求轨迹方程题型全归纳.docx
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求轨迹方程题型全归纳
求轨迹方程的六种常用方法
1.直接法
根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式,点到直线的距离公式,直线的斜率公式等,直接列出动点满足的等量关系式,从而求得轨迹方程。
例1.已知线段
,直线
相交于
,且它们的斜率之积是
,求点
的轨迹方程。
解:
以
所在直线为
轴,
垂直平分线为
轴建立坐标系,则
,设点
的坐标为
,则直线
的斜率
,直线
的斜率
由已知有
化简,整理得点
的轨迹方程为
练习:
1.平面内动点
到点
的距离与到直线
的距离之比为2,则点
的轨迹方程是。
2.设动直线
垂直于
轴,且与椭圆
交于
、
两点,
是
上满足
的点,求点
的轨迹方程。
3.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )
A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线
2.定义法
通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形,再求其轨迹方程,这种方法叫做定义法,运用定义法,求其轨迹,一要熟练掌握常用轨迹的定义,如线段的垂直平分线,圆、椭圆、双曲线、抛物线等,二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。
例2.若
为
的两顶点,
和
两边上的中线长之和是
,则
的重心轨迹方程是_______________。
解:
设
的重心为
,则由
和
两边上的中线长之和是
可得
,而点
为定点,所以点
的轨迹为以
为焦点的椭圆。
所以由
可得
故
的重心轨迹方程是
练习:
4.方程
表示的曲线是( )
A.椭圆B.双曲线C.线段D.抛物线
3.点差法
圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法,其基本方法是把弦的两端点
的坐标代入圆锥曲线方程,然而相减,利用平方差公式可得
,
,
,
等关系式,由于弦
的中点
的坐标满足
,
且直线
的斜率为
,由此可求得弦
中点的轨迹方程。
例3.椭圆
中,过
的弦恰被
点平分,则该弦所在直线方程为_________________。
解:
设过点
的直线交椭圆于
、
,则有
①
②
①
②可得
而
为线段
的中点,故有
所以
,即
所以所求直线方程为
化简可得
练习:
5.已知以
为圆心的圆与椭圆
交于
、
两点,求弦
的中点
的轨迹方程。
6.已知双曲线
,过点
能否作一条直线
与双曲线交于
两点,使
为线段
的中点?
4.转移法
转移法求曲线方程时一般有两个动点,一个是主动的,另一个是次动的。
当题目中的条件同时具有以下特征时,一般可以用转移法求其轨迹方程:
①某个动点
在已知方程的曲线上移动;
②另一个动点
随
的变化而变化;
③在变化过程中
和
满足一定的规律。
例4.已知
是以
为焦点的双曲线
上的动点,求
的重心
的轨迹方程。
解:
设重心
,点
,因为
则有
,故
代入
得所求轨迹方程
例5.抛物线
的焦点为
过点
作直线
交抛物线
、
两点,再以
、
为邻边作平行四边形
,试求动点
的轨迹方程。
解法一:
(转移法)设
,∵
,∴平行四边形
的中心为
,
将
,代入抛物线方程,得
,
设
,则
①
∴
,
∵
为
的中点.∴
,消去
得
,由①得,
,故动点
的轨迹方程为
。
解法二:
(点差法)设
,∵
,∴平行四边形
的中心为
,
设
,则有
①
②
由①
②得
③
而
为
的中点且直线
过点
,所以
代入③可得
,化简可得
④
由点
在抛物线口内,可得
⑤
将④式代入⑤可得
故动点
的轨迹方程为
。
练习:
7.已知
,在平面上动点
满足
,点
是点
关于直线
的对称点,求动点
的轨迹方程。
5.参数法
求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一,求符合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。
在确定了轨迹方程之后,有时题目会就方程中的参数进行讨论;参数取值的变化使方程表示不同的曲线;参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同;参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。
例6.过点
作直线
交双曲线
于
、
两点,已知
。
(1)求点
的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线;
(2)是否存在这样的直线
,使
矩形?
