惠州市届高三第一次调研考试文科数学试题及标准答案与评分细则.docx
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惠州市届高三第一次调研考试文科数学试题及标准答案与评分细则
惠州市2020届高三第一次调研考试
文科数学
全卷满分150分,时间120分钟.
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2.作答选择题时,选出每个小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,写在本试卷上无效。
3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答,答案必须写在答题卡各题指定的位置上,写在本试卷上无效。
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.已知集合
,
,则
()
A.
B.
C.
D.
2.设
(
为虚数单位),其中
,
是实数,
则
等于()
A.5B.
C.
D.2
3.平面向量
与
的夹角为
,
,
,则
()
A.
B.
C.0D.2
4.不透明的箱子中有形状、大小都相同的5个球,其中2个白球,3个黄球。
现从该箱子中随机摸出2个球,则这2个球颜色不同的概率为()
A.
B.
C.
D.
5.若抛物线
上的点
到焦点的距离为
,则
点到
轴的距离是()
A.
B.
C.
D.
6.已知函数
的最小正周期为
,将其图象向右平移
个单位后得函数
的图象,则
的值为()
A.
B.
C.
D.
7.等比数列
的前
项和为
,公比为
,若
,
,则
()
A.
B.
C.
D.
8.函数
的图象在
和
处的切线相互垂直,则
()
A.
B.0C.1D.2
9.在长方体
中,
,
,
,
,
分别为棱
,
的中点,则异面直线
与
所成角的余弦值为()
A.
B.
C.
D.
10.双曲线
的离心率为
,则该双曲线的渐近线与圆
的公共点的个数为()
A.1B.2C.4D.0
11.关于圆周率
,数学发展史上出现过许多有创意的求法,如著名的普丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计
的值:
先请120名同学每人随机写下一个
都小于1的正实数对
,再统计其中
能与1构成钝角三角形三边的数对
的个数
,最后根据统计个数
估计
的值.如果统计结果是
,那么可以估计
的值为()
A.
B.
C.
D.
12.已知函数
,设
,
,
,
则()
A.
B.
C.
D.
二.填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知
,则函数
的最小值为________.
14.设函数
,则
=_______.
15.等差数列
的前
项和为
,若
,
,则
的公差为.
16.已知球的直径
,
、
是该球面上的两点,
,
则三棱锥
的体积最大值是________.
三.解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(本小题满分12分)
在
中,角
,
,
所对的边分别为
,
,
,满足
.
(1)求角
;
(2)若
的外接圆半径为1,求
的面积
的最大值.
18.(本小题满分12分)
在四棱锥
中,
平面
,
是正三角形,
与
的交点为
,又
,
,点
是
中点.
(1)求证:
平面
;
(2)求点
到平面
的距离.
19.(本小题满分12分)
某品牌汽车4S店,对该品牌旗下的A型、B型、C型汽车进行维修保养,汽车4S店记录了100辆该品牌三种类型汽车的维修情况,整理得下表:
车型
A型
B型
C型
频数
20
40
40
假设该店采用分层抽样的方法从上述维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机取10辆进行问卷回访.
(1)求A型、B型、C型各车型汽车抽取的数目;
(2)维修结束后这100辆汽车的司机采用“100分制”打分的方式表示对4S店的满意度,按照大于等于80为优秀,小于80为合格,得到如下列联表:
优秀
合格
合计
男司机
10
38
48
女司机
25
27
52
合计
35
65
100
问能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为司机对4S店满意度与性别有关系?
请说明原因.
(参考公式:
)
附表:
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
20.(本小题满分12分)
已知函数
.
(1)求
的最大值;
(2)设实数
,求函数
在
上的最小值.
21.(本小题满分12分)
已知椭圆
的左顶点为
,右焦点为
,点
在椭圆
上.
(1)求椭圆
的方程;
(2)直线
与椭圆
交于
两点,直线
分别与
轴交于点
.当
变化时,在
轴上是否存在点
,使得
为直角。
若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分。
答题时请在答题卷中写清题号并将相应信息点涂黑。
22.(本小题满分10分)[选修4-4:
坐标系与参数方程]
在直角坐标系
中,曲线
的参数方程为
(
为参数).在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为
.
(1)写出
的普通方程和
的直角坐标方程;
(2)若
与
相交于
两点,求
的面积.
23.(本小题满分10分)[选修4-5:
不等式选讲]
已知
.
