相似三角形的定义及其判定同步练习及答案.docx
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相似三角形的定义及其判定同步练习及答案
相似三角形的定义及其判定——典型题专项训练
知识点1对相似三角形定义的理解
1.下列说法中错误的是()
A.两个全等三角形一定相似
B.两个直角三角形一定相似
C.两个相似三角形的对应角相等,对应边成比例
D.相似的两个三角形不一定全等
2.已知△ABC∽△A′B′C′,且BC∶B′C′=AC∶A′C′,若AC=3,A′C′=4.5,则△A′B′C′与△ABC的相似比为()
A.1∶3B.3∶2C.3∶5D.2∶3
3.2017·贵阳期末一个三角形三边的长分别为3,5,7,另一个与它相似的三角形的最
长边是21,则该三角形的最短边是()
A.6B.9C.10D.15
4.如图4-4-1,已知△ADE∽△ACB,且∠ADE=∠C,则AD∶AC等于()
图4-4-1
A.AE∶AC
B.DE∶CB
C.AE∶BC
D.DE∶AB
5.若△ABC∽△A′B′C′,AB=2,BC=3,A′B′=1,则B′C′等于()
A.1.5B.3C.2D.1
6.如图4-4-2所示,已知△ABC∽△ADE,AD=6cm,BD=3cm,BC=9.9cm,∠A=70°,∠B=50°.
求:
(1)∠ADE的度数;
(2)∠AED的度数;
(3)DE的长.
图4-4-2
知识点2利用两角分别相等判定三角形相似
7.如图4-4-3所示的三个三角形,相似的是()
图4-4-3
),使△ADE∽△ACB.
9.如图4-4-5,添加一个条件:
(写出一个即可
10.将两块大小一样的含30°角的直角三角板叠放在一起,使得它们的斜边AB重合,
直角边不重合(如图4-4-6),AC与BD相交于点E.连接CD,请写出图中的一对相似三角形,并加以证明.
图4-4-6
11.如图4-4-7,在?
ABCD中,E是AD延长线上一点,BE交AC于点F,交DC于点G,则下列结论中错误的是
图4-4-7
()
A.△ABE∽△DGE
B.△CGB∽△DGE
C.△BCF∽△EAF
D.△ACD∽△GCF
12.2016·贵阳期末如图4-4-8,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,则图中相似三角形的对数是()
A.1B.2C.3D.4
图4-4-8
图4-4-9
13.如图4-4-9,已知P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点,若过点P作直线PD与直
角边AB或AC相交于点D,截得的小三角形与△ABC相似,则点D的位置最多有处.
14.如图4-4-10,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于点E.求证:
△ABD∽△CBE.
图4-4-10
15.如图4-4-11,△PMN是等边三角形,∠APB=120°,求证:
AM·PB=PN·AP.
图4-4-11
16.如图4-4-12,点D在等边三角形ABC的BC边上,△ADE为等边三角形,DE与AC
相交于点F.
(1)求证:
△ABD∽△DCF;
(2)
除了△ABD∽△DCF外,请写出图中其他所有的相似三角形.
(3)
图4-4-12
图4-4-13
相似三角形的判定——典型题专项训练
知识点由三边成比例判定两三角形相似
图4-4-24
2.已知AB=12cm,AC=15cm,BC=21cm,A1B1=16cm,B1C1=28cm,当A1C1=
cm时,△ABC∽△A1B1C1.
3.已知△ABC的三边长分别为AB=6cm,BC=7.5cm,AC=9cm,△DEF的三边长分别为DE=4cm,EF=5cm,DF=6cm.求证:
∠A=∠D.
4.已知△ABC的三边长分别为6cm,7.5cm,9cm,△DEF的一边长为4cm,当△DEF的另两边长是下列哪一组时,这两个三角形相似()
A.2cm,3cmB.4cm,5cm
C.5cm,6cmD.6cm,7cm
5.如图4-4-25,点A,B,C,D的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),
若以C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则点E的坐标不可能是()
A.(6,0)B.(6,3)
C.(6,5)D.(4,2)
6.如图4-4-26,在△ABC和△ADE中,ABAD=BCD=EACAE,点B,D,E在一条直线上.求证:
△ABD∽△ACE.
图4-4-26
7.如图4-4-27,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,P1,P2,P3,P4,P5是△DEF边上的5个格点,请按要求完成下列各题:
(1)求证:
△ABC为直角三角形;
(2)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;
(3)画一个三角形,使它的三个顶点为P1,P2,P3,P4,P5中的3个格点并且与△ABC相
似(要求:
不写作法与证明).
图4-4-27
1.B[解析]因为每个小正方形的边长均为1,所以已知的三角形的各边长分别为2,
2,10,B选项中的三角形三边长分别为1,2,5,三边与已知三角形的各边对应成比例,故两三角形相似.
2.20
3.证明:
∵ABDE=64=32,BCEF=7.55=32,ACDF=96=32,
∴ABDE=BCEF=ACDF,∴△ABC∽△DEF,
∴∠A=∠D.
4.C[解析]设△DEF的另两边的长分别为xcm,ycm,
若△DEF中为4cm长的边的对应边为6cm,则46=x7.5=y9,解得x=5,y=6;
若△DEF中为4cm长的边的对应边为7.5cm,则47.5=x6=y9,解得x=3.2,y=4.8;
若△DEF中为4cm长的边的对应边为9cm,则49=x6=y7.5,解得x=83,y=103.故选C.
