八年级数学四边形讲义完整版共6讲.docx
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八年级数学四边形讲义完整版共6讲
八年级数学四边形讲义
全面完整版
(全六讲)
第一讲平行四边形的性质
一、【基础知识精讲】
1.平行四边形的定义:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.用符号“
”表示.
2.平行四边形的性质:
(1)平行四边形的对边平行且相等.
(2)平行四边形的对角相等,邻角互补。
(3)平行四边形的对角线互相平分.
3.两条平行线间的距离:
(1)定义:
两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,
叫做这两条平行线间的距离.
(2)两平行线间的距离处处相等.(3)平行线间的平行线段相等.
4.平行四边形的面积:
(1)如图12-1-2①,
.
(
(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等.
如图12-1-2②,
有公共边BC,则
.
二、【例题精讲】
例1
(1)已知
中,∠A比∠B小20°,那么∠C的度数是_______.
(2)在
中,周长为28,两邻边之比为3︰4,
则各边长为________.
(3)一个平行四边形的一边长是8,一条对角线长是6,
则它的另一条对角线x的取值范围为__________.
(4)平行四边形邻边长是4cm和8cm,较短边上的高是5cm,
则另一边上的高是____________.
例2.已知:
在□ABCD中,过AC与BD的交点O作直线,与BA、DC的两条延长线交于M、N两点,
求证:
OM=ON.
例3.如图,在□ABCD中,E、F分别是BC、AD上的点,且AE∥CF,AE与CF相等吗?
说明理由.
【练一练】
1.已知□ABCD中,∠B=70°,则∠A=_____,∠C=_____,∠D=______.
2.在
ABCD中:
①∠A:
∠B=5:
4,则∠A=_______;
②∠A+∠C=200°,则∠A=______,∠B=______;
3.在□ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,则□ABCD的周长等于_______.
4.若平行四边形周长为54,两邻边之比为4:
5,则这两边长度分别______________;
5.已知
ABCD对角线交点为O,AC=24mm,BD=26mm,若AD=22mm,则△OBC的
周长为_________;
【探究与拓展】
例1、如图,已知
ABCD中,若AD=2AB,AB=BF=AE,则EC与FD垂直,试说明其理由。
【变式练习】如图,以
ABCD的AD、、CD边向外边作等边△ABE、等边△CDF,且AC与EF交于O,则OE与OF是否相等?
试说明理由。
例2、如图,点E是
ABCD的对角线AC上任意一点,则S△BEC=S△DEC,请说明理由。
【变式练习】如图,已知
ABCD中,点E、F分别在BC、DC上,且AE=AF,DG⊥AE,BH⊥AF,G、H是垂足,求证:
DG=BH。
三、【巩固练习】
一、选择题:
1、在□ABCD中,∠A-∠B=200,则∠D的度数是()
A.800B.1150C.1250D.650
2、已知□ABCD的周长为40cm,边AB-BC=4cm,则边AD、CD的长为()
A.10cm、14cmB.8cm、12cm
C.14cm、10cmD.12cm、8cm
3、□ABCD的对角线相交于O,⊿OAB的周长为58cm,AD=28cm两条对角线之差为14cm,则两条对角线的长分别为()
A、12cm、9cmB、23cm、37cm
C、8cm、22cmD、24cm、38cm
4、□ABCD的周长为32,5AB=3BC,则对角线AC的取值范围是()
A、6 二、解答题 1、已知□ABCD的面积为4.8cm2,周长为11.2cm,AD边上的高CE=1.2cm, 求AB与CD间的距离。 2、如图,在□ABCD中,∠ADC的邻补角的平分线交BC的延长线于E,延长ED交BA 的延长线于F,试判断⊿FBE的形状. 第二讲平行四边形的判定 一、【基础知识精讲】 1.平行四边形的判定方法: ①两组对边分别平行 ②两组对边分别相等 ③一组对边平行且相等 ④两组对角分别相等 ⑤对角线互相平分 2.平行四边形性质的运用: ①直接运用平行四边形性质解决某些问题,如求角的度数,线段的长度,证明角相等或互补,证明线段相等或倍分等. ②判别一个四边形为平行四边形,从而得到两直线平行. ③先判别—个四边形是平行四边形,然后再用平行四边形的特征去解决某些问题. 二、【例题精讲】 例1. (1)根据下列条件,不能判别四边形是平行四边形的是() A.一组对边平行且相等的四边形 B.两组对角分别相等的四边形 C.对角线相等的四边形 D.