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受力分析

高考综合复习－受力分析与平衡问题

审　　稿：

李井军　　　　　　责　　编：

郭金娟

高考动向

　　平衡类问题，不仅考查物体的受力分析，而且考查对力的处理方法。

主要考查的知识点是：

重力、弹力、摩擦力的产生条件及在力的三要素的基础上对物体进行正确的受力分析，进行正交分解，根据共点力的平衡条件和力矩的平衡条件列方程求解。

　　其中摩擦力，力的合成与分解是考查的热点，尤其是三个共点力的平衡问题。

试题有一定的难度，且命题形式多样。

　　为了抓住本部分的高考知识点，必须熟练灵活地掌握本部分知识的基本概念和基本技能及方法。

　　另外与其他知识的综合平衡问题，如在电场力作用下带电粒子的平衡、安培力作用下物体的平衡等，也是考查的重点。

知识升华

1、力的平衡

（1）力的平衡

　　物体在共点力的作用下的平衡叫力的平衡。

（2）力的平衡条件

　　在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零，即F合＝0，或者Fx＝0，Fy＝0。

（3）平衡条件的应用

　　物体的平衡条件在实际中有广泛的应用，特别在受力分析时，结合物体的平衡条件，可确定未知力的大小和方向。

2、受力分析的方法

（1）隔离法和整体法

　　将研究对象与周围物体分隔或将相对位置不变的物体系作为一个整体来分析。

（2）假设法

　　在判断某力是否存在时，可先对其作出存在或不存在的假设，然后再就该力存在与不存在对物体运动状态是否产生影响来判断该力是否存在。

　　注意：

　　①研究对象的受力图，通常只画出根据性质命名的力，不要把按效果分解的力或合成的力画进去，受力图完成后再进行力的合成或分解。

　　②区分内力和外力。

对几个物体的整体进行受力分析时，这几个物体间的作用力为内力，不能在受力图中出现；当把某一物体单独隔离分析时，原来的内力就变成了外力，要画在受力图上。

　　③在难以确定物体的某些受力情况时，可先根据（或确定）物体的运动状态进行分析，再运用平衡条件或牛顿运动定律判定未知力。

3、用平衡条件解题的常用方法

（1）力的合成、分解法

　　对于三力平衡，一般根据“任意两个力的合力与第三力等大反向”的关系，借助三角函数、相似三角形等手段求解；或将某一个力分解到另外两个力的反方向上，得到这两个分力必与另外两个力等大、反向；对于多个力的平衡，利用先分解再合成的正交分解法。

（2）力汇交原理

　　如果一个物体受三个不平行外力的作用而平衡，这三个力的作用线必在同一平面上，而且必有共点力。

（3）正交分解法

　　将各力分解到

轴上和

轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件

，多用于分析三个以上共点力作用下的物体的平衡。

值得注意的是，对

、

方向选择时，尽可能使落在

、

轴上的力多；被分解的力尽可能是已知力。

（4）矢量三角形法

　　物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力必为零，利用三角形法求得未知力。

（5）对称法

　　利用物理学中存在的各种对称关系分析问题和处理问题的方法叫做对称法。

在静力学中所研究对象有些具有对称性，模型的对称往往反映出物体或系统受力的对称性。

解题中注意到这一点，会使解题过程简化。

（6）正弦定理法

　　三力平衡时，三个力可构成一封闭三角形，若由题设条件寻找到角度关系，则可用正弦定理列式求解。

（7）相似三角形法

　　利用力的三角形和线段三角形相似。

4、平衡中的临界问题

（1）临界问题

　　某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从某种特性变化为另一种特性时，发生质的飞跃的转折状态为临界状态，临界状态也可理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象的状态，平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要变化的状态，涉及临界状态的问题叫临界问题，解决这类问题一定要注意“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。