若存在,求出
的方程;若不存在,说明理由。
解:
当直线
的斜率存在时,设
的方程为
,代入方程
,得
因为直线
与双曲线有两个交点,所以
,设
,则
①
设
,由
得
∴
所以
,代入
可得
,化简得
即
②
当直线
的斜率不存在时,易求得
满足方程②,故所求轨迹方程为
,其轨迹为双曲线。
(也可考虑用点差法求解曲线方程)
(2)平行四边
为矩形的充要条件是
即
③
当
不存在时,
、
坐标分别为
、
,不满足③式
当
存在时,
化简得
,
此方程无实数解,故不存在直线
使
为矩形。
练习:
8.设椭圆方程为
过点
的直线
交椭圆于点
、
是坐标原点,点
满足
点
的坐标为
当
绕点
旋转时,求:
(1)动点
的轨迹方程;
(2)
的最小值与最大值。
9.设点
和
为抛物线
上原点
以外的两个动点,且
,过
作
于
,求点
的轨迹方程。
6.交轨法
若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程,也可以解方程组先求出交点的参数方程,再化为普通方程。
例7.已知
是椭圆
中垂直于长轴的动弦,
、
是椭圆长轴的两个端点,求直线
和
的交点
的轨迹方程。
解1:
(利用点的坐标作参数)令
,则
而
.设
与
的交点为
因为
共线,所以
因为
共线,所以
两式相乘得
①,而
即
代入①
得
, 即交点
的轨迹方程为
解2:
(利用角作参数)
设
,则
所以
两式相乘消去
即可得所求的
点的轨迹方程为
。
练习:
10.两条直线
和
的交点的轨迹方程是_________。
总结归纳
1.要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件,也就是曲线上点的坐标的取值范围.由曲线和方程的概念可知,在求曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”,即轨迹若是曲线的一部分,应对方程注明
的取值范围,或同时注明
的取值范围。
2.“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系,求“轨迹”时首先要求出“轨迹方程”,然后再说明方程的轨迹图形,最后“补漏”和“去掉增多”的点,若轨迹有不同的情况,应分别讨论,以保证它的完整性。
练习参考答案
1.
2.解:
设
点的坐标为
,则由方程
,得
由于直线
与椭圆交于两点
、
,故
即
、
两点的坐标分别为
∴
由题知
即
∴
即
所以点
的轨迹方程为
3.D【解析】在长方体
中建立如图所示的空间直角坐标系,易知直线
与
是异面垂直的两条直线,过直线
与
平行的平面是面
,设在平面
内动点
满足到直线
与
的距离相等,作
于
,
于
,
于
,连结
,易知
平面
,则有
,
(其中
是异面直线
与
间的距离),即有
,因此动点
的轨迹是双曲线,选D.
4.A
5.解设
,
.P
.
M
A
则
,由
,
O
B
两式相减并同除以
得
而
又因为
所以
化简得点
的轨迹方程
6.先用点差法求出
,但此时直线与双曲线并无交点,所以这样的直线不存在。
中点弦问题,注意双曲线与椭圆的不同之处,椭圆不须对判别式进行检验,而双曲线必须进行检验。
7.解:
设
,则
由
即
所以点
的轨迹是以
为圆心,以3为半径的圆。
∵点
是点
关于直线
的对称点。
∴动点
的轨迹是一个以
为圆心,半径为3的圆,其中
是点
关于直线
的对称点,即直线
过
的中点,且与
垂直,于是有
即
故动点
的轨迹方程为
。
8.解:
(1)解法一:
直线
过点
,设其斜率为
则
的方程为
记
、
由题设可得点
、
的坐标
、
是方程组
的解
将①代入②并化简得,
所以
于是
设点
的坐标为
则
消去参数
得
③
当
不存在时,
、
中点为坐标原点
也满足方程③,所以点
的轨迹方程为
解法二:
设点
的坐标为
因
、
在椭圆上,所以
④
⑤
④—⑤得
所以
当
时,有
⑥
并且
⑦将⑦代入⑥并整理得
⑧
当
时,点
、
的坐标为
,这时点
的坐标为
也满足⑧,所以点
的轨迹方程为
(2)解:
由点
的轨迹方程知
,即
所以
故当
取得最小值,最小值为
时,
取得最大值,最大值为
9.解法1:
(常规设参)设
,
,则
(※)
由
共线得
则
把(※)代入上式得
化简得
的轨迹方程为
)
解法2:
(变换方向)设
的方程为
,则
的方程为
由
得
, 由
得
所以直线
的方程为
①
因为
,所以直线
的方程为
②
①×②即得
的轨迹方程:
解法3:
(转换观点)视点
为定点,令
,由
可得直线
的方程为
与抛物线
联立消去
得
设
,则
又因为
,所以
故
即
所以
点的轨迹方程为
10.
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- 轨迹 方程 题型 归纳