常用的基本求导公式.docx
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常用的基本求导公式.docx
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常用的基本求导公式
1.基本求导公式
⑴(C为常数)⑵ ;一般地,。
特别地:
,,。
⑶;一般地,、
⑷;一般地,。
2。
求导法则⑴四则运算法则
设f(x),g(x)均在点x可导,则有:
(Ⅰ);
(Ⅱ),特别(C为常数);
(Ⅲ),特别。
3.微分 函数在点x处得微分:
常用得不定积分公式
(1)
;
(2);;;
(3)(k为常数)
5、定积分
⑴
⑵分部积分法
设u(x),v(x)在[a,b]上具有连续导数,则
6、线性代数
特殊矩阵得概念
(1)、零矩阵(2)、单位矩阵二阶
(3)、对角矩阵(4)、对称矩阵
(5)、上三角形矩阵下三角形矩阵
(6)、矩阵转置转置后
6、矩阵运算
7、MATLAB软件计算题
例6试写出用MATLAB软件求函数得二阶导数得命令语句。
解:
〉〉clear;
〉>symsxy;
〉〉y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x));
>>dy=diff(y,2)
例:
试写出用MATLAB软件求函数得一阶导数得命令语句。
>>clear;
〉〉symsxy;
〉>y=log(sqrt(x)+exp(x));
〉〉dy=diff(y)
例11试写出用MATLAB软件计算定积分得命令语句。
解:
>>clear;
>>symsxy;
>〉y=(1/x)*exp(x^3);
>〉int(y,1,2)
例 试写出用MATLAB软件计算定积分得命令语句。
解:
〉>clear;
>>symsx y;
>>y=(1/x)*exp(x^3);
>>int(y)
MATLAB软件得函数命令
表1 MATLAB软件中得函数命令
函数
MATLAB
运算符号
运算符
+
-
*
/
^
功能
加
减
乘
除
乘方
典型例题
例1 设某物资要从产地A1,A2,A3调往销地B1,B2,B3,B4,运输平衡表(单位:
吨)与运价表(单位:
百元/吨)如下表所示:
运输平衡表与运价表
销地
产地
B1
B2
B3
B4
供应量
B1
B2
B3
B4
A1
7
3
11
3
11
A2
4
1
9
2
8
A3
9
7
4
10
5
需求量
3
6
5
6
20
(1)用最小元素法编制得初始调运方案,
(2)检验上述初始调运方案就是否最优,若非最优,求最优调运方案,并计算最低运输总费用。
解:
用最小元素法编制得初始调运方案如下表所示:
运输平衡表与运价表
销地
产地
B1
B2
B3
B4
供应量
B1
B2
B3
B4
A1
4
3
7
3
11
3
11
A2
3
1
4
1
9
2
8
A3
6
3
9
7
4
10
5
需求量
3
6
5
6
20
找空格对应得闭回路,计算检验数:
=1,=1,=0,=—2
已出现负检验数,方案需要调整,调整量为1
调整后得第二个调运方案如下表:
运输平衡表与运价表
销地
产地
B1
B2
B3
B4
供应量
B1
B2
B3
B4
A1
5
2
7
3
11
3
11
A2
3
1
4
1
9
2
8
A3
6
3
9
7
4
10
5
需求量
3
6
5
6
20
求第二个调运方案得检验数:
=-1
已出现负检验数,方案需要再调整,调整量为2
调整后得第三个调运方案如下表:
运输平衡表与运价表
销地
产地
B1
B2
B3
B4
供应量
B1
B2
B3
B4
A1
2
5
7
3
11
3
11
A2
1
3
4
1
9
2
8
A3
6
3
9
7
4
10
5
需求量
3
6
5
6
20
求第三个调运方案得检验数:
=2,=1,=2,=1,=9,=12
所有检验数非负,故第三个调运方案最优,最低运输总费用为:
2×3+5×3+1×1+3×8+6×4+3×5=85(百元)
例2某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知,该企业生产得甲、乙、丙三种产品,均为市场紧俏产品,销售量一直持续上升经久不衰。
今已知上述三种产品得单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤与5公斤;三种产品得单位产品所需工时分别为6台时、3台时与6台时。
另外,三种产品得利润分别为400元/件、250元/件与300元/件、由于生产该三种产品得原材料与工时得供应有一定限制,原材料每天只能供应180公斤,工时每天只有150台时。
1.试建立在上述条件下,如何安排生产计划,使企业生产这三种产品能获得利润最大得线性规划模型。
2。
写出用MATLAB软件计算该线性规划问题得命令语句、
解:
1、设生产甲、乙、丙三种产品分别为x1件、x2件与x3件,显然x1,x2,x3≥0
线性规划模型为
2、解上述线性规划问题得语句为:
〉>clear;
〉>C=-[400 250300];
>>A=[4 45;63 6];
>〉B=[180;150];
>>LB=[0;0;0];
>>[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
例3已知矩阵,求:
解:
例4 设y=(1+x2)lnx,求:
解:
例5 设,求:
解:
例7 某厂生产某种产品得固定成本为2万元,每多生产1百台产品,总成本增加1万元,销售该产品q百台得收入为R (q)=4q-0、5q2(万元)。
当产量为多少时,利润最大?