对角线互相平分的四边形 (2)下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是( ) A.AB=CD,AD∥BCB.AB=CD,AB∥CD C.AB∥CD,AD∥BCD.AB=CD,AD=BC 例2.已知: 如图,□ABCD中,点E、F在对角线上, 且AE=CF.求证: 四边形BEDF是平行四边形. 例3.如图,□ABCD的对角线AC、BD交于O,EF过点O交 AD于E,交BC于F,G是OA的中点,H是OC的中点,求证 : 四边形EGFH是平行四边形. 【练一练】 1.如图,四边形ABCD,AC、BD相交于点O, 若OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD是______, 根据是_____________________. 2.在图中,AC=BD,AB=CD=EF,CE=DF, 图中有哪些互相平行的线段? 3.一个四边形的三个内角的度数依次如下选项,其中是平行四边形的是( ) A.88°,108°,88°B.88°,104°,108° C.88°,92°,92°D.88°,92°,88° 4.如图,四边形ABCD中,AD=BC,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别是E、F,AF=CE. 求证: 四边形ABCD是平行四边形. 5、已知如图: 在 ABCD中,延长AB到E,延长CD到F,使BE=DF, 则线段AC与EF是否互相平分? 说明理由. 6.如图,在 ABCD中,点E、F在对角线AC上,并且OE=OF. (1)OA与OC,OB与OD相等吗? (2)四边形BFDE是平行四边形吗? (3)若点E,F在OA,OC的中点上,你能解决上述问题吗? 【探究拓展】 例1、如图,AD为△ABC的中线,E为AC上一点,连接BE,交AD于F,且AE=FE。 试说明BF=AC。 例2、如图△ABC为等边三角形,P是△ABC内任意一点,PD//AB, PE//BC,PF//AC,若△ABC的周长为12,则PD+PE+PF=( ) 例3、如图,在 ABCD中,E、F、G、H分别是四条边上的点,且满足AE=CF,BG=DH,连接FE、GH。 求证: FE与GH互相平分。 例4、如图,在四边形ABCD中,AD//BC,q且AD>BC,BC=6厘米,P,Q分别从A,C同时出发,P以1cm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C出发向B运动,设运动时间为x秒.则当x=____时,四边形ABQP是平行四边形。 三、【巩固练习】 一、选择题: 1、一个四边形的边长依次是a、b、c、d、且a2+b2+c2+d2==2ac+2bd,则这个四边形是() A.矩形B.正方形C.平行四边形D.不是平行四边形 2、四边形ABCD中,AB//CD,且AB=CD,则四边形ABCD是______, 理由是__________. 3、A、B、C、D在同一平面内,从①AB∥CD;②AB=CD;③BC=AD;④BC∥AD 这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD是平行四边形的选法有( ) A.3种B.4种C.5种D.6种 二、解答题 如图,在在 ABCD中, (1)若E、F分别是AB、CD上的两点,且AE=CF, 那么BD和EF互相平分吗? 说明理由. (2)若E、F分别在AB、CD的延长线上,仍然满足AE=CF,是上面的结论是否还成立? 说明理由. 第三讲菱形 一、【基础知识精讲】 1.菱形的的定义: 有一组邻边相等的平行四边形叫菱形. 2.菱形的性质 (1)菱形具有平行四边形的一切性质. (2)菱形的四条边相等. (3)菱形的两条对角线互相垂直平分;并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形的判定方法: (1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形. (2)对角线互相垂直的平行四边形为菱形. (3)四条边相等的四边形是菱形. 4.菱形的面积等于两对角线乘积的一半. 二、【例题精讲】 例1. (1)菱形的周长是8cm,则菱形的一边长是______. (2)菱形的一个内角为1200,平分这个内角的对角线长为11厘米, 菱形的周长为____. (3)菱形的面积为24cm2,一对角线长为6cm,则另一对角线长为______, 边长为____. (4)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( ) A.对角相等B.对边相等 C.对角线互相垂直D.对角线相等 (5)能够判别一个四边形是菱形的条件是( ) A.对角线相等且互相平分B.对角线互相垂直且相等 C.