高考数学文科分类汇编数列.docx
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高考数学文科分类汇编数列
数学
D单元 数列
D1数列的概念与简单表示法
17.、、[2019·江西卷]已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:
对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.
17.解:
(1)由Sn=,得a1=S1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-2,a1也符合上式,所以数列{an}的通项公式为an=3n-2.
(2)证明:
要使得a1,an,am成等比数列,只需要a=a1·am,即(3n-2)2=1·(3m-2),即m=3n2-4n+2.而此时m∈N*,且m>n,
所以对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.
18.、[2019·江西卷]已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2),其中a<0.
(1)当a=-4时,求f(x)的单调递增区间;
(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.
18.解:
(1)当a=-4时,由f′(x)==0得x=或x=2,由f′(x)>0得x∈或x∈(2,+∞).
故函数f(x)的单调递增区间为和(2,+∞).
(2)因为f′(x)=,a<0,
所以由f′(x)=0得x=-或x=-.
当x∈时,f(x)单调递增;当x∈时,f(x)单调递减;当x∈时,f(x)单调递增.
易知f(x)=(2x+a)2≥0,且f=0.
①当-≤1,即-2≤a<0时,f(x)在[1,4]上的最小值为f
(1),由f
(1)=4+4a+a2=8,得a=±2-2,均不符合题意.
②当1<-≤4时,即-8≤a<-2时,f(x)在[1,4]时的最小值为f=0,不符合题意.
③当->4时,即a<-8时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在x=1或x=4时取得,而f
(1)≠8,由f(4)=2(64+16a+a2)=8得a=-10或a=-6(舍去).
当a=-10时,f(x)在(1,4)上单调递减,f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8,符合题意.
综上有,a=-10.
16.[2019·新课标全国卷Ⅱ]数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1=________.
16. [解析]由题易知a8==2,得a7=;a7==,得a6=-1;a6==-1,得a5=2,于是可知数列{an}具有周期性,且周期为3,所以a1=a7=.
D2等差数列及等差数列前n项和
2.[2019·重庆卷]在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=( )
A.5B.8C.10D.14
2.B [解析]由题意,得a1+2d+a1+4d=2a1+6d=4+6d=10,解得d=1,所以a7=a1+6d=2+6=8.
5.[2019·天津卷]设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1=( )
A.2B.-2
C.D.-
5.D [解析]∵S2=2a1-1,S4=4a1+×(-1)=4a1-6,且S1,S2,S4成等比数列,∴(2a1-1)2=a1(4a1-6),解得a1=-.
15.、[2019·北京卷]已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn-an}为等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和.
15.解:
(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意得
d===3.
所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).
设等比数列{bn-an}的公比为q,由题意得
q3===8,解得q=2.
所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.
从而bn=3n+2n-1(n=1,2,…).
(2)由
(1)知bn=3n+2n-1(n=1,2,…).
数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为1×=2n-1,
所以,数列{bn}的前n项和为n(n+1)+2n-1.
17.,[2019·福建卷]在等比数列{an}中,a2=3,a5=81.
(1)求an;
(2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.
17.解:
(1)设{an}的公比为q,依题意得
解得
因此,an=3n-1.
(2)因为bn=log3an=n-1,
所以数列{bn}的前n项和Sn==.
19.、、[2019·湖北卷]已知等差数列{an}满足:
a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?
若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.
19.解:
(1)设数列{an}的公差为d,
依题意知,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),
化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4,
当d=0时,an=2;
当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,
从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.
(2)当an=2时,Sn=2n,显然2n<60n+800,
此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立.
当an=4n-2时,Sn==2n2.
令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,
解得n>40或n<-10(舍去),
此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41.
综上,当an=2时,不存在满足题意的正整数n;
当an=4n-2时,存在满足题意的正整数n,其最小值为41.
16.、[2019·湖南卷]已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和.
16.解:
(1)当n=1时,a1=S1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=n.
故数列{an}的通项公式为an=n.
(2)由
(1)知,bn=2n+(-1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n,则T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n).
记A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n,
则A==22n+1-2,
B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n.
故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.
13.[2019·江西卷]在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为________.
