四年级奥数教材.docx
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四年级奥数教材
第一讲找规律
(一)
事物的发展中有规律的,只有认为观察事物,找到事物发展变化的规律,才能深入地了解和掌握它,从而找到解决问题的方法和途径。
在数学竞赛中,常常出现按规律填数的题目,找规律的方法是根据已知数的前后(可上下)之间的联系,找出其中的规律,求得相应的数。
例题与方法
例1.请找出下列各组数排列的规律,并根据规律在括号里填上适当的数。
(1)1,5,9,13,(),21,25。
(2)3,6,12,24,(),96,192。
(3)1,4,9,16,25,(),49,64,81。
第二讲长方形和正方形
(一)
同学们已经学会长方形、正方形的周长与面积的计算,利用公式很容易算出它们的面积与周长。
但在遇到一些较复杂的有关长方形和正方形的周长和面积计算时,一些同学就会感到棘手。
这两讲我们将教给大家一些平移、转化、分解、合并等技巧,使大家在解题中能顺利地找到突破口,化难为易,化繁为简。
例1.有一块长8分米,宽4分米的长方形纸板与两块边长4分米的正方形拼也一个正方形。
拼成的正方形的周长是多少分米?
例2.两个大小数点相同的正方形拼成一个长方形后,周长比原来的两个正方形周长的和减少6厘米。
原来一个正方形的周长是多少厘米?
例3.求图3和图4的周长。
(单位:
米)
图3图4
第三讲长方形和正方形
(二)
例1.一块长方形土地,长是宽的2倍,中间有一座雕塑,雕塑的底面是一个正方形,周围是草坪(如图1),草坪的面积是多项式少平方米?
例2.图2是由6个相等的三角形拼成的图形,求这个图形的面积。
第四讲植树问题
(一)
在一定长度的线路上,等距离地安排若干个点植树,植树的棵数、株距(相邻两棵树之间的距离)与线路的总长之间存在某种数量关系,研究这种数量关系的问题通常被称为植树问题。
植树问题一般分为线段上的植树问题和环形线路上的植树问题。
1.线段上的植树问题分以下三种情形讨论:
(1)如果植树线路的两端都要植树,那么,
植树的棵数=线路和全长÷株距+1
线路的全长=株距×(植树的棵数-1)
株距=线路的全长÷(植树的棵数-1)
(2)如果植树线路的一端要植树,另一端不要植树,那么,
植树的棵数=线路和全长÷株距
线路的全长=株距×植树的棵数
株距=线路的全长÷植树的棵数
(3)植树的棵数=线路和全长÷株距-1
线路的全长=株距×(植树的棵数+1)
株距=线路的全长÷(植树的棵数+1)
2.环形线路上的植树问题,线路的全长、植树的棵树、株距之间的数量关系是:
植树的棵数=线路和全长÷株距
线路的全长=株距×植树的棵数
株距=线路的全长÷植树的棵数
从以上数量叛乱中容易看出:
植树的棵树,株距与线路的全长三个量中,只要知道其中的两个量,就能求出第三个量。
例1.在一条路的一边种树,从头到尾一共种了45棵,相邻两棵树之间相距5米,这条路长多少米?
例1.在一条长42米的街道两边,每隔6米插一面彩旗(两端不插),一共需要插多少面彩旗?
例2.把一根木头锯成4段需要6分钟,如果要锯成13段,需要多少分钟?
第五讲植树问题
(二)
例1.四年级学生260人排成十路纵队做操,也就是每十个人一排,排成放多排。
已知相邻两排之间相隔1米,这支队伍长多少米?
例2.时钟4点钟敲4下,6秒敲完,那么,8点钟敲8下,几秒敲完?
例3.在一个正方形广场四周安装路灯,四个顶点都装有一盏,这样每边都有15盏,四周共装路灯多少盏?
第六讲和倍问题
(一)
我们把已知几个数的和及它们之间的倍数关系,求这几个数各是多少的问题称为和倍问题。
解答和倍问题,要在已知条件中确定一个数为标准(一般以小数作为标准),假定小数是1倍或1份,再根据其他几个数与小数的倍数关系,确定总和相当于1倍数的多少倍,然后用除法求出小数,再算出其他各数。
和倍问题的数量关系是:
和÷(倍数+1)=小数
小数×倍数=大数
例1.六合农场把98000千克粮食分别存入两个仓库,已条存入第一仓库里的粮食是第二仓库的3倍。
两个仓库各存多少千克粮食?
例2.被除数、除数、商三个数的和是212,已知商是2,被除数和除数各是多少?