对角线互相平分D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角 例2.□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F, 求证: 四边形AFCE是菱形。 【练一练】 一、选择题 1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是() A.对角相等B.对边相等 C.对角线互相垂直D.对角线相等 2.菱形的周长为100cm,一条对角线长为14cm,它的面积是() A.168cm2B.336cm2C.672cm2D.84cm2 3.菱形的周长为16,两邻角度数的比为1∶2,此菱形的面积为() A.4 B.8 C.10 D.12 4.下列语句中,错误的是() A.菱形是轴对称图形,它有两条对称轴 B.菱形的两组对边可以通过平移而相互得到 C.菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到 D.菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到 5.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O, E为BC的中点,则下列式子中一定成立的是( ) A.AC=2OEB.BC=2OE C.AD=OED.OB=OE 6.如图,在菱形ABCD中,∠A=110°,E,F分别是边 AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠FPC=() A.35°B.45°C.50°D.55 二、填空题 1.菱形的对角线的一半的长分别为8cm和11cm,则菱形的面积是_______. 2.菱形的面积为8 平方厘米,两条对角线的比为1∶ 那么菱形的边长为_______. 【探究拓展】 例1、如图,菱形ABCD中,M、N分别为BC,CD上的点,且∠B=∠MAN=60°,∠BAM=20°,求∠CMN的度数。 例2、如图, ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于E、F、O,试说明四边形AFCE是菱形。 例3、将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展平纸片,如图 (1);再次折叠该三角形纸片,使得点A与点D重合,折痕为EF,再次展平后连接DE、DF,如图2,证明: 四边形AEDF是菱形. 例4、如图,在 ABCD中,BC=2AB,将AB两端延长,并截取AE=AB=BF,CE交AD于G,DF交CB于H,能否判断CG与DH的位置关系吗? 三、【巩固练习】 一、选择题: 1、在菱形ABCD中,AE⊥BC于E,若S菱形ABCD=24cm2,且AE=6cm,则菱形ABCD边长为() A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm 2、已知菱形周长是40cm,一条对角线的长是12cm,那么这个菱形的面积是() A.190cm2B.96cm2C.48cm2D.40cm2 3、菱形周长等于它的高的8倍,则它的相邻两个角的度数是() A、200和1600B、600和1200C、450和1350D、300和1500 4、如图,等边三角形AEF与菱形ABCD有一个公共点A且边长相等;⊿AEF的顶点E、F分别在菱形的边BC、CD上,∠BAD等于() A、800B、900C、1000D、1200 二、填空题 1、若菱形的两条对角线的比为3: 4,且周长为20cm,它的一组对边的距离为2.4cm,它的两条对角线的长分别为_____________. 2、若菱形的一边与两条对角线夹角的差是200,那么菱形的各角的度数为。 三、解答题 1、如图,在⊿ABC中,∠ACB=900,BD是角平分线,CE⊥AB, 交BD于点G,DF⊥AB,E、F为垂足,连接FG. 试判断四边形DCGF的形状。 2、如图,点P是边长为4的菱形ABCD对角线AC的 一个动点,∠BAD=60°,点M是AB边上的中点, 求MP+BP的最小值。 第四讲矩形、正方形 一、【基础知识精讲】 (一)矩形: 有一个角为直角的平行四边形叫矩形. 1.矩形的性质: (1)具有平行四边形的一切性质. (2)矩形的四个内角是直角. (3)矩形的对角线相等且互相平分. 2.矩形的判定方法: (1)有一个内角是直角的平行四边形是矩形 (2)对角线相等的平行四边形为矩形. (3)三个角是直角的四边形是矩形. 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 (二)正方形: 有一组邻边相等的矩形叫正方形.(或有一个角是直角的菱形叫正方形) 1.