最大利润为多少?
解:
产量为q百台得总成本函数为:
C(q)=q+2
利润函数L(q)=R (q)-C(q)=—0。
5q2+3q-2
令ML(q)=-q+3=0得唯一驻点q=3(百台)
故当产量q=3百台时,利润最大,最大利润为
L (3)=—0。
5×32+3×3—2=2、5(万元)
例8某物流企业生产某种商品,其年销售量为1000000件,每批生产需准备费1000元,而每件商品每年库存费为0。
05元,如果该商品年销售率就是均匀得,试求经济批量、
解:
库存总成本函数
令得定义域内得唯一驻点q=200000件。
即经济批量为200000件。
例9 计算定积分:
解:
例10计算定积分:
解:
教学补充说明
1。
对编程问题,要记住函数ex,ln x,在MATLAB软件中相应得命令函数exp(x),log(x),sqrt(x);
2对积分问题,主要掌握积分性质及下列三个积分公式:
(a≠-1)
7。
记住两个函数值:
e0=1,ln1=0。
模拟试题
一、单项选择题:
(每小题4分,共20分)
1、 若某物资得总供应量( C)总需求量,可增设一个虚销地,其需求量取总供应量与总需求量得差额,并取各产地到该销地得单位运价为0,则可将该不平衡运输问题化为平衡运输问题。
(A)等于
(B) 小于
(C)大于
(D)不超过
2.某物流公司有三种化学原料A1,A2,A3、每公斤原料A1含B1,B2,B3三种化学成分得含量分别为0.7公斤、0、2公斤与0.1公斤;每公斤原料A2含B1,B2,B3得含量分别为0。
1公斤、0、3公斤与0。
6公斤;每公斤原料A3含B1,B2,B3得含量分别为0。
3公斤、0。
4公斤与0、3公斤、每公斤原料A1,A2,A3得成本分别为500元、300元与400元、今需要B1成分至少100公斤,B2成分至少50公斤,B3成分至少80公斤。
为列出使总成本最小得线性规划模型,设原料A1,A2,A3得用量分别为x1公斤、x2公斤与x3公斤,则目标函数为(D)。
(A)maxS=500x1+300x2+400x3
(B)min S=100x1+50x2+80x3
(C) maxS=100x1+50x2+80x3
(D)minS=500x1+300x2+400x3
3。
设,并且A=B,则x=(C)、
(A)4
(B) 3
(C)2
(D) 1
4、设运输某物品q吨得成本(单位:
元)函数为C(q)=q2+50q+2000,则运输该物品100吨时得平均成本为(A )元/吨。
(A) 170
(B)250
(C)1700
(D)17000
5、已知运输某物品q吨得边际收入函数为MR(q),则运输该物品从100吨到300吨时得收入增加量为( D )、
(A)
(B)
(C)
(D)
二、计算题:
(每小题7分,共21分)
6.已知矩阵,求:
AB+C
解:
7、设,求:
解:
8.计算定积分:
解:
三、编程题:
(每小题6分,共12分)
9.试写出用MATLAB软件求函数得二阶导数得命令语句。
解:
>>clear;
〉>symsxy;
>>y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x));
>>dy=diff(y,2)
10. 试写出用MATLAB软件计算定积分得命令语句。
解:
〉>clear;
>〉syms xy;
>>y=x*exp(sqrt(x));
>>int(y,0,1)
四、应用题(第11、12题各14分,第13题19分,共47分)
11。
某物流企业生产某种商品,其年销售量为1000000件,每批生产需准备费1000元,而每件商品每年库存费为0。
05元,如果该商品年销售率就是均匀得,试求经济批量。
解:
库存总成本函数
令得定义域内得惟一驻点q=200000件、
即经济批量为200000件、
12。
某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知,该企业生产得甲、乙、丙三种产品,均为市场紧俏产品,销售量一直持续上升经久不衰。
今已知上述三种产品得单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤与5公斤;三种产品得单位产品所需工时分别为6台时、3台时与6台时。
另外,三种产品得利润分别为400元/件、250元/件与300元/件。
由于生产该三种产品得原材料与工时得供应有一定限制,原材料每天只能供应180公斤,工时每天只有150台时。
试建立在上述条件下,如何安排生产计划,使企业生产这三种产品能获得利润最大得线性规划模型,并写出用MATLAB软件计算该线性规划问题得命令语句。
