高考第二轮复习理数专题十 不等式.docx
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高考第二轮复习理数专题十不等式
2017年高考第二轮复习
(理数)专题十不等式
1.(2016·北京,5,易)已知x,y∈R,且x>y>0,则( )
A.->0B.sinx-siny>0
C.-<0D.lnx+lny>0
1.C ∵x>y>0,∴<,即-<0,故A不正确.
当x>y>0时,不能说明sinx>siny,如x=π,y=,x>y,但sinπ<sin,故B不正确.
∵函数y=在R上为减函数,且x>y>0,所以<,即-<0,故C正确.
当x=1,y=时,lnx+lny<0,故D不正确.故选C.
2.(2014·山东,5,易)已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )
A.>B.ln(x2+1)>ln(y2+1)
C.sinx>sinyD.x3>y3
2.D 因为0<a<1,ax<ay,所以x>y.对于选项A,取x=2,y=1,则<,显然A错误;对于选项B,取x=-1,y=-2,则ln(x2+1)<ln(y2+1),显然B错误;对于选项C,取x=π,y=,则sin>sinπ,显然C错误;对于选项D,若x>y,则x3>y3一定成立,故选D.
3.(2013·陕西,10,易)设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有( )
A.[-x]=-[x]B.[2x]=2[x]
C.[x+y]≤[x]+[y]D.[x-y]≤[x]-[y]
3.D A不成立,如[-π]=-4,-[π]=-3;
B不成立,如x=1.6时,[2x]=3,2[x]=2;C不成立,如x=y=1.6,则[x+y]=3,[x]+[y]=2,由排除法知选D.
思路点拨:
本题考查新定义问题,解题的关键是把握取整函数的意义,取特殊值进行判断即可.
4.(2013·上海春季,17,易)如果a
A.
C.-ab<-a2D.-<-
4.D 方法一(利用不等式性质求解):
A项,由a0,ab>0,故-=>0,>,故A项错误;B项,由a0,ab>b2,故B项错误;C项,由a0,a2>ab,即-ab>-a2,故C项错误;D项,由a0,故--=<0,-<-成立.故D项正确.
方法二(特殊值法):
令a=-2,b=-1,则=->-1=,ab=2>1=b2,-ab=-2>-4=-a2,-=<1=-.故A,B,C项错误,D项正确.
5.(2011·上海,15,易)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )
A.a2+b2>2abB.a+b≥2
C.+>D.+≥2
5.D A项,当a=b=1时,满足ab>0,但a2+b2=2ab,所以A错误;B,C项,当a=b=-1时,满足ab>0,但a+b<0,+<0,而2>0,>0,显然B,C错误;D项,当ab>0时,由基本不等式得+≥2=2,所以D正确.
6.(2011·浙江,7,易)若a,b为实数,则“0
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6.A 当0
不等式的性质及应用是不等式的一个基础内容,高考中主要以客观题形式呈现,难度不大,分值5分,复习时注意不等式的等价变形,特别是不等式两边同乘以或同除以一个数时,不等式的方向变化.
(1)(2016·北京平谷区质检,6)已知a,b,c,d均为实数,有下列命题:
①若ab>0,bc-ad>0,则->0;
②若ab>0,->0,则bc-ad>0;
③若bc-ad>0,->0,则ab>0.
其中正确命题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
(2)(2014·课标Ⅰ,9)不等式组的解集记为D.有下面四个命题:
p1:
∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,
p2:
∃(x,y)∈D,x+2y≥2,
p3:
∀(x,y)∈D,x+2y≤3,
p4:
∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.
其中的真命题是( )
A.p2,p3B.p1,p2C.p1,p4D.p1,p3
【解析】
(1)对于①,∵ab>0,bc-ad>0,∴-=>0,∴①正确;对于②,∵ab>0,又->0,即>0,∴bc-ad>0,∴②正确;对于③,∵bc-ad>0,又->0,即>0,∴ab>0,∴③正确.
(2)设x+2y=m(x+y)+n(x-2y),
则解得
∵∴(x+y)≥,-(x-2y)≥-,
∴x+2y=(x+y)-(x-2y)≥0.
故命题p1,p2正确,p3,p4错误.
【答案】
(1)D
(2)B
题
(1)实质为ab>0,bc-ad>0,->0三个结论之间的轮换,知二推一,利用不等式的性质判断.
(2)利用不等式组求x+2y的范围,注意性质应用的条件,以免扩大取值范围.
判断关于不等式的命题真假的三种方法
(1)直接运用不等式的性质:
把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,然后进行推理判断.
(2)利用函数的单调性:
当直接利用不等式性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性等进行判断.
(3)特殊值验证法:
给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值,然后进行比较、判断.
利用不等式的性质求取值范围的方法
由a<f(x,y)<b,c<g(x,y)<d求F(x,y)的取值范围,可利用待定系数法解决,即设F(x,y)=mf(x,y)+ng(x,y),用恒等变形求得m,n,再利用不等式的性质求得F(x,y)的取值范围.
