高考数学理科一轮复习等差数列及其前n项和学案带答案.docx
- 文档编号:746765
- 上传时间:2022-10-12
- 格式:DOCX
- 页数:10
- 大小:21.55KB
高考数学理科一轮复习等差数列及其前n项和学案带答案.docx
《高考数学理科一轮复习等差数列及其前n项和学案带答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学理科一轮复习等差数列及其前n项和学案带答案.docx(10页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高考数学理科一轮复习等差数列及其前n项和学案带答案
高考数学(理科)一轮复习等差数列及其前n项和学案带答案
学案29 等差数列及其前n项和
导学目标:
1理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3了解等差数列与一次函数的关系4能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.自主梳理
1.等差数列的有关定义
(1)一般地,如果一个数列从第____项起,每一项与它的前一项的____等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为____________(n∈N*,d为常数).
(2)数列a,A,b成等差数列的充要条是__________,其中A叫做a,b的__________.
2.等差数列的有关公式
(1)通项公式:
an=________,an=a+________(,n∈N*).
(2)前n项和公式:
Sn=__________=____________
3.等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn=d2n2+a1-d2n
数列{an}是等差数列的充要条是其前n项和公式Sn=__________
4.等差数列的性质
(1)若+n=p+q(,n,p,q∈N*),则有__________,特别地,当+n=2p时,______________
(2)等差数列中,S,S2-S,S3-S2成等差数列.
(3)等差数列的单调性:
若公差d>0,则数列为____________;若d<0,则数列为__________;若d=0,则数列为________.
自我检测
1.(2010•北京海淀区模拟)已知等差数列{an}中,a+a9-a7=10,记Sn=a1+a2+…+an,则S13的值为( )
A.130B.260
.16D.168
2.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,则公差d等于( )
A.1B3.2D.3
3.(2010•泰安一模)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若aa3=9,则S9S等于( )
A.1B.-1
.2D12
4.(2010•湖南师大附中)若等差数列{an}的前项之和S=2,且a2=3,则a7等于( )
A.12B.13.14D.1
.设等差数列{an}的前n项和为Sn若S9=72,则a2+a4+a9=________探究点一 等差数列的基本量运算
例1 等差数列{an}的前n项和记为Sn已知a10=30,a20=0,
(1)求通项an;
(2)若Sn=242,求n
变式迁移1 设等差数列{an}的公差为d(d≠0),它的前10项和S10=110,且a1,a2,a4成等比数列,求公差d和通项公式an
探究点二 等差数列的判定
例2 已知数列{an}中,a1=3,an=2-1an-1(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=1an-1(n∈N*).
(1)求证:
数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}中的最大值和最小值,并说明理由.
变式迁移2 已知数列{an}中,a1=且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*).
(1)求a2,a3的值.
(2)是否存在实数λ,使得数列{an+λ2n}为等差数列?
若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
探究点三 等差数列性质的应用
例3 若一个等差数列的前项之和为34,最后项之和为146,且所有项的和为360,求这个数列的项数.
变式迁移3 已知数列{an}是等差数列.
(1)前四项和为21,末四项和为67,且前n项和为286,求n;
(2)若Sn=20,S2n=38,求S3n;
(3)若项数为奇数,且奇数项和为44,偶数项和为33,求数列的中间项和项数.
探究点四 等差数列的综合应用
例4 (2011•厦门月考)已知数列{an}满足2an+1=an+an+2(n∈N*),它的前n项和为Sn,且a3=10,S6=72若bn=12an-30,求数列{bn}的前n项和的最小值.
变式迁移4 在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-36,其前n项和为Sn
(1)求Sn的最小值,并求出Sn取最小值时n的值.
(2)求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
1.等差数列的判断方法有:
(1)定义法:
an+1-an=d(d是常数)⇔{an}是等差数列.
(2)中项公式:
2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列.
(3)通项公式:
an=pn+q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列.
(4)前n项和公式:
Sn=An2+Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列.
2.对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n项和公式,在两个公式中共五个量a1、d、n、an、Sn,已知其中三个量可求出剩余的量,而a与d是最基本的,它可以确定等差数列的通项公式和前n项和公式.
3.要注意等差数列通项公式和前n项和公式的灵活应用,如an=a+(n-)d,S2n-1=(2n-1)an等.