5.B
6.证明:
∵在△ABC和△ADE中,ABAD=BCDE=ACAE,
∴△ABC∽△ADE,
∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE.
又∵ABAD=ACAE,
∴ABAC=ADAE,
∴△ABD∽△ACE.
7.解:
(1)证明:
∵AB2=20,AC2=5,BC2=25,
∴AB+AC=BC,
∴△ABC为直角三角形,且∠BAC=90°.
(2)△ABC和△DEF相似.理由:
由
(1)中数据得AB=25,AC=5,BC=5.由题意易知DE=42,DF=22,EF=210,∴ABDE=ACDF=BCEF=10)4,∴△ABC∽△DEF.
(4)如图,连接P2P5,P2P4,P4P5.
∵P2P5=10,P2P4=2,P4P5=22,
AB=25,AC=5,BC=5,∴P2P5BC=P4P5AB=P2P4AC=10)5,∴△ABC∽△P4P5P2.
详解
1.B2.B
3.B[解析]设与它相似的三角形的最短边的长为x,
∵一个三角形三边的长分别为3,5,7,另一个与它相似的三角形的最长边是21,
∴x3=217,解得x=9.故选B.
4.B[解析]根据相似三角形的定义可知,△ADE∽△ACB,且∠ADE和∠C是对应角,因此AD,AC与DE,CB对应成比例.
5.A[解析]∵△ABC∽△A′B′C′,
∴ABA′B′=BCB′C′,即21=3B′C′,
解得B′C′=1.5.故选A.
6.解:
(1)∵△ABC∽△ADE,
∴∠ADE=∠B=50°.
(2)在△ADE中,∠A+∠ADE+∠AED=180°,
∴∠AED=180°-70°-50°=60°.
(3)∵△ADE∽△ABC,
∴ADAB=DEBC,
即66+3=DE9.9,
∴DE=6.6(cm).
7.A
8.D[解析]∵CD是斜边AB上的高,
∴∠ADC=∠BDC=90°.
∵∠CAD=∠BAC,
∴Rt△ACD∽Rt△ABC.
∵∠DBC=∠CBA,
∴Rt△ABC∽Rt△CBD,
∴Rt△CBD∽Rt△ACD.共有3对.故选D.
9.∠ADE=∠C(答案不唯一)10.解:
答案不唯一,如△ADE∽△BDA.
证明:
∵∠CAB=30°,∠BAD=60°,
∴∠DAE=30°=∠DBA.
又∵∠ADE=∠BDA=90°,
∴△ADE∽△BDA.
11.D[解析]∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠EDG=∠EAB.
又∵∠E=∠E,
∴△ABE∽△DGE;
∵AE∥BC,
∴∠EDG=∠BCG,∠E=∠CBG,
∴△CGB∽△DGE;
∵AE∥BC,
∴∠E=∠FBC,∠EAF=∠BCF,
∴△BCF∽△EAF.
第四个无法证得.故选D.
12.C[解析]∵DE∥BC,EF∥AB,
∴∠ABC=∠ADE,∠AED=∠ACB,∠CEF=∠CAB,∠CFE=∠CBA,
∴△ADE∽△ABC,△EFC∽△ABC,
∴△ADE∽△EFC.
∴图中相似三角形的对数是:
3.
故选C.
13.3[解析]∵截得的小三角形与△ABC相似,∴过点P作AC的垂线,作AB的垂线,作BC的垂线,所截得的三角形均满足题意,则点D的位置最多有3处.
14.证明:
∵在△ABC中,AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC.
∵CE⊥AB,
∴∠ADB=∠CEB=90°.
又∵∠B=∠B,
∴△ABD∽△CBE.
15.证明:
∵△PMN是等边三角形,
∴∠PMN=60°,PN=MP,
∴∠AMP=180°-∠PMN=120°=∠APB.
又∵∠A=∠A,
∴△AMP∽△APB,
∴AMA=PMPPB,∴AM·PB=MP·AP,∴AM·PB=PN·AP.
16.解:
(1)证明:
∵△ABC,△ADE均为等边三角形,∴∠B=∠C=∠ADE=60°,
∴∠ADB+∠FDC=∠DFC+∠FDC,
∴∠ADB=∠DFC.
∴△ABD∽△DCF.
(2)∵∠C=∠E,∠AFE=∠DFC,
∴△AEF∽△DCF,
∴△ABD∽△AEF.
∵△ABC与△ADE均为等边三角形,
∴△ABC∽△ADE.
∵∠ADC=∠ADF+∠CDF=∠C+∠CDF=∠AFD,又∠DAF=∠CAD,
∴△ADF∽△ACD.
故除了△ABD∽△DCF外,图中的相似三角形还有:
△AEF∽△DCF,△ABD∽△AEF,△ABC∽△ADE,△ADF∽△ACD.
17.解:
(1)直线AB的函数表达式为y=-34x+6.
(2)在Rt△AOB中,由勾股定理得AB=10.
由题意,知AP=t,AQ=10-2t.可分两种情况讨论:
①当∠APQ=∠AOB时,有△APQ∽△AOB,得APAO=AQAB,解得t=3011,
此时,P\a\vs4\al\co1(0,\f(3611)),Q\a\vs4\al\co1(\f(403611).
②当∠AQP=∠AOB时,
有△APQ∽△ABO,
得APAB=AQAO,解得t=5013,
此时,P\a\vs4\al\co1(0,\f(2813)),Q\a\vs4\al\co1(\f(246013).
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