（2）解决临界问题的方法

　　在研究物体的平衡时，经常遇到求某物理量的取值范围。

这样就涉及平衡物体的临界问题。

解决这类问题的基本思维方法是假设推理法。

即先假设这样，然后再根据平衡条件及有关知识列方程求解。

　　运用假设法解题的基本步骤是：

　　①明确研究对象；

　　②画受力图；

　　③假设可发生的临界现象；

　　④列出满足所发生的临界现象的平衡方程求解。

5、平衡物体中的极值问题

（1）极值是指研究的平衡问题中某物理量变化时出现的最大值或最小值。

　　中学物理的极值问题可分为简单极值问题和条件极值问题，区分的依据就是是否受附加条件限制。

若受附加条件限制，则为条件极值。

（2）研究平衡物体的极值问题的两种方法

　　①解析法

　　根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。

通常用到的数学知识有二次函数极值、均分定理求极值、讨论分式极值、三角函数极值，以及几何法求极值等。

　　②图解法

　　即根据物体的平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值，此法简便、直观。

　　例如：

在三角形中一条边a的大小和方向都确定，另一条边b只能确定其方向（即a、b间的夹角θ确定），欲求第三边c的最小值，则必有c垂直于b时最小，且c＝asinθ，如图所示：

典型例题透析

类型一——力学中的平衡

　　运动状态未发生改变，即

。

表现：

静止或匀速直线运动

（1）共点的三力平衡的特征规律

1、图中重物的质量为

，轻细线AO和BO的A、B端是固定的，平衡时AO是水平

的，BO与水平的夹角为

。

AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是：

（　　）

　　A、

　　B、

　　C、

　　D、

　　解析：

三根细绳在O点共点，取O点（结点）为研究对象，分析O点受力。

　　　　　O点受到AO绳的拉力F1、BO绳的拉力F2以及重物对它的拉力T三个力的作用。

　　　　　图（a），选取合成法进行研究，将F1、F2合成，得到合力F，由平衡条件知：

　　　　　则：

　　　　　图（b），选取分解法进行研究，将F2分解成互相垂直的两个分力

、

，由平衡条件知：

　　　　　则：

　　问题：

若BO绳的方向不变，则细线AO与BO绳的方向成几度角时，细线AO的拉力最小

　　结论：

共点的三力平衡时，若有一个力的大小和方向都不变，另一个力的方向不变，则第三个力一定存在着最小值。

　　举一反三

　　【变式】质量为

的物体置于动摩擦因数为

的水平面上，现对它施加一个拉力，使它做匀速直线运动，问拉力与水平方向成多大夹角时这个力最小

　　解析：

取物体为研究对象，物体受到重力

，地面的支持力N，摩擦力

及拉力T四个力作用，如图所示：

　　由于物体在水平面上滑动，则

，将

和N合成，得到合力F，由图知F与

的夹角：

　　不管拉力T方向如何变化，F与水平方向的夹角

不变，即F为一个方向不发生改变的变力。

这显然属于三力平衡中的动态平衡问题，由前面讨论知，当T与F互相垂直时，T有最小值，即当拉力与水平方向的夹角

时，使物体做匀速运动的拉力T最小。

（2）摩擦力在平衡问题中的表现

　　这类问题是指平衡的物体受到了包括摩擦力在内的力的作用。

在共点力平衡中，当物体虽然静止但有运动趋势时，属于静摩擦力；当物体滑动时，属于动摩擦力。

由于摩擦力的方向要随运动或运动趋势的方向的改变而改变，静摩擦力大小还可在一定范围内变动，因此包括摩擦力在内的平衡问题常常需要多讨论几种情况，要复杂一些。

因此做这类题目时要注意两点:

　　①由于静摩擦力的大小和方向都要随运动趋势的改变而改变，因此维持物体静止状态所需的外力允许有一定范围；又由于存在着最大静摩擦力，所以使物体起动所需要的力应大于某一最小的力。