4.在遇到三个数成等差数列问题时,可设三个数为①a,a+d,a+2d;②a-d,a,a+d;③a-d,a+d,a+3d等可视具体情况而定.(满分:
7分)
一、选择题(每小题分,共2分)
1.(2010•重庆)在等差数列{an}中,a1+a9=10,则a的值为( )
A.B.6.8D.10
2.(2010•全国Ⅱ)如果等差数列an中,a3+a4+a=12,那么a1+a2+…+a7=( )
A.14B.21.28D.3
3.(2010•东潍坊五校联合高三期中)已知{an}是等差数列,a1=-9,S3=S7,那么使其前n项和Sn最小的n是( )
A.4B..6D.7
4.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-13a11的值为( )
A.14B.1.16D.17
.等差数列{an}的前n项和满足S20=S40,下列结论中正确的是( )
A.S30是Sn中的最大值B.S30是Sn中的最小值
.S30=0D.S60=0
题号1234
答案
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.(2010•辽宁)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=________
7.(2009•海南,宁夏)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a-1+a+1-a2=0,S2-1=38,则=________
8.在数列{an}中,若点(n,an)在经过点(,3)的定直线l上,则数列{an}的前9项和S9=________
三、解答题(共38分)
9.(12分)(2011•莆田模拟)设{an}是一个公差为d(d≠0)的等差数列,它的前10项和S10=110,且a22=a1a4
(1)证明:
a1=d;
(2)求公差d的值和数列{an}的通项公式.
10.(12分)(2010•东)已知等差数列{an}满足:
a3=7,a+a7=26,{an}的前n项和为Sn
(1)求an及Sn;
(2)令bn=1a2n-1(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn
11.(14分)(2010•广东湛师附中第六次月考)在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2).
(1)证明数列{1an}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项;
(3)若λan+1an+1≥λ对任意n≥2的整数恒成立,求实数λ的取值范围.
答案自主梳理
1.
(1)2 差 an+1-an=d
(2)A=a+b2 等差中项
2.
(1)a1+(n-1)d (n-)d
(2)na1+n(n-1)2d (a1+an)n2 3An2+Bn 4
(1)a+an=ap+aq a+an=2ap (3)递增数列 递减数列 常数列
自我检测
1.A 2 3A 4B 24
堂活动区
例1 解题导引
(1)等差数列{an}中,a1和d是两个基本量,用它们可以表示数列中的任何一项,利用等差数列的通项公式与前n项和公式,列方程组解a1和d,是解决等差数列问题的常用方法;
(2)由a1,d,n,an,Sn这五个量中的三个量可求出其余两个量,需选用恰当的公式,利用方程组观点求解.
解
(1)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=0,
得方程组a1+9d=30,a1+19d=0, 解得a1=12,d=2
所以an=2n+10
(2)由Sn=na1+n(n-1)2d,Sn=242
得12n+n(n-1)2×2=242
解得n=11或n=-22(舍去).
变式迁移1 解 由题意,知
S10=10a1+10×92d=110,(a1+d)2=a1•(a1+3d),即2a1+9d=22,a1d=d2
∵d≠0,∴a1=d解得a1=d=2,∴an=2n
例2 解题导引 1等差数列的判定通常有两种方法:
第一种是利用定义,即an-an-1=d(常数)(n≥2),第二种是利用等差中项,即2an=an+1+an-1(n≥2).
2.解选择、填空题时,亦可用通项或前n项和直接判断.
(1)通项法:
若数列{an}的通项公式为n的一次函数,即an=An+B,则{an}是等差数列.
(2)前n项和法:
若数列{an}的前n项和Sn是Sn=An2+Bn的形式(A,B是常数),则{an}为等差数列.
3.若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可.
(1)证明 ∵an=2-1an-1(n≥2,n∈N*),bn=1an-1,
∴当n≥2时,bn-bn-1=1an-1-1an-1-1
=12-1an-1-1-1an-1-1
=an-1an-1-1-1an-1-1=1
又b1=1a1-1=-2
∴数列{bn}是以-2为首项,以1为公差的等差数列.
(2)解 由
(1)知,bn=n-72,则an=1+1bn
=1+22n-7,设函数f(x)=1+22x-7,
易知f(x)在区间-∞,72和72,+∞内为减函数.
∴当n=3时,an取得最小值-1;
当n=4时,an取得最大值3
变式迁移2 解
(1)∵a1=,∴a2=2a1+22-1=13,
a3=2a2+23-1=33
(2)假设存在实数λ,使得数列{an+λ2n}为等差数列.
设bn=an+λ2n,由{bn}为等差数列,则有2b2=b1+b3
∴2×a2+λ22=a1+λ2+a3+λ23
∴13+λ2=+λ2+33+λ8,
解得λ=-1
事实上,bn+1-bn=an+1-12n+1-an-12n
=12n+1[(an+1-2an)+1]=12n+1[(2n+1-1)+1]=1
综上可知,存在实数λ=-1,使得数列{an+λ2n}为首项为2、公差为1的等差数列.
例3 解题导引 本题可运用倒序求和的方法和等差数列的性质:
若+n=p+q(,n,p,q∈N*),则a+an=ap+aq,从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷,应注意运用;也可用整体思想(把a1+n-12d看作整体).
解 方法一 设此等差数列为{an}共n项,
依题意有a1+a2+a3+a4+a=34,①
an+an-1+an-2+an-3+an-4=146②
根据等差数列性质,得
a+an-4=a4+an-3=a3+an-2=a2+an-1=a1+an
将①②两式相加,得(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(a4+an-3)+(a+an-4)=(a1+an)=180
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考 数学 理科 一轮 复习 等差数列 及其 学案带 答案