0318数值分析学生版作业要点.docx
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0318数值分析学生版作业要点
2014-2015
(2)计算机与信息工程学院数值分析作业
计科专业_______级_____班姓名:
___________学号:
____________
第一章绪论
一、单项选择题
1.用3.1415作为
的近似值时具有()位有效数字。
(A)3(B)4(C)5(D)6
2.已知数x1=721x2=0.721x3=0.700x4=7*10-2是由四舍五入得到的,则它们的有效数字的位数应分别为()。
(A)3,3,3,1(B)3,3,3,3
(C)3,3,1,1(D)3,3,3,2
二、填空题
1.在一些数值计算中,对数据只能取有限位表示,如
这时所产生的误差称为_______误差.(填误差的类型)
2.为尽量避免有效数字的严重损失,当
时,应将表达式
改写为_________以保证计算结果比较精确.
3.在数值计算中,通常取
,此时产生的误差为_________误差(填误差的类型).
4.设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值,则x有_________位有效数字。
三、计算题
1、(本题5分)试确定
作为
的近似值具有几位有效数字,并确定其相对误差限。
第二章插值法
一、单项选择题
1.通过点
的拉格朗日插值基函数
满足().
(A)
(B)
(C)
(D)
2.
是给定的互异节点,
是以它们为插值节点的插值多项式,则
是一个( ).
(A)n+1次多项式 (B)n次多项式
(C)次数小于n的多项式 (D)次数不超过n的多项式
二、填空题
1.设有节点
,其对应的函数
的值分别为
,
则二次拉格朗日插值基函数
.
2.已知
则
.
2.已知
那么
以1,2为节点的拉格朗日线性插值多项式为_________.
3.当x=1,-1,2时,对应的函数值分别为f(-1)=0,f(0)=2,f(4)=10,则f(x)的拉格朗日插值多项式是.
4.设
,则
关于节点
的二阶向前差分为___________.
5.当插值节点为等距分布时,若所求节点靠近首节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的_____,若所求节点靠近尾节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的___;如果要估计结果的舍入误差,应该选用插值公式中的___.
6.设
则
的二次牛顿插值多项式为___________________________.
7.设
为
的n次拉格朗日插值多项式,则其插值余项为_________________.
8.已知
则
_____.
9.设
则差商
.
10.设
是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数,则
____________
;
。
三、计算题
1.给定数据
0
2
3
5
1
-3
-4
2
(1)写出
的3次Lagrange插值多项式
;
(2)写出
的3次Newton插值多项式
.
2.已知
-1
2
4
5
-2
4
5
7
(1) 用拉格朗日插值法求
的三次插值多项式
;
(2) 求x,使
=0。
3.给定数据
求三次拉格朗日插值多项式
.
4.已知函数
在如下节点处的函数值
-1
0
1
2
1
4
3
0
(1)建立以上数据的差分表;
(2)根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式
,并计算
的近似值;
5.已知y=
,
=4,
=9,用线性插值求
的近似值。
6.已知
x
1
2
3
4
F(x)
0
2
15
12
计算三阶差商f[1,3,4,7]。
7.已知
1
3
4
7
f(
)
0
2
15
12
求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。
8.设
为
次多项式,
为
个互异点,
为
的
次插值多项式。
若
,试证
。
第三章函数逼近于计算
一、填空题
1.用二次多项式
其中
是待定参数,拟合点
,那么参数
是使误差平方和____________________取最小值的解。
2.已知数据对
用直线
拟合这
个点,则参数
满足的法方程组是__________________.
二、计算题
1.已知一组实验数据如下
1
2
3
4
5
4
4.5
6
8
8.5
求它的拟合曲线(直线).
2、已知一组试验数据如下
20406080100
4.357.5510.4013.8016.80
求它的拟合曲线(直线)。
3.求
在[0,1]上求关于
的一次最佳平方逼近多项式.
4.已知如下数据表,试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式。
x
-1
0
1
2
y
1
2
5
0
6.求
在区间[1/4,1]上的关于权函数
的一次最佳平方逼近多项式.
7.求
在区间
上的最佳二次逼近多项式.
8.已知
-2
-1
0
1
2
4
2
1
3
5
求
的形如
的二次拟合曲线,并求
的近似值。
9.已知n+1个数据点
,请用多种方法建立这些数据点之间的函数关系,并说明各种函数的适用条件。
10.用最小二乘法解下列超定线性方程组:
11.求
在[0,1]上的一次平方逼近多项式。
第四章数值积分与数值微分
一、单项选择题
1.已知求积公式
,则
().
