八上平面几何难题集锦.docx
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八上平面几何难题集锦
A
B
2)试证明:
BP=CE;
A
E图②
A图①
八年级平面几何难题集锦
1.如图,已知等边△ABC,P在AC延长线上一点,以PA为边作等边△APE,EC延长线交BP于M,连接AM,求证:
(1)
B
ACM
绕点
件不变
N
E
B
A
C
O
M
F
A
BAC
AB
DAE
的中点
M
求证
得到
2)
C
C
N
D
B
M
M
D
EM-PM=AM
1)
且点B
3.已知
BM,CN交于点
C按逆时针方向旋转一定角度,如图②所示,其他条
1)中的两个结论是否仍然成立
2)将△ACM
N分别为BE,CD
图②所示的图形.请直接写出
如图①所示,在△ABC和△ADE中
AB上一点,△
F。
求证
△CBN都是等边三角形,线段AN,MC交于点E
A,D在一条直线上,连接BE,CD
2.点C为线段
BECD;②AMAN
1)中的结论是否依然成立?
1)AN=MB.
AC,ADAE
3)AN与BM相交所夹锐角是否发生变化。
N
NE
PM22题
在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180o,其他条件不变
O
E
F
B
C
M
4.如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以
五个结论:
5.已知:
如图,△ABC是等边三角形,过AB边上的点D作DG∥BC,交AC于点G,在GD的延长线上取点E,使DEDB,连接AE,CD.
(1)求证:
△AGE≌△DAC;
(2)过点E作EF∥DC,交BC于点F,请你连接AF,并判断△AEF是怎样的三角形,试证明你的结论.
6.如图,以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连结
EG,试判断△ABC与△AEG面积之间的关系,并说明理由.
7.在△ABC中,ABBC2,ABC120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角
(0°90°)得△A1BC1,A1B交AC于点E,A1C1分别交AC、BC于D、F两
点.如图1,观察并猜想,在旋转过程中,线段EA1与FC有怎样的数量关系?
并证明你的结论;
9.如图1,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点。
直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一条直角边与∠
CBM
的平分线BF相交于点F.
⑴如图14―1,当点E在AB边的中点位置时:
1通过测量DE,EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是;
2连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是;
3请证明你的上述两猜想.
⑵如图14―2,当点E在AB边上的任意位置时,请你在AD边上找到一点N,使得NE=BF,进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明
10.已知Rt△ABC中,ACBC,∠C90,D为AB边的中点,EDF90°,EDF绕D点旋转,它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于E、F.
1
当EDF绕D点旋转到DEAC于E时(如图1),易证S△DEFS△CEFS△ABC
DEFCEF2ABC
当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否
成立?
若成立,请给予证明;若不成立,S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系?
请
12.等边△ABC,D为△ABC外一点,∠BDC=120°,BD=DC.∠MDN=60°射线DM与直线AB相交于点M,射线DN与直线AC相交于点N,
1当点M、N在边AB、AC上,且DM=DN时,直接写出BM、NC、MN之间的数量关系.
2当点M、N在边AB、AC上,且DM≠DN时,猜想①中的结论还成立吗?
若成立,请证明.
3当点M、N在边AB、CA的延长线上时,请画出图形,并写出BM、NC、MN之间的数
13.如图1,BD是等腰RtΔABC的角平分线,∠BAC=90
1)求证BC=AB+AD;
2)如图2,AF⊥BD于F,CE⊥BD交延长线于E,求证:
BD=2CE;
图2
15.如图,四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,AD+AB=2AE,则∠B与∠ADC互补.为什么?
16.如图4,在△ABC中,BD=CD,∠ABD=∠ACD,求证AD平分∠BAC.
17.如图,在△ABC中∠ABC,∠ACB的外角平分线交P.求证:
AP是∠BAC的角平分线
AC平分∠BAD,∠ADC+∠ABC=180度,CEAB之间的数量关系,
19.如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:
OE=OD
20.如图所示,已知在△AEC中,∠E=90°,AD平分∠EAC,DF⊥AC,垂足为F,DB=DC,求证:
BE=CF
21.如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全
等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;
2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而
(1)中的其它条件不变,请问,
22.已知:
如图,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,且BD=CD,求证:
(1)△BDE≌△
CDF
(2)点D在∠A的平分线上
24.已知:
如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连结DH与BE相交于点G。
(!
)求证:
BF=AC;
1
(2)求证:
CE=BF;
2
(3)CE与BC的大小关系如何?
试证明你的结论。
25.如图,在四边形ABCD中,AB=BC,BF是∠ABC的平分线,AF∥DC,连接AC、CF,求证:
CA是∠DCF的平分线。
26.数学课上,张老师出示了问题:
如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.AEF90o,且EF交正方形外角DCG的平分线CF于点F,求证:
AE=EF.
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:
取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证△AME≌△ECF,所以AEEF.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:
如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)小华提出:
如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件
不变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.
图1图2图3
27.△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q,求证:
AB+BP=BQ+AQ。
28.问题背景,如下命题:
1如图1,在正三角形ABC中,N为BC边上任一点,CM为正三角形外角∠ACK的平分线,若∠ANM=60°,则AN=NM
2
AN=NM
ABCDE中,N为BC边上任一点,CM为正五边形外角∠DCK的平°,则AN=NM
如图2,在正方形ABCD中,N为BC边上任一点,CM为正方形外角∠DCK的平分线,若∠ANM=90°,则
3如图3,在正五边形分线,若∠ANM=108
任务要求:
⑴请你证明以上三个命题;
⑵请你继续完成下面的探索:
①如图4,在正n(n≥3)边形ABCDEF⋯中,N为BC边上任一点,CM为正n边形外角∠DCK的平分线,问当∠ANM等于多少度时,结论AN=NM成立(不要求证明).
②如图5,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=CD,N为BC延长线上一点,CM为∠DCN的平分线,若∠ANM=∠ABC,请问AN=NM是否还成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
29.如图,在△ABC中,∠A=90°,D是AC上的一点,BD=DC,P是BC上的任一点,PE⊥BD,PF⊥AC,E、F为垂足.求证:
PE+PF=AB.
30.如图,已知△ABC中,AB=AC=6cm,∠B=∠C,BC=4cm,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,则经过后,点P与点Q第一次在△ABC的边上相遇?
(在横线上直接写出答案,不必书写解题过程)
31.已知:
在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的左侧作等腰直角△ADE,解答下列各题:
如果AB=AC,∠BAC=90°.
(i)当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图甲,线段BD,CE之间的位置关系为(ii)当点D在线段BC的延长线上时,如图乙,i)中的结论是否还成立?
为什么?
32.已知△ABC为等边三角形,点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合),以AD为边作菱形ADEF(A、D、E、F按逆时针排列),使∠DAF=60°,连接CF.
(1)如图1,当点D在边BC上时,求证:
①BD=CF;②AC=CF+CD;
(2)如图2,当点D在边BC
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