江苏中考数学总复习综合题选讲一.docx
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江苏中考数学总复习综合题选讲一
江苏中考数学总复习——综合题选讲
(一)
Ⅰ、综合问题精讲:
代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型,近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现,其解题关键点是借助几何直观解题,运用方程、函数的思想解题,灵活运用数形结合,由形导数,以数促形,综合运用代数几何知识解题.
Ⅱ、典型例题剖析
【例1】(温州,12分)如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,A是
的中点,AE⊥AC于A,与⊙O及CB的延长线分别交于点F、E,且
,EM切⊙O于M。
⑴△ADC∽△EBA;⑵AC2=BC·CE;
⑶如果AB=2,EM=3,求cot∠CAD的值。
解:
⑴∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠CDA=∠ABE,
∵
,∴∠DCA=∠BAE,
∴△CAD∽△AEB
⑵过A作AH⊥BC于H(如图)
∵A是
中点,∴HC=HB=BC,
∵∠CAE=900,∴AC2=CH·CE=BC·CE
⑶∵A是
中点,AB=2,∴AC=AB=2,
∵EM是⊙O的切线,∴EB·EC=EM2 ①
∵AC2=BC·CE,BC·CE=8 ②
①+②得:
EC(EB+BC)=17,∴EC2=17
∵EC2=AC2+AE2,∴AE=
∵△CAD∽△ABE,∴∠CAD=∠AEC,
∴cot∠CAD=cot∠AEC=
点拨:
此题的关键是树立转化思想,将未知的转化为已知的.此题表现的非常突出.如,将∠CAD转化为∠AEC就非常关键.
【例2】(自贡)如图2-5-2所示,已知直线y=2x+2分别与x轴、y轴交于点A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,∠BAC=90○。
过C作CD⊥x轴,D为垂足.
(1)求点A、B的坐标和AD的长;
(2)求过B、A、C三点的抛物线的解析式。
解:
(1)在y=2x+2中
分别令x=0,y=0.
得A(l,0),B(0,2).
易得△ACD≌△BAO,所以AD=OB=2.
(2)因为A(1,0),B(0,2),且由
(1),得C(3,l).
设过过B、A、C三点的抛物线为
所以
所以
点拨:
此题的关键是证明△ACD≌△BAO.
【例3】(重庆,10分)如图,在平面直角坐标系内,已知点A(0,6)、点B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒.
(1)求直线AB的解析式;
(2)当t为何值时,△APQ与△AOB相似?
(3)当t为何值时,△APQ的面积为
个平方单位?
解:
(1)设直线AB的解析式为y=kx+b
由题意,得
解得
所以,直线AB的解析式为y=-
x+6.
(2)由AO=6,BO=8得AB=10
所以AP=t,AQ=10-2t
1°当∠APQ=∠AOB时,△APQ∽△AOB.
所以
=
解得 t=
(秒)
2°当∠AQP=∠AOB时,△AQP∽△AOB.
所以
=
解得 t=
(秒)
(3)过点Q作QE垂直AO于点E.
在Rt△AOB中,Sin∠BAO=
=
在Rt△AEQ中,QE=AQ·Sin∠BAO=(10-2t)·
=8-
t所以,S△APQ=
AP·QE=
t·(8-
t)
=-
+4t=
解得t=2(秒)或t=3(秒).
(注:
过点P作PE垂直AB于点E也可,并相应给分)
点拨:
此题的关键是随着动点P的运动,△APQ的形状也在发生着变化,所以应分情况:
①∠APQ=∠AOB=90○②∠APQ=∠ABO.这样,就得到了两个时间限制.同时第(3)问也可以过P作PE⊥AB.
【例4】(南充,10分)如图2-5-7,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,对角线AC上有一个动点P(不包括点A和点C).设AP=x,四边形PBCD的面积为y.
(1)写出y与x的函数关系,并确定自变量x的范围.
(2)有人提出一个判断:
“关于动点P,⊿PBC面积与⊿PAD面积之和为常数”.请你说明此判断是否正确,并说明理由.
解:
(1)过动点P作PE⊥BC于点E.
在Rt⊿ABC中,AC=10,PC=AC-AP=10-x.
∵ PE⊥BC,AB⊥BC,∴⊿PEC∽⊿ABC.
故
,即
∴⊿PBC面积=
又⊿PCD面积=⊿PBC面积=
即 y
,x的取值范围是0<x<10.
(2)这个判断是正确的.
理由:
由
(1)可得,⊿PAD面积=
⊿PBC面积与⊿PAD面积之和=24.
点拨:
由矩形的两边长6,8.可得它的对角线是10,这样PC=10-x,而面积y是一个不规则的四边形,所以可以把它看成规则的两个三角形:
△PBC、△PCD.这样问题就非常容易解决了.