总之，包含摩擦力在内的平衡问题，物体维持静止或起动需要的动力的大小是允许在一定范围内的，只有当维持匀速运动时，外力才需确定的数值。

　　②由于滑动摩擦力F=

，要特别注意题目中正压力的大小的分析和计算，防止出现错误。

2、重力为G的物体A受到与竖直方向成

角的外力F后，静止在竖直墙面上，如图所示，试求墙对物体A的静摩擦力。

　　分析与解答：

这是物体在静摩擦力作用下平衡问题。

首先确定研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力图。

A受竖直向下的重力G，外力F，墙对A水平向右的支持力（弹力）N，以及还可能有静摩擦力

。

这里对静摩擦力的有无及方向的判断是极其重要的。

物体之间有相对运动趋势时，它们之间就有静摩擦力；物体间没有相对运动趋势时，它们之间就没有静摩擦力。

可以假设接触面是光滑的，若不会相对运动，物体将不受静摩擦力，若有相对运动就有静摩擦力。

（注意：

这种假设的方法在研究物理问题时是常用方法，也是很重要的方法。

）

　　具体到这个题目，在竖直方向物体A受重力G以及外力F的竖直分量，即

。

　　当接触面光滑时，物体能保持静止；

　　当

时，物体A有向下运动的趋势，那么A应受到向上的静摩擦力；

　　当

时，物体A则有向上运动的趋势，受到的静摩擦力的方向向下，因此应分三种情况说明。

　　从这里可以看出，由于静摩擦力方向能够改变，数值也有一定的变动范围，同时，滑动摩擦力虽有确定数值，但方向则随相对滑动的方向而改变，因此，讨论使物体维持某一状态所需的外力F的许可范围和大小是很重要的。

