届高考数学一轮复习通用版讲义空间几何体的表面积与体积.docx
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届高考数学一轮复习通用版讲义空间几何体的表面积与体积
第二节空间几何体的表面积与体积
一、基础知识批注——理解深一点
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧=2πrl
S圆锥侧=πrl
S圆台侧=π(r+r′)l
①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和,而表面积是侧面积与所有底面面积之和.
②圆台、圆柱、圆锥的转化
当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,得到圆柱;当圆台的上底面半径为零时,得到圆锥,由此可得:
2.空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积=S侧+2S底
V=Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积=S侧+S底
V=Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积=S侧+S上+S下
V=(S上+S下+)h
球
S=4πR2
V=πR3
二、常用结论汇总——规律多一点
几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,
①若球为正方体的外接球,则2R=a;
②若球为正方体的内切球,则2R=a;
③若球与正方体的各棱相切,则2R=a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
三、基础小题强化——功底牢一点
(1)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2πS.( )
(2)锥体的体积等于底面面积与高之积.( )
(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( )
(4)球的体积之比等于半径之比的平方.( )
答案:
(1)×
(2)× (3)√ (4)×
(二)选一选
1.一个球的表面积是16π,那么这个球的体积为( )
A.π B.π
C.16πD.24π
解析:
选B 设球的半径为R,则由4πR2=16π,解得R=2,所以这个球的体积为πR3=π.
2.正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC中点,则三棱锥AB1DC1的体积为( )
A.3B.
C.1D.
解析:
选C 由题意可知AD⊥BC,由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面DB1C1,又AD=2·sin60°=,所以VAB1DC1=AD·S△B1DC1=×××2×=1,故选C.
3.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )
A.20πB.24π
C.28πD.32π
解析:
选C 设圆柱底面圆半径为r,周长为c,圆锥母线长为l,圆柱高为h.由图得r=2,c=2πr=4π,h=4,由勾股定理得:
l==4,S表=πr2+ch+cl=4π+16π+8π=28π.
(三)填一填
4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.
解析:
由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱,其底面为侧视图,该侧视图是底边长为2,高为的三角形,正视图的长为三棱柱的高,故h=3,所以该几何体的体积V=S·h=×3=3.
答案:
3
5.一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为________.
解析:
设六棱锥的高为h,斜高为h′,则由体积V=××h=2,得h=1,h′==2.
所以侧面积为×2×h′×6=12.
答案:
12
[典例]
(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( )
A.12π B.12π
C.8πD.10π
(2)(2019·沈阳质检)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是( )
A.4+4B.4+2
C.8+4D.
[解析]
(1)设圆柱的轴截面的边长为x,
则x2=8,得x=2,
∴S圆柱表=2S底+S侧=2×π×()2+2π××2
=12π.故选B.
(2)由三视图可知该几何体是一个四棱锥,记为四棱锥PABCD,如图所示,其中PA⊥底面ABCD,四边形ABCD是正方形,且PA=2,AB=2,PB=2,所以该四棱锥的侧面积S是四个直角三角形的面积和,即S=2×=4+4,故选A.
[答案]
(1)B
(2)A
[解题技法] 求解几何体表面积的类型及求法
求多面体的表面积
只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积
求旋转体的表面积
可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,将其展开后求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则
几何体的
表面积时
通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体,先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积,再通过求和或作差,求出所给几何体的表面积
[题组训练]
1.(2019·武汉部分学校调研)一个几何体的三视图如图所示,则它的表面积为( )
A.28B.24+2
C.20+4D.20+2
解析:
选B 如图,三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱ABIEDCMH,则该几何体的表面积S=(2×2)×5+×2+2×1+2×=24+2.故选B.
2.(2018·郑州第二次质量预测)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( )
A.20+πB.24+(-1)π
C.24+(2-)πD.20+(+1)π
解析:
选B 由三视图知,该几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个底面半径为1、高为1的圆锥后所剩余的部分,所以该几何体的表面积S=6×22-π×12+π×1×=24+(-1)π,故选B.
求空间几何体的体积常用的方法有直接法、割补法、等体积法
[典例]
(1)(2019·开封高三定位考试)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为( )
A.4π B.2π
C.D.π
(2)(2018·天津高考)如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1BB1D1D的体积为________.
[解析]
(1)直接法
由题意知该几何体的直观图如图所示,该几何体为圆柱的一部分,设底面扇形的圆心角为α,由tanα==,得α=,故底面面积为××22=,则该几何体的体积为×3=2π.
(2)法一:
直接法
连接A1C1交B1D1于点E,则A1E⊥B1D1,A1E⊥BB1,则A1E⊥平面BB1D1D,
所以A1E为四棱锥A1BB1D1D的高,且A1E=,
矩形BB1D1D的长和宽分别为,1,
故VA1BB1D1D=×(1×)×=.