Ⅲ、综合巩固练习(100分90分钟)
1、如图2-5-8所示,在直角坐标系中,△ABC各顶点坐标分别为A(0,),B(-1,0)、C(0,1)中,若△DEF各顶点坐标分别为D(,0)、E(0,1)、F(0,-1),
则下列判断正确的是()
A.△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转90○得到;
B.△DEF由△ABC绕O点逆时针旋转90○得到;
C.△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转60○得到;
D.△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转120○得到
2.如图2-5-9,已知直线y=2x+1与x轴交于A点,与y轴交于B点,直线y=2x—1与x轴交于C点,与y轴交于D点,试判断四边形ABCD的形状.
3.如图2-5-10所示,在矩形ABCD中,BD=20,AD>AB,设∠ABD=α,已知sinα是方程25z2-35z+12=0的一个实根.点E、F分别是BC、DC上的点,EC+CF=8,设BE=x,△AEF面积等于y.
⑴求出y与x之间的函数关系式;
⑵当E、F两点在什么位置时y有最小值?
并求出这个最小值.
4.(10分)如图2-5-11所示,直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点M、N.
(1)求M、N两点的坐标;
(2)如果点P在坐标轴上,以点P为圆心,为半径的圆与直线y=-x+4相切,求点P的坐标.
5.(10分)如图2-5-12所示,已知等边三角形ABC中,AB=2,点P是AB边上的任意一点(点P可以与点A重合,但不与点B重合),过点P作PE⊥BC.垂足为E;过点E作EF⊥AC,垂足为F;过点F作FQ⊥AB,垂足为Q.设BP=x,AQ=y.
⑴写出y与x之间的函数关系式;
⑵当BP的长等于多少时,点P与点Q重合;
⑶当线段PE、FQ相交时,写出线段PE、EF、FQ所围成三角形的周长的取值范围(不必写出解题过程)
6.(12分)如图2-5-13所示,已知A由两点坐标分另为(28,0)和(0,28),动点P从A点开始在线段AO上以每秒3个长度单位的速度向原点O运动,动直线EF从x轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动(即EF∥x轴)并且分别交y轴,线段AB交于E、F点.连接FP,设动点P与动直线EF同时出发,运动时间为t秒.
⑴当t=1秒时,求梯形OPFE的面积,t为何值时,梯形OPFE的面积最大,最大面积是多少?
⑵当梯形OPFE的面积等于△APF的面积时,求线段PF的长.
⑶设t的值分别取t1,t2时(t1≠t2),所对应的三角形分别为△AF1P1和△AF2P2,试判断这两个三角形是否相似,请证明你的判断.
7.(12分)如图2-5-14所示,在直角坐标系中,矩形ABCD的顶点,A的坐标为(1,0),对角线的交点P的坐标为(,1)
⑴写出B、C、D三点的坐标;
⑵若在AB上有一点E作,’入过E点的直线‘将矩形ABCD的面积分为相等的两部分,求直线l的解析式;
⑶若过C点的直线
将矩形ABCD的面积分为4:
3两部分,并与y轴交于点M,求过点C、D、M三点的抛物线的解析式.
8.(10分)已知矩形ABCD在平面直角坐标系中,顶点A、B、D的坐标分别为A(0,0),B(m,0),D(0,4)其中m≠0.
⑴写出顶点C的坐标和矩形ABCD的中心P点的坐标(用含m的代数式表示)
⑵若一次函数y=kx-1的图象
把矩形ABCD分成面积相等的两部分,求此一次函数的解析式(用含m的代数式表示)
⑶在⑵的前提下,
又与半径为1的⊙M相切,且点M(0,1),求此矩形ABCD的中心P点的坐标.
9.(10分)如图2-5-15所示,等边三角形ABC的边长为6,点D、E分别在边AB,AC上,且AD=AE=2,若点F从点B开始以每秒二个单位长度的速度沿射线BC方向运动,设点F运动的时间为t秒,当t>0时,直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G,GE的延长线与BC的延长线相交于点H,AB与GH相交于点O.
⑴设△EGA的面积为S,写出S与t的函数解析式;
⑵当t为何值时,AB⊥GH;
⑶请你证明△GFH的面积为定值.
10.(10分)如图2-5-16,在矩形ABCD中,AB=10。
cm,BC=8cm.点P从A出发,沿A→B→C→D路线运动,到D停止;点Q从D出发,沿D→C→B→A路线运动,到A停止,若点P、点Q同时出发,点P的速度为1cm/s,点Q的速度为2cm/s,as时点P、点Q同时改变速度,点P的速度变为bcm/s,点Q的速度变为dcm/s,图2-5-17是点P出发x秒后△APD的面积S1(cm2)与x(s)的函数关系图象;图2-5-18是点Q出发xs后面AQD的面积S2(cm2)与x(s)的函数关系图象.
⑴参照图2-5-17,求a、b及图中c的值;
⑵求d的值;
⑶设点P离开点A的路程为y1(cm),点Q到点A还需走的路程为y2(cm),请分别写出动点P、Q改变速度后,y1、y2与出发后的运动时间x(s)的函数解析式,并求出P、Q相遇时x的值.
⑷当点Q出发_______s时,点P、点Q在运动路线上相距的路程为25cm.
附:
参考答案
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