正方形的性质: 由于正方形既是特殊的平行四边形,又是特殊的矩形和菱形, 它集平行四边形、矩形、菱形的性质于一身. 因此,正方形具有以下性质: (1)对边平行,四条边都相等. (2)四个角都是直角. (3)两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角. 2.正方形的判定方法: (1)有一组邻边相等的矩形是正方形. (2)有一个角是直角的菱形是正方形. 二、【例题精讲】 例1.矩形具有一般平行四边形不具有的性质是() A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相平分 例2.已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°,则两条对角线所成锐角的度数为__. 例3.四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,能判定这个四边形是正方形的是() A.AO=BO=CO=DO,AC⊥BDB.AB∥CD,AC⊥BD C.AD∥BC,∠A=∠CD.AO=CO,BO=DO,AB=BC 例4.矩形的两条对角线的夹角为60°,一条对角线与短边的和为15, 则对角线长为_______,短边长为_______. 例5.正方形的一条边长是3,那么它的对角线长是_______. 例6.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC, 垂足分别为E、F.求证: 四边形CFDE是正方形. 例7.已知矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,AE⊥BD于E, 若∠DAE: ∠BAE=3: 1,求∠EAC的度数. 【练一练】 一、选择题 1.两条平行线被第三条直线所截,两组内错角的平分线相交所成的四边形是() A.一般平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形 2.在矩形ABCD的边AB上有一点E,且CE=DE,若AB=2AD,则∠ADE等于() A.45°B.30°C.60°D.75° 3.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分,则该矩形的周长是() A.16B.22C.26D.22或26 4.在正方形ABCD中,AB=12cm,对角线AC、BD相交于O,则△ABO的周长是() A.12+12 B.12+6 C.12+ D.24+6 二、填空题 1.延长等腰△ABC的腰BA到D,CA到E,分别使AD=AB,AE=AC, 则四边形BCDE是________,其判别根据是_______. 2.矩形ABCD的周长是56cm,它的两条对角线相交于O,△AOB的周长比△BOC的 周长少4cm,则AB=_______,BC=_______. 3.在一正方形的四角各截去全等的等腰直角三角形而得到一个小正方形, 若小正方形的边长为1,那么所截的三角形的直角边长是________. 【探究拓展】 例1、如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AE平分∠BAD,AE交BC于E。 求∠BOE的度数。 例2、如图,正方形ABCD中,AC是对角线,今有较大的直角三角板,一边始终经过点B,直角顶点P在射线AC上移动,另一边交DC于Q. (1)如图1,当点Q在DC边上时,猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系;并加以证明; (2)如图2,当点Q落在DC的延长线上时,猜想并写出PB与PQ满足的数量关系,请证明你的猜想. 例3、如图,点M是矩形ABCD的边AD中点,点P是BC边上一动点,PE⊥MC,PF⊥BM,垂足分别为E、F, (1)当四边形PEMF为矩形时,矩形ABCD的长与宽应满足什么条件? (2)在 (1)中,当点P运动到什么位置时,四边形PEMF变为正方形? 为什么? 【变式练习】 1、如图,E为矩形ABCD的边AD上一点,且BE=ED,P为对角线BD上一点,PF⊥BE于F,PG⊥AD于G。 求证: PF+PG=AB。 2、如图,若从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与∠BAD的平分线相交于点E,求证: AC=CE。 3、如图,M为正方形ABCD边AB的中点,E是AB延长线上的一点,MN⊥DM,且交∠CBE的平分线于N. (1)求证: MD=MN; (2)若将上述条件中的“M为AB边的中点”改为“M为AB边上任意一点”,其余条件不变,则结论“MD=MN”成立吗? 如果成立,请证明;如果不成立,说明理由. 4、如图,正方形ABCD中,E、F分别是CD、DA的中点,BE与CF交于P点。 求证: AP=AB。 