法二:
割补法
连接BD1,则四棱锥A1BB1D1D分成两个三棱锥BA1DD1与BA1B1D1,所以VA1BB1D1D=VBA1DD1+VBA1B1D1=××1×1×1+××1×1×1=.
[答案]
(1)B
(2)
[解题技法]
1.处理体积问题的思路
2.求体积的常用方法
直接法
对于规则的几何体,利用相关公式直接计算
割补法
首先把不规则的几何体分割成规则的几何体,然后进行体积计算;或者把不规则的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算
等体
积法
选择合适的底面来求几何体体积,常用于求三棱锥的体积,即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换
[题组训练]
1.
如图所示,已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1ABC1的体积为( )
A.B.
C.D.
解析:
选A 三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积,三棱锥AB1BC1的高为,底面积为,故其体积为××=.
2.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是( )
A.13B.14
C.15D.16
解析:
选C 所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体,在长方体中还原该几何体,如图中ABCDA′B′C′D′所示,长方体的长、宽、高分别为4,2,3,两个三棱柱的高为2,底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形,故该几何体的体积V=4×2×3-2××3××2=15,故选C.
3.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.+π B.+π
C.+πD.1+π
解析:
选C 由三视图知,四棱锥是底面边长为1,高为1的正四棱锥,结合三视图可得半球半径为,从而该几何体的体积为×12×1+××3=+π.
考法
(一) 球与柱体的切、接问题
[典例] (2017·江苏高考)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是________.
[解析] 设球O的半径为R,因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切,所以圆柱的底面半径为R、高为2R,所以==.
[答案]
考法
(二) 球与锥体的切、接问题
[典例] (2018·全国卷Ⅲ)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥DABC体积的最大值为( )
A.12 B.18
C.24D.54
[解析] 由等边△ABC的面积为9,可得AB2=9,所以AB=6,所以等边△ABC的外接圆的半径为r=AB=2.设球的半径为R,球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d,则d===2.所以三棱锥DABC高的最大值为2+4=6,所以三棱锥DABC体积的最大值为×9×6=18.
[答案] B
[解题技法]
1.“切”“接”问题的处理规律
(1)“切”的处理:
球的内切问题主要是球内切于多面体或旋转体.解答时要找准切点,通过作截面来解决.
(2)“接”的处理:
把一个多面体的顶点放在球面上即球外接于该多面体.解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.
2.巧用外接球组合体作图的方法口诀
外接球,有难题,作图技巧要牢记;
大圆正视小圆平,对称图形抓对称;
内接图形坐小圆,力求顶点大圆圈;
小圆垂直连心线,位置关系细查看.
[题组训练]
1.(2018·福建第一学期高三期末考试)已知圆柱的高为2,底面半径为,若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的表面积等于( )
A.4πB.π
C.πD.16π
解析:
选D 如图,由题意知圆柱的中心O为这个球的球心,
于是,球的半径r=OB===2.
故这个球的表面积S=4πr2=16π.故选D.
2.三棱锥PABC中,AB=BC=,AC=6,PC⊥平面ABC,PC=2,则该三棱锥的外接球表面积为________.
解析:
由题可知,△ABC中AC边上的高为=,球心O在底面ABC的投影即为△ABC的外心D,设DA=DB=DC=x,所以x2=32+(-x)2,解得x=,所以R2=x2+2=+1=(其中R为三棱锥外接球的半径),所以外接球的表面积S=4πR2=π.
答案:
π
1.(2019·深圳摸底)过半径为2的球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的体积的比值为( )
A. B.
C.D.
解析:
选A 由题意知所得截面为圆,设该圆的半径为r,则22=12+r2,所以r2=3,所以所得截面的面积与球的体积的比值为=,故选A.
2.如图是某一几何体的三视图,则这个几何体的体积为( )
A.4B.8
C.16D.20
解析:
选B 由三视图知,此几何体是一个三棱锥,底面为一边长为6,高为2的三角形,三棱锥的高为4,所以体积为V=××6×2×4=8.故选B.
3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:
“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:
积及为米几何?
”其意思为:
“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?
”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )
A.14斛B.22斛
C.36斛D.66斛
解析:
选B 设米堆的底面半径为r尺,则r=8,所以r=,所以米堆的体积为V=×π×r2×5=×2×5≈(立方尺).故堆放的米约有÷1.62≈22(斛).
4.(2018·贵阳摸底考试)某实心几何体是用棱长为1cm的正方体无缝粘合而成的,其三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.35cm3B.40cm3
C.70cm3D.75cm3
解析:
选A 结合题中三视图可得,该几何体是个组合体,该组合体从下到上依次为长、宽、高分别为5cm,5cm,1cm的长方体,长、宽、高分别为3cm,3cm,1cm的长方体,棱长为1cm的正方体,故该组合体的体积V=5×5×1+3×3×1+1×1×1=35(cm3).故选A.
5.(2019·安徽知名示范高中联考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.1B.
C.D.