2.已知
时牛顿-科特斯求积公式,科特斯系数
,那么
().
(A)
(B)
(C)
(D)
3.已知节点
插值型两点求导公式是().
4.求积分公式
是()次代数精度.
(A)1(B)2(C)3(D)4
二、填空题
1.求积分公式
具有_____次代数精度.
2.设求积公式
,若对_______________的多项式积分公式精确成立,而至少有一个
次多项式不成立,则称该求积公式具有
次代数精度.
3.已知
时,科特斯系数
,那么
.
4.求初值问题
近似解的梯形公式是
___________.
5.n个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为______次,n个求积节点的高斯求积公式的代数精度为.
6.5个节点的牛顿-柯特斯公式代数精度是.
7.
个节点的Gauss型求积公式具有______次的代数精度.
8.为使求积公式
的代数精度尽量高,应使
,
,
,此时公式具有次的代数精度。
9.数值微分公式
≈
的代数精度为_______.
三、计算题
1.试用
的牛顿-科特斯求积公式计算定积分
.
2.已知
(1)推导以这三点为求积节点在
上的插值型求积公式
;
(2)指明求积公式所具有的代数精度;(3)用所求公式计算
.
3.试求
使求积公式
的代数精度尽量高,并求其代数精度。
4.确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精确度尽量高,并指明求积公式所具有的代数精确度.
5.已知
的函数值如下:
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
3.1
4.4
6.0
8.0
1.00
用复合梯形公式和复合辛普森公式求
的近似值.
6.已知
的函数值如下表
用复合梯形公式和复合Simpson公式求
的近似值.
第五章常微分方程数值解法
一、单项选择题
1.解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是
那么
分别为().
2.求解常微分方程的二阶R-K方法的局部截断误差为( ).
.
3.解微分方程初值问题的方法,()的局部截断误差为
.
(A)欧拉法(B)改进欧拉法
(C)三阶龙格—库塔法(D)四阶龙格—库塔法
二、计算题
1.写出四阶经典龙格-库塔法求解初值问题
的计算公式,并取步长
计算
的近似值,小数点后至少保留4位.
2.用Euler方法求解初值问题
,取
在区间
计算,结果保留到小数点后4位.
3.初值问题
有精确
,试证明:
用Euler法以
为步长所得近似解
的整体截断误差为
4.写出用四阶经典的龙格—库塔方法求解下列初值问题的计算公式:
(无需计算)
5.用改进欧拉法求解
,
,取两位小数。
6.取步长
,用梯形法解常微分方程初值问题
7.写出前进欧拉公式、后退欧拉公式,并由这两个公式构造一个预估-校正公式求解下列常微分方程的数值解。
第六章方程求根
一、单项选择题
1.求解方程
若
可以表示成
则用简单迭代法求根,那么
满足(),近似根序列
一定收敛.
2.下列说法不正确的是().
(A)二分法不能用于求函数
的复根.
(B)方程求根的迭代解法的迭代函数为
则迭代收敛的充分条件是
.
(C)用高斯消元法求解线性方程组
时,在没有舍入误差的情况下得到的都是精确解.
(D)如果插值节点相同,在满足插值条件下用不同方法建立的插值公式是等价的.
3.为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根,把方程改写成下列形式,并建立相应的迭代公式,迭代公式不收敛的是()。
A.
B.
C.
D.
4. 求解方程
在(1,2)内根的下列迭代法
(1)
(2)
(3)
(4)
中,收敛的迭代法是( ).
A.
(1)和
(2) B.
(2)和(3) C.(3)和(4) D.(4)和
(1)
二、填空题
1.牛顿下山法的下山条件为_______________________.
2.因为方程
在区间
上满足__________,所以
在区间内有根。
3.求方程
的近似根,用迭代公式
,取初始值
,那么
.
4.已知方程
在区间
内有根,构造方程的一种迭代格式为
则该迭代法_____收敛的(填是或不).
5.设
可微,求方程
根的牛顿迭代格式是____________.
6.用牛顿下山法求解方程
根的迭代公式是_____________,下山条件是。
7.在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时,若在迭代区间存在唯一解,且f(x)的二阶导数不变号,则初始点x0的选取依据为。
8.使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、迭代计算。
9.求方程
根的Newton迭代格式为。
10.迭代过程
收敛的一个充分条件是迭代函数
满足__________。
11.设
可微,求方程
根的牛顿迭代格式是_____________。
12.用二分法求方程
在区间
内的根,迭代进行二步后根所在区间为___________.
13.用二分法求(x)=0(x
[a,b])
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