例3.三篮桃子共有117个,第一篮的桃子是第二篮的2倍,第三篮的桃子是第一篮的3倍。
这三篮桃子各有多少个?
第七讲和倍问题
(二)
例1.百货公司卖出花布和白布共395米,卖出的花布是白布的4倍,花布每米6元,白布每米5元,卖出的花布和白布共值多少元?
例2.甲、乙两数之积为2500,是甲、乙两数之和的20倍,而甲数又是乙数的4倍,甲、乙两数各是多少?
例3.甲、乙两人共储蓄1000元,甲取出240元,乙又存入80元,这时甲蓄储的钱正好是乙的3倍。
原来甲比乙多储蓄多少元?
第八讲差倍问题
差÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
例1.暑假里,兄弟两人去池塘钓鱼,哥哥比弟弟多钓20条,哥哥钓的条数是弟弟的3倍。
哥哥与弟弟各钓了多少条鱼?
例2.参加学校课外舞蹈小组的同学,女生比男生多45人,女生比男生的4倍少15人,男、女生各有多少人?
例3.两堆煤重量相等,第一堆运走7吨,第二堆运走19吨以后,第一堆剩下的吨数是第二堆的3倍。
两堆煤现在各有多少吨?
第九讲年龄问题
(一)
日常生活中到处存在着数学,一些关于年龄的数学趣题,尤其使人迷恋。
大象对长颈鹿说:
“我现在的年龄,等于我像你那么大时你的年龄的2倍,而等你长到我这么大时,我俩的年龄之和是63岁。
”
你能根据大象的话,算出大象与长颈鹿的年龄吗?
小鲸鱼说:
“妈妈,我到您现在这么大时,您就31岁啦!
”鲸鱼妈妈说:
“我像你那么大年龄时,你只有1岁。
”
你能根据他们的对话,算出鲸鱼妈妈和小鲸鱼现在各是多少岁吗?
年龄问题生动有趣,又往往是和差、倍数等问题的综合,因此需要灵活地解决。
例1.妈妈今年43岁,女儿今年11岁,几年后妈妈的年龄是女儿的3倍?
几的前妈妈的年龄是女儿的5倍?
例2.今年,父亲的年龄是女儿的4倍,3年前,父亲和女儿年龄的和是49岁。
父亲、女儿今年各是多少岁?
例3.一家有三口人,三个人年龄之和是72岁,妈妈和爸爸同岁,妈妈的年龄是孩子的4倍。
三人各是多少岁?
第十讲年龄问题
(二)
例1.已知祖父和父亲、父亲和孙子年龄的差是一样的,又知祖父和孙子的年龄之和为84岁,这个岁数再加上孙子的年龄,正好是100岁。
问:
三人的年龄各是多少岁?
例2.祖孙三人的年龄加在一起正好是100岁,祖父过的年数正好等于孙子过的月数,儿子过的星期数正好等于孙子过的天数。
问:
三人的年龄各是多少岁?
例3.王叔叔对小明说:
“我15年前的岁数和你6年后的岁数相同。
7年前,我的年龄是你的年龄的8倍。
”小明今年多少岁?
王叔叔今年多少岁?
第十一讲还原问题
(一)
还原问题是指条件中只说明了中间的发展过程和最后结果,要求最初状态的一类问题。
解答这类问题逆向思维很重要,通常要运用倒推法(还原法),即从最后一步出发,一步一步倒着往前推算,逐步倒着往前推算,逐步靠拢已知条件,直到问题解决。
例1.某数加上6,乘以6,减去6,除以6,其结果等于6,求某数。
例2.有一位老人说:
“把我的年龄加上14后除以3,再减去26,最后用25乘,恰巧是100岁。
”这位老人今年多少岁?
例3.在做一道加法式题时,某学生把个位上的5看作9,把十位上的8看作3,结果所得的和是123。
正确的答案是多少?
第十二讲还原问题
(二)
例1.甲、乙、丙三个组共有图书90本,如果乙组向甲组借3本后,又送给丙组5本,结果三个组所有图书的本数刚好相等。
甲、乙、丙三个组原来各有图书多少本?
例2.甲、乙两个车站共停了195辆汽车,如果从甲站开到乙站36辆,又从乙站开出45辆汽车,这时乙站停了汽车辆数是甲站的2倍。
原来甲、乙两站各停放多少辆汽车?
例3.一筐鱼连筐重122千克,卖出一半鱼后,再卖出剩下的鱼的地半,这时连筐还重35千克。
原来筐和鱼各重多少千克?