解析:
选C 法一:
该几何体的直观图为四棱锥SABCD,如图,SD⊥平面ABCD,且SD=1,四边形ABCD是平行四边形,且AB=DC=1,连接BD,由题意知BD⊥DC,BD⊥AB,且BD=1,所以S四边形ABCD=1,所以VSABCD=S四边形ABCD·SD=,故选C.
法二:
由三视图易知该几何体为锥体,所以V=Sh,其中S指的是锥体的底面积,即俯视图中四边形的面积,易知S=1,h指的是锥体的高,从正视图和侧视图易知h=1,所以V=Sh=,故选C.
6.(2019·重庆调研)某简单组合体的三视图如图所示,则该组合体的体积为( )
A.+B.+
C.+D.+
解析:
选B 由三视图知,该组合体是由一个半圆锥与一个三棱锥组合而成的,其中圆锥的底面半径为2、高为=2,三棱锥的底面是斜边为4、高为2的等腰直角三角形,三棱锥的高为2,所以该组合体的体积V=×π×22×2+××4×2×2=+,故选B.
7.(2019·湖北八校联考)已知一几何体的三视图如图所示,它的侧视图与正视图相同,则该几何体的表面积为( )
A.16+12πB.32+12π
C.24+12πD.32+20π
解析:
选A 由三视图知,该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体,且正四棱柱的高为,底面对角线长为4,球的半径为2,所以该正四棱柱的底面正方形的边长为2,该几何体的表面积S=×4π×22+π×22+2××4=12π+16,故选A.
8.(2019·福州质检)已知正三棱柱ABCA1B1C1中,底面积为,一个侧面的周长为6,则正三棱柱ABCA1B1C1外接球的表面积为( )
A.4πB.8π
C.16πD.32π
解析:
选C 如图所示,设底面边长为a,则底面面积为a2=,所以a=.又一个侧面的周长为6,所以AA1=2.设E,D分别为上、下底面的中心,连接DE,设DE的中点为O,则点O即为正三棱柱ABCA1B1C1的外接球的球心,连接OA1,A1E,则OE=,A1E=××=1.在直角三角形OEA1中,OA1==2,即外接球的半径R=2,所以外接球的表面积S=4πR2=16π,故选C.
9.(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为________.
解析:
由正方体的表面积为18,得正方体的棱长为.
设该正方体外接球的半径为R,则2R=3,R=,
所以这个球的体积为πR3=×=.
答案:
10.某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为________.
解析:
由题意知该四棱柱为直四棱柱,其高为1,底面为上底长为1,下底长为2,高为1的等腰梯形,所以该四棱柱的体积为V=×1=.
答案:
11.一个圆锥的表面积为π,它的侧面展开图是圆心角为的扇形,则该圆锥的高为________.
解析:
设圆锥底面半径是r,母线长为l,所以πr2+πrl=π,即r2+rl=1,根据圆心角公式=,即l=3r,所以解得r=,l=,那么高h==.
答案:
12.(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥SABC的体积为9,则球O的表面积为________.
解析:
如图,连接AO,OB,
∵SC为球O的直径,
∴点O为SC的中点,
∵SA=AC,SB=BC,
∴AO⊥SC,BO⊥SC,
∵平面SCA⊥平面SCB,平面SCA∩平面SCB=SC,
∴AO⊥平面SCB,
设球O的半径为R,
则OA=OB=R,SC=2R.
∴VSABC=VASBC=×S△SBC×AO
=××AO,
即9=××R,解得R=3,
∴球O的表面积S=4πR2=4π×32=36π.
答案:
36π
13.
如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体,截面为ABC,已知A1B1=B1C1=2,∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=3,CC1=2,求:
(1)该几何体的体积;
(2)截面ABC的面积.
解:
(1)过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C,交AA1,BB1分别于点A2,B2.
由直三棱柱性质及∠A1B1C1=90°可知B2C⊥平面ABB2A2,则该几何体的体积V=VA1B1C1A2B2C+VCABB2A2
=×2×2×2+××(1+2)×2×2=6.
(2)在△ABC中,AB==,
BC==,
AC==2.
则S△ABC=×2×=.
14.如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.
(1)证明:
平面AEC⊥平面BED;
(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥EACD的体积,求该三棱锥EACD的侧面积.
解:
(1)证明:
因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
所以BE⊥AC.
因为BD∩BE=B,BD⊂平面BED,BE⊂平面BED,
所以AC⊥平面BED.
又AC⊂平面AEC,
所以平面AEC⊥平面BED.
(2)设AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,可得AG=GC=x,GB=GD=.
因为AE⊥EC,
所以在Rt△AEC中,可得EG=x.
由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形,
可得BE=x.
由已知得,三棱锥EACD的体积
V三棱锥EACD=·AC·GD·BE=x3=,
故x=2.
从而可得AE=EC=ED=.
所以△EAC的面积为3,△EAD的面积与△ECD的面积均为.
故三棱锥EACD的侧面积为3+2.
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