何时用等号，何时用不等号，必须十分注意。

（3）弹性力作用下的平衡问题

3、如图所示，一个重力为

的小环套在竖直的半径为

的光滑大圆环上，一劲度系数为k，自然长度为L（L<2r）弹簧的一端固定在小环上，另一端固定在大圆环的最高点A。

当小环静止时，略去弹簧的自重和小环与大圆环间的摩擦。

求弹簧与竖直方向之间的夹角

。

　　解析：

选取小环为研究对象，孤立它进行受力情况分析：

小环受重力

、大圆环沿半径方向的支持力N、弹簧对它的拉力F的作用，显然，

。

　　解法1——运用正交分解法

　　如图所示，选取坐标系，以小环所在位置为坐标原点，过原点沿水平方向为

轴，沿竖直

方向为

轴。

　　解得

　　解法2——用相似比法

　　小环在三个力F、G、N作用下处于平衡状态，这三个力必组成首尾相连的三角形，题述中恰有三角形AO

与它相似，则必有对应边成比例

　　举一反三

　　【变式】用轻弹簧竖直悬挂质量为m的物体，静止时弹簧伸长量为L。

现用该弹簧沿斜面方向拉住质量里为2m的物体，系统静止时弹簧伸长量也为L。

斜面倾角为30°，如图所示。

则

物体所受摩擦力：

（　）

　　A．等干零

　　B．大小为

mg，方向沿斜面向下

　　C．大小为

mg，方向沿斜面向上

　　D．大小为mg，方向沿斜面向上

　　答案：

A

　　解析：

竖直挂时mg＝kΔx，当质量为2m放到斜面上时，2mgsin30°＝f＋kΔx，因两次时长度一样，所以Δx也一样。

解这两个方程可得，物体受到的摩擦力为零。

A正确。

（4）动中有静，静中有动问题

4、如图所示，质量为M的木箱放在水平面上，木箱中的立杆上套着一个质量为m的小球，开始时小球在杆的顶端，由静止释放后，小球沿杆下滑的加速度为重力加速度的

，即a=

g，则小球在下滑的过程中，木箱对地面的压力为多少

　　解析：

因为球以a=

g的加速度加速下滑时，球受到向上的摩擦力

，

　　　　　根据第二定律有

，

　　　　　所以

。

　　　　　对木箱进行受力分析有：

重力

、地面支持力N、及球对杆向下的摩擦力

。

　　　　　由平衡条件有

。

　　举一反三

　　【变式】滑板运动是一项非常刺激的水上运动，研究表明，在进行滑板运动时，水对滑板的作用力Fx垂直于板面，大小为kv2，其中v为滑板速率（水可视为静止）.某次运动中，在水平牵引力作用下，当滑板和水面的夹角θ=37°时，滑板做匀速直线运动，相应的k=54kg/m，人和滑板的总质量为108kg,试求（重力加速度g取10m/s2,sin37°取

，忽略空气阻力）：

（1）水平牵引力的大小；

（2）滑板的速率；

　　（3）水平牵引力的功率.

　　解析：

（1）以滑板和运动员为研究对象，其受力如图所示

　　　　由共点力平衡条件可得

　　　　　　①

　　　　　　　②

　　　　由①、②联立，得

　　　　F=810N

（2）　

　　　　得

m/s

　　（3）水平牵引力的功率

　　　　P=Fv

　　　　=4050W

（5）在电场、磁场中力的平衡

5、如图所示，匀强电场方向向右，匀强磁场方向垂直于纸面向里，一质量为

带电量为q的微粒以速度

与磁场垂直、与电场成45°角射入复合场中，恰能做匀速直线运动，求电场强度E的大小，磁感强度B的大小。

　　解析：

由于带电粒子所受洛仑兹力与

垂直，电场力方向与电场线平行，知粒子必须还受重力才能做匀速直线运动。

假设粒子带负电受电场力水平向左，则它受洛仑兹力

就应斜向右下与

垂直，这样粒子不能做匀速直线运动，所以粒子应带正电，画出受力分析图根据合外力为零可得，

（1）　

（2）

　　　　　由

（1）式得

，由

（1），

（2）得

（6）动态收尾平衡问题

6、如图所示，AB、CD是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间距离为

，导轨平面与水平面的夹角为

。

在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感强度为B。

在导轨的A、C端连接一个阻值为R的电阻。

一根垂直于导轨放置的金属棒

，质量为

，从静止开始沿导轨下滑。

求

棒的最大速度。

（已知

和导轨间的动摩擦因数为

，导轨和金属棒的电阻不计）

　　解析：

本题的研究对象为

棒，画出

棒的平面受力图，如图所示：

棒所受安培力F沿斜面向上，大小为

，则

棒下滑的加速度

。

棒由静止开始下滑，速度

不断增大，安培力F也增大，加速度

减小。

　　　　　当

=0时达到稳定状态，此后

棒做匀速运动，速度达最大。

。

　　　　　解得

棒的最大速度

。

7、如图是磁流体发电机工作原理图。

磁流体发电机由燃烧室（O）、发电通道（E）和偏转磁场（B）组成。

在2500K以上的高温下，燃料与氧化剂在燃烧室混合、燃烧后，电离为正负离子（即等离子体），并以每秒几百米的高速喷入磁场，在洛仑兹力的作用下，正负离子分别向上、下极板偏转，两极板因聚积正负电荷而产生静电场。