13. [解析]由题可知a8>0且a9<0,即7+7d>0且7+8d<0,所以-1 9.[2019·辽宁卷]设等差数列{an}的公差为d,若数列{2a1an}为递减数列,则( ) A.d>0B.d<0 C.a1d>0D.a1d<0 9.D [解析]令bn=2a1an,因为数列{2a1an}为递减数列,所以==2a1(an+1-an)=2a1d<1,所以a1d<0. 17.[2019·全国卷]数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列; (2)求{an}的通项公式. 17.解: (1)由an+2=2an+1-an+2,得 an+2-an+1=an+1-an+2, 即bn+1=bn+2. 又b1=a2-a1=1, 所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列. (2)由 (1)得bn=1+2(n-1), 即an+1-an=2n-1. 于是 所以an+1-a1=n2, 即an+1=n2+a1. 又a1=1,所以{an}的通项公式an=n2-2n+2. 5.[2019·新课标全国卷Ⅱ]等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=( ) A.n(n+1)B.n(n-1) C.D. 5.A [解析]由题意,得a2,a2+4,a2+12成等比数列,即(a2+4)2=a2(a2+12),解得a2=4,即a1=2,所以Sn=2n+×2=n(n+1). 17.、[2019·全国新课标卷Ⅰ]已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列的前n项和. 17.解: (1)方程x2-5x+6=0的两根为2,3. 由题意得a2=2,a4=3. 设数列{an}的公差为d,则a4-a2=2d, 故d=,从而得a1=. 所以{an}的通项公式为an=n+1. (2)设的前n项和为Sn,由 (1)知=, 则Sn=++…++, Sn=++…++, 两式相减得 Sn=+-=+-,所以Sn=2-. 19.,,[2019·山东卷]在等差数列{an}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=a,记Tm=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)nbn,求Tn. 19.解: (1)由题意知,(a1+d)2=a1(a1+3d), 即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2. 故数列{an}的通项公式为an=2n. (2)由题意知,bn=a=n(n+1), 所以Tn=-1×2+2×3-3×4+…+(-1)nn×(n+1). 因为bn+1-bn=2(n+1), 所以当n为偶数时, Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-bn-1+bn) =4+8+12+…+2n = =, 当n为奇数时, Tn=Tn-1+(-bn) =-n(n+1) =-. 所以Tn= 16.、、[2019·陕西卷]△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. (1)若a,b,c成等差数列,证明: sinA+sinC=2sin(A+C); (2)若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cosB的值. 16.解: (1)∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB. ∵sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), ∴sinA+sinC=2sin(A+C). (2)由题设有b2=ac,c=2a, ∴b=a. 由余弦定理得cosB===. 19.、、[2019·四川卷]设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图像上(n∈N*). (1)证明: 数列{bn}为等比数列; (2)若a1=1,函数f(x)的图像在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-,求数列{anb}的前n项和Sn. 19.解: (1)证明: 由已知得,bn=2an>0, 当n≥1时,=2an+1-an=2d. 故数列{bn}是首项为2a1,公比为2d的等比数列. (2)函数f(x)=2x在点(a2,b2)处的切线方程为y-2a2=(2a2ln2)(x-a2), 其在x轴上的截距为a2-. 由题意知,a2-=2-, 解得a2=2, 所以d=a2-a1=1,an=n,bn=2n,anb=n·4n. 于是,Sn=1×4+2×42+3×43+…+(n-1)×4n-1+n×4n, 4Sn=1×42+2×43+…+(n-1)×4n+n×4n+1, 因此,Sn-4Sn=4+42+…+4n-n·4n+1=-n·4n+1=, 所以,Sn=. 19.[2019·浙江卷]已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36. (1)求d及Sn; (2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65. 19.解: (1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36, 将a1=1代入上式解得d=2或d=-5. 因为d>0,所以d=2. 从而an=2n-1,Sn=n2(n∈N*). (2)由 (1)得am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)(k+1), 所以(2m+k-1)(k+1)=65. 由m,k∈N*知2m+k-1≥k+1>1, 故所以 16.、[2019·重庆卷]已知{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示{an}的前n项和. (1)求an及Sn; (2)设{bn}是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0,求{bn}的通项公式及其前n项和Tn. 16.解: (1)因为{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列,所以 an=a1+(n-1)d=2n-1. 故Sn=1+3+…+(2n-1)===n2. (2)由 (1)得a4=7,S4=16.因为q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0, 所以(q-4)2=0,从而q=4. 又因为b1=2,{bn}是公比q=4的等比数列, 所以bn=b1qn-1=2×4n-1=22n-1. 从而{bn}的前n项和Tn==(4n-1). D3 等比数列及等比数列前n项和 12.[2019·安徽卷]如图13,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2,过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;….依此类推,设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则a7=________. 图13 12. [解析]在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2,所以AB=AC=a1=2,由题易知A1A2=a3=AB=1,…,A6A7=a7=·AB=2×=. 17.,[2019·福建卷]在等比数列{an}中,a2=3,a5=81. (1)求an; (2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn. 17.解: (1)设{an}的公比为q,依题意得 解得 因此,an=3n-1. (2)因为bn=log3an=n-1, 所以数列{bn}的前n项和Sn==. 13.、[2019·广东卷]等比数列{an}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=________. 13.5 [解析]在等比数列中,a1a5=a2a4=a=4.因为an>0,所以a3=2,所以a1a2a3a4a5=(a1a5)(a2a4)a3=a=25, 所以log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log225=5. 19.、、[2019·湖北卷]已知等差数列{an}满足: a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800? 若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由. 19.解: (1)设数列{an}的公差为d, 依题意知,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d), 化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4, 当d=0时,an=2; 当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2, 从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2. (2)当an=2时,Sn=2n,显然2n<60n+800, 此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立. 