(1)当
时,求不等式
的解集;
(2)若
时,不等式
恒成立,求
的取值范围.
惠州市2020届高三第一次调研考试
文科数学参考答案与评分细则
一、选择题(每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
D
C
C
A
B
A
A
B
B
D
1.【解析】由
中不等式得
,解得
,即
,
,故选B.
2.【解析】由
,得
,
∴
,解得
,∴
.故选A.
3.【解析】
∴
故选D.
4.【解析】设2只白球分别为
3只红球分别为
,从5只球中随机摸两只球,其可能结果组成的基本事件有:
共
个。
两只球颜色不同包含的基本事件有
共
个,所以所求概率为:
故选C.
5.【解析】抛物线
的焦点
准线为
由
到焦点的距离为
可知
到准线的距离也为
故到
到的距离是9,故选C.
6.【解析】由题意得
,故
,∴
,
∴
,∵
,∴
故选A.
7.【解析】由题意得
.由
得
,
∴
,∴
.又
,∴
.故选B.
8.【解析】∵
∴
依题意得,
即
解得
故选A.
9.【解析1】连接
则
与
平行,所以
为异面直线
与
所成的角,
∵
,
,
∴
∴
所以
异面直线
与
所成角的余弦值为
.故选A.
【解析2】连接
,在
中,
,在
中,
,∵
,∴
;在长方体
中,
平面
,
分别为
的中点,∴
,∴
平面
,∵
平面
,∴
。
又∵
平面
,
平面
,
,∴
平面
,又∵
平面
,∴
∴异面直线
与
所成角的余弦值为
.故选A.
10.【解析】由
得
,∴
,渐近线方程为
.联立方程组
整理得
,有唯一解,∴这两条双曲线的渐近线均与圆相切,公共点个数为2个,故选B.
11.【解析】由题意,
名同学随机写下的实数对
落在由
的正方形内,其面积为
。
两个数能与
构成钝角三角形应满足
且
,此为一弓形区域,其面积为
。
由题意
,解得
,故选B。
12.【解析1】∵
,
∴
,
∴
,∴函数
是偶函数,∴当
时,易得
为增函数,
∴
,
,∵
,
,
,
∴
,∴
,故选D.
【解析2】∵
,
∴
,
∴
,∴函数
是偶函数。
当
时,易得
为增函数,
∴只需比较
的大小。
∵
,∴
;
∵
,∴
;∵
,∴
。
∴
,故选D。
二.填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.
14.
15.
16.2
13.【解析1】∵
,∴
,
.
当且仅当
,即
时等号成立。
【解析2】∵
,令
得
或
,当
时
函数单调递减,当
时
函数单调递增。
所以当
时函数取得最大值为:
。
14.【解析】
.
15.【解析】∵
,
,∴
。
-
得
,∴
,
。
16.【解析】因为球的直径
,且
,所以
,
,
(其中
为点
到底面
的距离),故当
最大时,
的体积最大,即当面
面
时,
最大且满足
,即
,此时
.
三.解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
17.(本小题满分12分)
解:
(1)由
化简得
,……………1分
由余弦定理
……………2分
得
,……………3分
又因为
,……………4分(注1:
无此步骤,本得分点不能给分)
所以
.……………………6分
(2)解法一:
由正弦定理得
,………8分
所以
,当且仅当
时取等号,……10分
故
(
时取等号).………………11分
即
面积
的最大值为
……12分(注2:
无此步骤,本得分点不能给分)
(注3:
最大值正确但无取等号的说明,扣1分)
解法二:
由正弦定理:
,∴
,………………7分
∵
∴
………8分
∴
………………………9分
…………………10分
∵
,∴当
,即
时,…………………………………11分
的面积
的最大值为
…………………………………………12分
(注:
本题解题过程的缺少“
”(4分点)和“
”(11分点)不重复扣分)
18.(本小题满分12分)
(1)证法1:
∵
是正三角形,所以
,又∵
,
∴
所在直线为线段
的垂直平分线,…………………………1分
所以
为
的中点,……………………………………………2分
又点
是
中点,所以
,…………………………………3分
又
,
,……5分(注:
本步骤,缺1个扣1分)
所以
平面
;…………………………………………6分
证法2:
在正三角形
中,
,又
,
,
所以
≌
,…………………………………1分
∴
为
的中点.………………………………
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- 惠州市 届高三 第一次 调研 考试 文科 数学试题 标准答案 评分 细则