这时等离子体同时受到方向相反的洛仑兹力（

）与电场力（F）的作用，当F=

时，离子匀速穿过磁场，两极板

电势差达到最大值，即为电源的电动势。

设两板间距为d，板间磁场的磁感强度为B，等离子体速度为

，负载电阻为R，电源内阻不计，通道截面是边长为d的正方形，试求：

（1）磁流体发电机的电动势

；

（2）发电通道两端的压强差

。

　　解析　

　　根据两板电势差最大值的条件

　　所以磁流发电机的电动势为

　　设电源内阻不计，通道横截面边长等于

的正方形，且入口处压强为

，出口处的压强为

；

　　当开关S闭合后，发电机电功率为

　　根据能量的转化和守恒定律有

　　所以通道两端压强差为

类型二——电磁学中的平衡

（1）电桥平衡

　　若没有R，则R1和R2串联后与R3和R4串联后再并联。

　　设通过R1的电流为I1，通过R3的电流I2，如有：

I1R1=I2R3，I1R2=I2R4　则R两端电势差为0，所以R中的电流为0，即电桥平衡。

（2）静电平衡

8、一金属球，原来不带电。

现沿球的直径的延长线放置一均匀带电的细杆MN，如图所示。

金属球上感应电荷产生的电场在球内直径上

、

、

三点的场强大小分别

为

、

、

，则（　）

　　A、

最大　　

　　B、

最大　

　　C、

最大　

　　D、

=

=

　　解析：

　　当金属球在带电杆激发的电场中达到以静电平衡时，其内部的场强为0，即细杆在

、

、

产生的场强与金属球上的感应电荷在

、

、

产生的场强大小相等，方向相反，故答案C正确。

类型三——热平衡问题

9、家电电热驱蚊器中电热部分的主要元件是PTC，它是由钛酸钡等半导体材料制成的电阻器，其电阻率

与温度

的关系图象如图。

电热驱蚊器的原理是：

通电后电阻器开始发热，温度上升，使药片散发出驱蚊药，当电热器产生的热与向外散发的热平衡时，温度达到一个稳定值。

由图象可以判定：

通电后，PTC电阻器的功率变化情况是____________，稳定时的温度应取___________区间的某一值。

　　解析：

通电后应认为电压U不变。

随着温度的升高，在（0～t1）范围内，电阻率随温度的升高而减小，因此电阻减小，电功率增大，驱蚊器温度持续上升；在（t1～t2）范围内，电阻率随温度的升高而增大，因此电阻增大，电功率减小。

当电热器产生的热与向外散发的热平衡时，温度、电阻、电功率都稳定在某一值。

　　答案：

功率变化是先增大后减小，最后稳定在某一值，这时温度应在t1～t2间。

练习题目

　　1．如图所示，棒AB的B端支在地上，另一端A受水平力F作用，棒平衡，则地面对棒

B端作用力的方向为：

（　　）

　　A．总是偏向棒的左边，如F1

　　B．总是偏向棒的右边，如F3

　　C．总是沿棒的方向如F2

　　D．总是垂直于地面向上如F4

　　2．一物体静置于斜面上，如图所示，当斜面倾角逐渐增大而物体仍静止在斜面

上时，则（　）

　　A．物体受重力支持力的合力逐渐增大

　　B．物体所受重力对O点的力矩逐渐增大

　　C．物体受重力和静摩擦力的合力逐渐增大

　　D．物体受重力、支持力和静摩擦力的合力逐渐增大

　　3．A、B、C三个物体通过细线和光滑的滑轮相连，处于静止状态，如图所示，C是一箱砂子，砂子和箱的重力都等于G，动滑轮的质量不计，打开箱子下端开口，使砂子均匀流出，经过时间t0流完，则下图中哪个图线表示在这过程中桌面对物体B的摩擦力f随时间的变化关系（　）

　　4．重为G粗细均匀的棒AB用轻绳MPN悬吊起来，如图所示。

当棒静止时，有：

（　）

　　A．棒必处于水平

　　B．棒必与水平相交成300角且N高M低

　　C．绳子MP和NP的张力必有TMP>TNP，且绳子OP的张力TOP=G

　　D．绳子MP和NP的张力必有TMP

　　5．如图所示，OA为一遵守胡克定律的弹性轻绳，其一端固定在天花板上的O点，另一端与静止在动摩擦因数恒定的水平地面上的滑块A相连。

当绳处于竖直位置时，滑块A与地面有压力

作用。

B为一紧挨绳的光滑水平小钉，它到天花板的距离BO等于弹性绳的自然长度。

现用水平力F作用于A，使之向右作直线运动，在运动过程中，作用于A的摩擦力：

（　）

　　A．逐渐增大　　　　B．逐渐减小　

　　C．保持不变　　　　D．条件不足，无法判断

　　6．物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，如图所示，已知F1与F2垂直，F2与F3间的夹角为120°，则三个力大小之比为__________________。

