,在矩形ABCD中,E为AD的中点,EF⊥EC交AB于F,连结FC(AB>AE).
(1)△AEF与△EFC是否相似?
若相似,证明你的结论;若不相似,请说明理由;
(2)设
=k,是否存在这样的k值,使得△AEF∽△BFC,若存在,证明你的结论并求出k的值;若不存在,说明理由.
8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中,而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。
9、障碍与失败,是通往成功最稳靠的踏脚石,肯研究、利用它们,便能从失败中培养出成功。
10、在真实的生命里,每桩伟业都由信心开始,并由信心跨出第一步。
。
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