解:
设生产甲、乙、丙三种产品分别为x1件、x2件与x3件,显然x1,x2,x3≥0
线性规划模型为
解上述线性规划问题得语句为:
>>clear;
〉>C=-[400250 300];
〉>A=[4 45;636];
>>B=[180;150];
>>LB=[0;0;0];
>>[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
线性规划习题
1、 某物流公司下属企业生产甲、乙两种产品,要用A,B,C三种不同得原料,从工艺资料知道:
每生产一件产品甲,需用三种原料分别为1,1,0单位;生产一件产品乙,需用三种原料分别为1,2,1单位。
每天原料供应得能力分别为6,8,3单位、又知,销售一件产品甲,企业可得利润3万元;销售一件产品乙,企业可得利润4万元。
试写出能使利润最大得线性规划模型,并用MATLAB软件计算(写出命令语句,并用MATLAB软件运行)。
解:
设生产甲产品吨,乙产品吨。
线性规划模型为:
用MATLAB软件计算该线性规划模型得命令语句为:
>〉clear;
〉>C=—[3 4];
〉〉A=[11;1 2;01];
>> B=[6;8;3];
〉〉LB=[0;0];
>>[X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
2。
某物流公司有三种化学产品A1,A2,A3都含有三种化学成分B1,B2,B3,每种产品成分含量及价格(元/斤)如下表,今需要B1成分至少100斤,B2成分至少50斤,B3成分至少80斤,试列出使总成本最小得线性规划模型。
相关情况表
产品含量
成 分
每斤产品得成分含量
A1
A2
A3
B1
B2
B2
0。
7
0、2
0。
1
0。
1
0、3
0。
6
0.3
0、4
0。
3
产品价格(元/斤)
500
300
400
解:
设生产产品公斤,生产产品公斤, 生产产品公斤,
3、某物流企业下属家具厂生产桌子与椅子,产品得销路挺好。
生产每张桌子得利润为12元,每张椅子得利润为10元。
生产每张桌子在该厂得装配中心需要10分钟,在精加工中心需要20分钟;生产每张椅子在装配中心需要14分钟,在精加工中心需要12分钟。
该厂装配中心一天可利用得时间不超过1000分钟,精加工中心一天可利用得时间不超过880分钟。
假设生产桌子与椅子得材料能保证供给、试写出使企业获得最大利润得线性规划模型,并用MATLAB软件计算(写出命令语句,并用MATLAB软件运行出结果)
解:
设生产桌子张,生产椅子张
MATLAB软件得命令语句为:
〉>clear;
〉>C=-[12 10];
>>A=[1014;2012];
>>B=[1000;880];
>〉LB=[0;0];
>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
4、某物流企业在一个生产周期内生产甲、乙两种产品,这两种产品分别需要A,B,C,D四种不同得机床加工,这四种机床得可用工时分别为1500,1200,1800,1400.每件甲产品分别需要A,B,C机床加工4工时、2工时、5工时;每件乙产品分别需要A,B,D机床加工3工时、3工时、2工时。
又知甲产品每件利润6元,乙产品每件利润8元、试写出能获得最大利润得线性规划问题。
解:
设生产甲产品件,乙产品件。
线性规划模型为:
用MATLAB软件计算该线性规划模型得命令语句为:
〉>clear;
>>C=-[68];
>> A=[43;23;50;0 2];
〉〉B=[1500;1200;1800;1400];
>〉 LB=[0;0];
〉>[X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
某物流企业用甲、乙两种原材料生产A,B,C三种产品、企业现有甲原料30吨,乙原料50吨、每吨A产品需要甲原料2吨;每吨B产品需要甲原料1吨,乙原料2吨;每吨C产品需要乙原料4吨。
又知每吨A,B,C产品得利润分别为3万元、2万元与0。
5万元。
试写出能获得最大利润得线性规划问题。
解:
设生产A产品吨,B产品吨,C产品吨。
线性规划模型为:
用MATLAB软件计算该线性规划模型得命令语句为:
>>clear;
>>C=—[320、5];
〉〉A=[21;24];
>〉 B=[30;50];
>〉LB=[0;0;0];
>〉[X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
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