三、【课堂同步】 一、选择题: 1、如图,已知正方形ABCD的边长为5 cm,E为DC上一点, ∠EBC=300,则BE的长为() A. cmB.2 cmC.5cmD.10cm 2、如图,等边三角形ABE与正方形ABCD有一条公共边, 则∠AED等于() A.100B.12.50C.150D.200 3、如图,E是正方形ABCD内的一点,且⊿EAB是等边三角形, 则∠ADE等于() A、700B、72.50C、750D、77.50 4、用长为30cm的一根绳子,围成一根矩形,其面积最大值为() A、225cm2B、112.5cm2C、56.25cm2D、100cm2 二、填空题 5、如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,在CD上取一点E,,使AE=AB,则∠EBC=_____________. 三、解答题 6、如图,将矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C,出,BC交AD于E,AD=8,AB=4,求S⊿BED的面积。 第五讲几种特殊平行四边形的关系 一、【基础知识精讲】 (一)正方形,矩形,菱形,平行四边形的关系 (二)几种特殊平行四边形的性质 边 角 对角线 平行 四边形 对边平行 且相等 对角相等 两条对角线互相平分 矩形 对边平行 且相等 四个角都是直角 两条对角线相等且互相平分 菱形 对边平行, 四条边相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分,每条对角线平分一组对角 正方形 对边平行, 四条边相等 四个角 都是直角 两条对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角 (三)几种特殊平行四边形的常用判定方法 平行四边形 (1)两组对边分别平行; (2)两组对边分别相等; (3)一组对边平行且相等; (4)两条对角线互相平分; (5)两组对角分别相等。 矩形 (1)有三个是直角; (2)是平行四边形且有一个角是直角; (3)是平行四边形且两条对角线相等。 菱形 (1)四条边都相等; (2)是平行四边形且有一组邻边相等; (3)是平行四边形且两条对角线互相垂直。 正方形 (1)是矩形,且有一组邻边相等; (2)是菱形,且有一个角是直角。 二、【典例精讲】 例1、 (1)菱形的边长为5,一条对角线长为8,另一条对角线长为_________. (2)在正方形ABCD中,AB=12cm,对角线AC、BD相交于O,则△ABO的周长 是___________cm. (3)如图,正方形的对角线长是10cm,M是AB边上一点, 且ME⊥AC于点E,MF⊥BD于点F,则ME+MF=______. (4)如图所示,正方形 的面积为12, 是等边 三角形,点 在正方形 内,在对角线 上有一点 ,使 的和最小,则这个最小值为() A. B. C.3D. (5)如图,在菱形ABCD中,∠A=110°,E,F分别是边 AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠FPC=() A.35°B.45°C.50°D.55 例3.如图,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,连结EB,过A作AM⊥BE,垂足为M,AM交BD于点F。 (1)求证: OE=OF. (2)如下右图,若点E在AC的延长线上,AM⊥BE于点M,交DB的延长线于 点F,其他条件不变,则结论“OE=OF”还成立吗? 如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由。 三、【巩固练习】 一、选择题或填空题 1、下列说法中正确的是() A.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B.四个角都相等的四边形是矩形 C.菱形的对角线相等且每条对角线平分一组对角 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2、如图,正方形纸片ABCD的边BC上有一点E,AE=8cm, 若把纸片对折,使点A与点E重合,则纸片折痕的长. 三、解答题 1、如图,正方形纸片ABCD的边长为12cm,在BC上有一点P,且BP=5cm,将正方形 折叠,使点A与点P重合,折痕为EF,求⊿EBP的周长. 2、如图,正方形ABCD,它的边长AB=2,点P是边AB的中点,连接PD,在BA的延长线 上一点F,,使得PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上。 (1)求正方形A
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