第十三讲周期问题
(一)
我们知道,一年有12个月,从一月开始,一月、二月、三月、……十二月;每周有七天,从星期一开始,星期一、星期二、……星期天。
在日常生活中有许多类似这样重复出现的现象,一些数、图形的变化也是周而复始地循环出现的,我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题。
解答这类题目只有找到规律,才能获得正确的方法。
例1.●●○●●○●●○……
上面黑、白两色小球探险一定的规律排列着,其中第90个是()
例2.有同样大小的红、白黑珠共150个,按先5个红的,再4个白的,再3个黑的排列着。
第144个珠是什么颜色?
例3.有249朵花,按5朵红花、9朵黄花、13朵绿花的顺序排列,最后一朵花是什么颜色的?
例4.有同样大小的红、黄、蓝弹子共180个,按先4个红的,再2个黄的,再3个蓝的排列着。
三种颜色的弹子各有多少个?
第十四讲周期问题
(二)
例1.10个2连乘的积的个位数是几?
例2.1998年元旦是星期四,1999年元旦是星期几?
第十五讲假设问题
(一)
假设法是解答应用题时经常用到的一种方法。
所谓“假设法”就是依据题目中的已知条件或结论作出某种设想,然后按照已知条件进行推算,根据数量上出现的矛盾,再适当调整,从而长到正确答案。
我们看这样一道题:
在同一个笼子里的,有若干鸡和兔。
从笼子上看有30个头,从笼子下数有70只脚。
这个笼子里装有鸡、兔各多少只?
这样的问题属于“鸡兔同笼”问题,解决这类问题通常用假设法。
我们可以先假设笼子里全部都是鸡,根据鸡、兔的总只数可以算出在假设条件下共有多少只脚,结果一定比已知的问好脚数少,每差2只脚就说明有1只兔,所以,用所差的脚数除以2,就可以求出兔的只数,从而可以求出鸡的只数。
也可以先假设全部都是兔,按照前面的方法推算出鸡的只数。
用假设法解答鸡兔同笼问题的基本数量关系式是:
兔数=(实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数)÷(每只兔子脚数-每只鸡脚数)
鸡数=(每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数)÷(每只兔子脚数-每只鸡脚数)
例1.本讲开始例举题目。
例2.王芳有2分、5分的硬币共40枚,一共是1元2角5分。
两种硬币各有多少枚?
例3.王老师带了51名同学去公园划船,共租了11条船,每条大船坐6人,每条小船坐4人。
请你算一算,他们租了大船、小船各几条?
例4.一批钢材,用小卡车装载,要用45辆;如果用大卡车装载,只需用36辆。
每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨,这批钢材有多少吨?
第十六讲假设问题
(二)
例1.三、四、五年级同学共植树108棵。
三年级比四年级少植18棵,五年级比三年级多植30棵,三个年级同学各植树多少棵?
例2.每个大油桶可装油4千克,每个小油桶可装油2千克,大桶和小桶共50个,大桶比小桶共多装油20千克。
大、小油桶各多少个?
例3.鸡兔同笼,鸡比兔多14只,共有脚136只,鸡兔各有多少只?
第十七讲计数问题
我们已经认识了角、三角形、长方形、正方形等基本图形,当这些图形重叠交错在一起时,就构成了错综复杂的几何图形,要想准确地计算出这类图形中所包括的某一种基本图形的个数,就需要认真观察,灵活地运用有关的基本概念和知识,并学会运用一些正常的解题思考方法,掌握数图形的规律,这样才能获得正确的计数结果。
例1.
数出下面各图中线段的总条数。
例2.数一数,图中有多少条线段。
第十八讲行程问题
(一)
我们把研究路程、速度、时间这三者之间关系的问题,称为行程问题。
行程问题主要包括相遇问题、相背问题的追及问题。
例1.甲、乙两人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行,甲每小时走6千米,乙每小时走4千米。
两人几小时后相遇?
例2.南北两村相距90千米,甲、乙两人分别从两村同时出发相向而行,甲比乙每小时多行2千米,5小时后两人相遇。
两人的速度各是什么?
第十九讲行程问题
(二)
“火车过桥“问题是行程问题中的一种情况。
桥是静的,火车是动的,火车通过大桥,是指从车头上桥到车尾离桥。
如下图,假设某站在火车头的A点处,当火车通过桥时,A点实际运动的路程就是火车运动的总路程,即车长与桥产的和。
例1.一列火车车长180米,每秒行20米,这列火车通过320米长的大桥,需要多少时间?
例2.小明站在铁路边,一列火车从他身边开过用了2分。
已知这列火车长900米,以同样的速度通过一座大桥,用了5分。
这座大桥长多少米?