1.(2014·四川·4)若a>b>0,c<d<0,则一定有( )
A.>B.<
C.>D.<
1.D 方法一:
c
方法二:
依题意取a=2,b=1时,c=-2,d=-1,代入验证得A,B,C均错,只有D正确.
2.(2016·江苏镇江模拟,14)设x,y为实数,满足3≤xy2≤8,4≤≤9,则的最大值是________.
2.【解析】 方法一:
由题意知,实数x,y均为正数,则条件可化为lg3≤lgx+2lgy≤lg8,lg4≤2lgx-lgy≤lg9.
令lgx=a,lgy=b,
则有设t=,则lgt=3lgx-4lgy=3a-4b.令3a-4b=m(a+2b)+n(2a-b),解得m=-1,n=2,故lgt=-(a+2b)+2(2a-b)≤-lg3+4lg3=lg27.所以的最大值为27.
方法二:
将4≤≤9两边平方,得
16≤≤81.①
由3≤xy2≤8,得≤≤.②
由①②,得2≤≤27,即的最大值是27.
【答案】 27,
1.(2016·河北衡水一模,5)设a,b为实数,命题甲:
ab>b2,命题乙:
<<0,则甲是乙的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
1.B 命题甲:
ab>b2,不能推出命题乙:
<<0,比如取a=2,b=1,虽然满足甲,但推不出乙;若命题乙:
<<0成立,则可得a,b均为负值,且a<b,由不等式的性质两边同乘b可得ab>b2,即甲成立,故甲是乙的必要不充分条件,故选B.
2.(2016·湖北荆门模拟,8)已知a<0,-1<b<0,那么下列不等式成立的是( )
A.a>ab>ab2B.ab2>ab>a
C.ab>a>ab2D.ab>ab2>a
2.D 由-1<b<0,得b<b2<1.又∵a<0,∴ab>ab2>a.
3.(2015·河北衡水二模,5)已知0 A.>B.< C.(lga)2<(lgb)2D.> 3.D 因为0 所以-=<0. 可得<,>,(lga)2>(lgb)2,lga 由lga 思路点拨: 利用不等式的性质和指数函数、对数函数的单调性求解. 4.(2016·安徽合肥质检,6)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足b+c≤3a,则的取值范围为( ) A.(1,+∞)B.(0,2)C.(1,3)D.(0,3) 4.B 由已知及三角形三边关系得∴ ∴两式相加得, 0<2×<4, ∴的取值范围为(0,2),故选B. 5.(2016·浙江宁波模拟,5)对于0<a<1,给出下列四个不等式: ①loga(1+a)<loga;②loga(1+a)>loga; ③a1+a<a1+;④a1+a>a1+. 其中成立的是( ) A.①③B.①④C.②③D.②④ 5.D 因为0<a<1,所以(1+a)-=<0,则1+a<1+,可知②④成立. 6.(2016·广东汕头一模,10)已知实数x,y满足则4x+2y的取值范围是________. 6.【解析】 方法一: ∵1≤x+y≤3,① -1≤x-y≤1,② 由①+②,得0≤2x≤4,③ ③×2得0≤4x≤8,④ 由①-②,得2≤2y≤2,⑤ 由④+⑤得2≤4x+2y≤10. 方法二: 令4x+2y=m(x+y)+n(x-y), 则解得 即4x+2y=3(x+y)+(x-y), ∵1≤x+y≤3, ∴3≤3(x+y)≤9, 又∵-1≤x-y≤1, ∴2≤3(x+y)+(x-y)≤10. ∴2≤4x+2y≤10. 【答案】 [2,10] 1.(2016·课标Ⅰ,1,易)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=( ) A.B. C.D. 1.D [考向1]本题考查集合的运算以及不等式的解法.A={x|1 2.(2016·课标Ⅲ,1,易)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=( ) A.[2,3]B.(-∞,2]∪[3,+∞) C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞) 2.D [考向1]S={x|x≤2或x≥3},T={x|x>0},∴S∩T=(0,2]∪[3,+∞). 3.(2015·天津,4,易)设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.A [考向1]由|x-2|<1⇔-1<x-2<1⇔1<x<3. 由x2+x-2>0⇔x<-2或x>1. 而(1,3)(-∞,-2)∪(1,+∞), 所以“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分而不必要条件,故选A. 4.(2013·安徽,6,中)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为,则f(10x)>0的解集为( ) A. B. C. D. 4.D [考向1]∵f(x)<0的解集为 , ∴f(x)>0的解集为. ∴由f(10x)>0得,-1<10x<,解得x<-lg2. 5.(2013·陕西,9,中)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位: m)的取值范围是( ) A.[15,20]B.[12,25] C.[10,30]D.[20,30] 5.C [考向1]设矩形另一边长为y,则由相似三角形得,=,且40>x>0,40>y>0,故其邻边长y=(40-x)m,故矩形面积S=x(40-x)=-x2+40x,由S≥300得-x2+40x≥300,解得10≤x≤30. 6.(2013·天津,8,难)已知函数f(x)=x(1+a|x|),设关于x的不等式f(x+a) A. B. C.∪ D. 6.A [考向2]由题意可得0∈A,即f(a) ⊆, 所以 即
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