　　7．如图所示，竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘。

两个带有同种电荷的小球Ａ、Ｂ分别处于竖直墙面和水平地面，且处于同一竖直面内，若用图示方向的水平推力Ｆ作用于小球，则两球静止于图示位置，如果将小球Ｂ向左推动少许，并待两球重新达到平衡时，则推力Ｆ将___________（填增大、不变或减小）；两小球间距离将____________（填增大、不变或减小）。

　　8.在倾角为θ，用绝缘材料做成的斜面上放一个质量为ｍ，带电量为＋ｑ的小滑块，滑块与斜面的动摩擦因数为μ，μ＜tanθ，整个装置处在大小为Ｂ方向垂直斜面向上的匀强磁场中。

则滑块在斜面上运动达到的稳定速度大小为__________________。

　　9．建筑工地上的黄砂，若堆成圆锥形而且不管如何堆其锥角总是不变，试证明之。

如果测出其圆锥底的周长为，高为，求黄砂之间的动摩擦因数。

（设滑动摩擦力与最大静摩擦力相等）

　　10．一轻绳跨过两个等高的定滑轮（不计大小和摩擦），两端分别挂上质量为m1=4Kg和m2=2Kg的物体，如图所示。

在滑轮之间的一段绳上悬挂物体m，为使三个物体能保持平衡，求m的取值范围。

　　11．如图所示，两条间距为d，表面光滑的平行金属导轨M、N，导轨平面与水平面的倾角为θ，导轨的一端有一电池组与M、N相连，整个装置处在方向竖直向下、磁感强度为B的匀强磁场中。

现将一质量为m的水平金属棒PQ与轨道垂直地置于导轨上，这时两导轨与金属棒在回路中的电阻值为R，PQ棒刚好处于静止状态。

设电池组的内阻为r，试计算电池组的电动势E，并标明金属棒PQ中的电流方向。

　　12．如图所示，在绝缘的水平桌面上，固定着两个圆环，它们的半径相等，环面竖直、相互平行，间距是20cm，两环由均匀的电阻丝制成，电阻都是9

，在两环的最高点a和b之间接有一个内阻为

的直流电源，连接导线的电阻可忽略不计，空间有竖直向上的磁感强度为×10－1T的匀强磁场.一根长度等于两环间距，质量为10g，电阻为

的均匀导体棒水平地置于两环内侧，不计与环间的摩擦，当将棒放在其两端点与两环最低点之间所夹圆弧对应的圆心角均为

时，棒刚好静止不动，试求电源的电动势

（取

参考答案

　　1.B

　　2.A

　　3.B

　　4.BＣ

　　5.C

　　6.

:

1:

2　　

　　7．减小，增大

　　解析：

对A、B由整体法知地面对小球B的支持力大小等于系统的重力，

　　　　　而推力F与墙面对A的支持力

保持平衡。

　　　　　运用极端法，即考虑把B推到墙角时的状态，再隔离A，

　　　　　易知B对A的库仑力竖直向上即与A的重力平衡，可见此时支持力

为零，

　　　　　故与原来的平衡状态相比较支持力

变小，推力F将变小。

　　　　　在其他情况下库仑力需平衡A的重力和支持力

，因此库仑力将减小，

　　　　　因其电荷量不变，故由库仑定律知两个小球之间的距离变大。

　　8.

　　9．

　　解：

砂堆表面上的砂粒，将受重力、弹力的摩擦力的作用而静止，则

　，

　　　　所以

　　　　由于

不变，所以圆锥母线与底面的夹角一定是不变的。

　　10．2

Kg

　　解：

由结点处受力平衡，得

，