例3.一列火车通过一座长456米的桥需要80秒,用同样的速度通过一条长399米的隧道要77秒。
求这列火车的速度和长度。
第二十讲平均数问题
我们经常用各科成绩的平均分数来比较同学之间、班级之间成绩的高低。
求各科成绩的平均分数就是求平均数。
平均数在很我方面都有应用,例如,求平均身高、平均体重等等。
平均数问题的基本特点是,把几个大小不等的数量,在总量不变的情况下,通过移多补少,使它们成为相等的几份,求其中一份是多少。
解题时关键要确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数”,然后用总数量除以总份数求出平均数。
求平均数问题的基本数量关系是:
总数量÷总份数=平均数
例1.六(3)班数学第一单元测验,第二组同学中有1人得95分,3人得91分,4人得86分,2人得74分。
这个小组的平均成绩是多少?
例2.四
(1)班共有学生41人,数学期中考试时有三位同学因病缺考,平均成绩是80分。
后来这三位同学补考,成绩分别为:
100分、96分和85分。
灾时全班的平均成绩是多少?
第二十一讲推理问题
(一)
在日常生活中,我们常常要进行推理。
例如,清晨,你推开门,看见房屋、树木、地面、……都是湿漉漉的,你就会得出一个结论:
夜里下雨了。
这就是推理。
解决推理问题,要求我们从已知条件中找出与问题之间的联系,通过分析推理,得出正确的结论。
例1.有三个小朋友在谈论谁做的好事多。
王湖说:
“王海做的比王江多。
”
王海说:
“王湖做的比王江多。
”
王江说:
“王湖做的比王海少。
”
例2.张老师、刘老师、李老师三人在语文、数学、美术三门课中,每人都一门课。
张老师说:
“我不教数学。
”
刘老师说:
“我既不教语文,也不教数学。
”
请你说出这三位老师各教什么课?
第二十二讲推理问题
(二)
这一讲,我们主要介绍推理问题中两中最基本的解题方法——假设法和排除法。
例1.四
(1)班第一小队有12人,放学排路队时发现有人穿校服,有人没穿校服,并且任意两人站在一起时,都至少有1个穿校服。
问:
穿校服的有几人?
例2.有四个方木块,六个面上都按同样的顺序写着1,2,3,4,5,6六个数字。
请你根据下面的图说出1的对面是几?
2的对面是几?
3的对面是几?
例3.某校数学竞赛,A,B,C,D,E,F,G,H八位同学获得前八名,老师让他们猜一下谁是第一名。
A:
或者F是第一名,或者H是第一名。
B:
我是第一名。
C:
G是第一名。
D:
B不是第一名。
E:
A说的不对。
F:
我不是第一名,H也不是第一名。
G:
C不是第一名。
H:
我同意A的意见。
老师说,八个人中只有三个人猜对了。
那么,谁是第一名?
第二十三讲巧算
(一)
巧算是四则计算中的一个重要组成部分,学会一些巧算的方法,对提高计算能力有很大的帮助。
加、减法的巧算方法很多,主要是利用加法、减法的运算定律和运算性质使计算简便。
例1.计算63+294+37+54+6
例2.
(1)673+288
(2)9898+203
(3)352-96(4)786-109
例3.计算718-162-238
例4.计算185-(85+17)
第二十四讲巧算
(二)
这一讲我们学习乘法、除法的巧算方法,这些方法主要根据乘、除法的运算定律和运算性质以及积、商的变化规律,通过对算式适当变形,将因数(或被除数、除数)转化成整百、整千的数,或者使算式中的一些数变得易于心算,从而简化计算。
例1.
(1)25×5×64×125
(2)75×16
例2.
(1)125×(10+8)
(2)(20-4)×25
(3)4004×25
例3.1000÷(125÷4)
第二十五讲巧算(三)
这一讲,我们主要介绍一些有一定难度的用凑整和分解等方法进行、除法的速算。
例1.计算99999×88888÷11111
例2.计算87654321×9
第二十六讲等量代换
同学们都知道曹冲称象的故事吧。
曹冲让大象上船,看船被河水水面淹没到什么位置,然后刻上记号。
再把大象赶上岸,把这条船装上石块,当水面淹没到记号的位置时,就可以知道,船上的石块菜有多重,大象就有多重。
曹冲称象就是运用了“等量代换”的方法:
两个相等的量,可以互相代换。
解数学题,经常要用到这种思考方法。
例1.下面的四只天平都保持平衡。
想一想:
一个西瓜和几根香蕉的重量相等?
例2.已知一只狗重8千克,请你根据下图推出一只小猴和一只小兔共重多少千克。
例3.一头猪可以换3只羊,1只羊可以换2只狗,1只狗可以换4只兔子,1头猪可以换几只兔子?
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