当an=4n-2时,Sn==2n2. 令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去), 此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41. 综上,当an=2时,不存在满足题意的正整数n; 当an=4n-2时,存在满足题意的正整数n,其最小值为41. 7.[2019·江苏卷]在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是________. 7.4 [解析]由等比数列的定义可得,a8=a2q6,a6=a2q4,a4=a2q2,即a2q6=a2q4+2a2q2.又an>0,所以q4-q2-2=0,解得q2=2,故a6=a2q4=1×22=4. 17.、、[2019·江西卷]已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明: 对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列. 17.解: (1)由Sn=,得a1=S1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-2,a1也符合上式,所以数列{an}的通项公式为an=3n-2. (2)证明: 要使得a1,an,am成等比数列,只需要a=a1·am,即(3n-2)2=1·(3m-2),即m=3n2-4n+2.而此时m∈N*,且m>n, 所以对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列. 18.、[2019·江西卷]已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2),其中a<0. (1)当a=-4时,求f(x)的单调递增区间; (2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值. 18.解: (1)当a=-4时,由f′(x)==0得x=或x=2,由f′(x)>0得x∈或x∈(2,+∞). 故函数f(x)的单调递增区间为和(2,+∞). (2)因为f′(x)=,a<0, 所以由f′(x)=0得x=-或x=-. 当x∈时,f(x)单调递增;当x∈时,f(x)单调递减;当x∈时,f(x)单调递增. 易知f(x)=(2x+a)2≥0,且f=0. ①当-≤1,即-2≤a<0时,f(x)在[1,4]上的最小值为f (1),由f (1)=4+4a+a2=8,得a=±2-2,均不符合题意. ②当1<-≤4时,即-8≤a<-2时,f(x)在[1,4]时的最小值为f=0,不符合题意. ③当->4时,即a<-8时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在x=1或x=4时取得,而f (1)≠8,由f(4)=2(64+16a+a2)=8得a=-10或a=-6(舍去). 当a=-10时,f(x)在(1,4)上单调递减,f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8,符合题意. 综上有,a=-10. 8.[2019·全国卷]设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=( ) A.31B.32 C.63D.64 8.C [解析]设等比数列{an}的首项为a,公比为q,易知q≠1,根据题意可得解得q2=4,=-1,所以S6==(-1)(1-43)=63. 5.[2019·新课标全国卷Ⅱ]等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=( ) A.n(n+1)B.n(n-1) C.D. 5.A [解析]由题意,得a2,a2+4,a2+12成等比数列,即(a2+4)2=a2(a2+12),解得a2=4,即a1=2,所以Sn=2n+×2=n(n+1). 19.,,[2019·山东卷]在等差数列{an}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=a,记Tm=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)nbn,求Tn. 19.解: (1)由题意知,(a1+d)2=a1(a1+3d), 即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2. 故数列{an}的通项公式为an=2n. (2)由题意知,bn=a=n(n+1), 所以Tn=-1×2+2×3-3×4+…+(-1)nn×(n+1). 因为bn+1-bn=2(n+1), 所以当n为偶数时, Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-bn-1+bn) =4+8+12+…+2n = =, 当n为奇数时, Tn=Tn-1+(-bn) =-n(n+1) =-. 所以Tn= 16.、、[2019·陕西卷]△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. (1)若a,b,c成等差数列,证明: sinA+sinC=2sin(A+C); (2)若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cosB的值. 16.解: (1)∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB. ∵sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), ∴sinA+sinC=2sin(A+C). (2)由题设有b2=ac,c=2a, ∴b=a. 由余弦定理得cosB===. 20.、、[2019·天津卷]已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}. (1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A. (2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明: 若an<bn,则s<t. 20.解: (1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1,2,3},可得A={0,1,2,3,4,5,6,7}. (2)证明: 由s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,ai,bi∈M,i=1,2,…,n及an s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1 ≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)qn-2-qn-1 =-qn-1 =-1<0, 所以s 16.、[2019·重庆卷]已知{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示{an}的前n项和. (1)求an及Sn; (2)设{bn}是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0,求{bn}的通项公式及其前n项和Tn. 16.解: (1)因为{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列,所以 an=a1+(n-1)d=2n-1. 故Sn=1+3+…+(2n-1)===n2. (2)由 (1)得a4=7,S4=16.因为q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0, 所以(q-4)2=0,从而q=4. 又因为b1=2,{bn}是公比q=4的等比数列, 所以bn=b1qn-1=2×4n-1=22n-1. 从而{bn}的前n项和Tn==(4n-1). D4 数列求和 15.、[2019·北京卷]已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn-an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前n项和. 15.解: (1)设等差数列{an}的公差为d,由题意得 d===3. 所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…). 设等比数列{bn-an}的公比为q,由题意得 q3===8,解得q=2. 所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1. 从而bn=3n+2n-1(n=1,2,…). (2)由 (1)知bn=3n+2n-1(n=1,2,…). 数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为1×=2n-1, 所以,数列{bn}的前n项和为n(n+1)+2n-1. 16.、[2019·湖南卷]已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和. 16.解: (1)当n=1时,a1=S
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