二次函数专题训练三角形周长最值问题含问题详解.docx
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二次函数专题训练三角形周长最值问题含问题详解
1.如下列图,抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A〔﹣1,0〕,B〔3,0〕两点,与y轴交于点C.
〔1〕求抛物线的解析式;
〔2〕如下列图,直线BC下方的抛物线上有一点P,过点P作PE⊥BC于点E,作PF平行于x轴交直线BC于点F,求△PEF周长的最大值;
〔3〕点M是抛物线的顶点,点N是y轴上一点,点Q是坐标平面一点,假如点P是抛物线上一点,且位于抛物线的对称轴右侧,是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形?
假如存在,直接写出点P的横坐标;假如不存在,说明理由.
2.如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D,C关于抛物线的对称轴对称,直线AD与y轴相交于点E.
〔1〕求直线AD的解析式;
〔2〕如图1,直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FG⊥AD于点G,作FH平行于x轴交直线AD于点H,求△FGH周长的最大值;
〔3〕如图2,点M是抛物线的顶点,点P是y轴上一动点,点Q是坐标平面一点,四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形,点Q′与点Q关于直线AM对称,连接MQ′,PQ′.当△PMQ′与□APQM重合局部的面积是▱APQM面积的时,求▱APQM面积.
3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕与x轴交于A,B两点〔点A在点B的左侧〕,与y轴交于点C,点A的坐标为〔﹣1,0〕,且OC=OB,tan∠ACO=.
〔1〕求抛物线的解析式;
〔2〕假如点D和点C关于抛物线的对称轴对称,直线AD下方的抛物线上有一点P,过点P作PH⊥AD于点H,作PM平行于y轴交直线AD于点M,交x轴于点E,求△PHM的周长的最大值;
〔3〕在〔2〕的条件下,以点E为端点,在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N,使得∠NEP为锐角,在线段EB上是否存在点G,使得以E,N,G为顶点的三角形与△AOC相似?
如果存在,请求出点G的坐标;如果不存在,请说明理由.
4.如图〔1〕,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A〔x1,0〕、B〔x2,0〕两点〔x1<0<x2〕,与y轴交于点C〔0,﹣3〕,假如抛物线的对称轴为直线x=1,且tan∠OAC=3.
〔1〕求抛物线的函数解析式;
〔2假如点D是抛物线BC段上的动点,且点D到直线BC距离为,求点D的坐标
〔3〕如图〔2〕,假如直线y=mx+n经过点A,交y轴于点E〔0,﹣〕,点P是直线AE下方抛物线上一点,过点P作x轴的垂线交直线AE于点M,点N在线段AM延长线上,且PM=PN,是否存在点P,使△PMN的周长有最大值?
假如存在,求出点P的坐标与△PMN的周长的最大值;假如不存在,请说明理由.
5.:
如图,直线y=﹣x+2与x轴交于B点,与y轴交于C点,A点坐标为〔﹣1,0〕.
〔1〕求过A、B、C三点的抛物线的解析式.
〔2〕在直线BC上方的抛物线上有一点D,过D作DE⊥BC于E,作DF∥y轴交BC于F,求△DEF周长的最大值.
〔3〕在满足第②问的条件下,在线段BD上是否存在一点P,使∠DFP=∠DBC.假如存在,求出点P的坐标;假如不存在,说明理由.
6.如图,抛物线y=﹣x2+〔m﹣1〕x+m〔m>1〕与x轴交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕,与y轴交于点C〔0,3〕.
〔1〕求抛物线的解析式;
〔2〕点D和点C关于抛物线的对称轴对称,点你F在直线AD上方的抛物线上,FG⊥AD于G,FH∥x轴交直线AD于H,求△FGH的周长的最大值;
〔3〕点M是抛物线的顶点,直线l垂直于直线AM,与坐标轴交于P、Q两点,点R在抛物线的对称轴上,使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形,求直线l的解析式.
7.如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与坐标轴交于A,B,C三点,抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对称.
〔1〕直接写出点D的坐标和直线AD的解析式;
〔2〕点E是抛物线上位于直线AD上方的动点,过点E分别作EF∥x轴,EG∥y轴并交直线AD于点F、G,求△EFG周长的最大值;
〔3〕假如点P为y轴上的动点,如此在抛物线上是否存在点Q,使得以A,D,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?
假如存在,请求出点Q的坐标,假如不存在,请说明理由.
8.如图,抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴相交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕,交y轴与点D,点C〔0,〕,连接AC.
〔1〕求直线AC的解析式;
〔2〕点P是直线AC上方的抛物线上一动点,过点P作PE∥y轴,交直线AC于点E,过点P作PG⊥AC,垂足为G,当△PEG周长最大时,在x轴上存在一点Q,使|QP﹣QC|的值最大,请求出这个最大值以与点P的坐标;
〔3〕当〔2〕题中|QP﹣QG|取得最大值时,直线PG交y轴于点M,把抛物线沿直线AD平移,平移后的抛物线y′与直线AD相交的一个交点为A′,在平移的过程中,是否存在点A′,使得点A′,P,M三点构成的三角形为等腰三角形,假如存在,直接写出点A′的坐标;假如不存在,请说明理由.
9.如图,抛物线y=﹣x2+x+3交x轴于A、B两点,点A在点B的左侧,交y轴于点C.
〔1〕求直线AC与直线BC的解析式;
〔2〕如图1,P为直线BC上方抛物线上的一点;
①过点P作PD⊥BC于点D,作PM∥y轴交直线BC于点M,当△PDM的周长最大时,求P点坐标与周长最大值;
②在①的条件下,连接AP与y轴交于点E,抛物线的对称轴与x轴交于点K,假如S为直线BC上一动点,T为直线AC上一动点,连接EK,KS,ST,TE,求四边形EKST周长的最小值;
〔3〕如图2,将△AOC顺时针旋转60°得到△A′OC′,将△A′OC′沿直线OC′平移,记平移中的△A′OC′为△A″O′C″,直线A″O′与x轴交于点F,将△O′C″F沿O′C″翻折得到△O′C″F′,当△CC″F′为等腰三角形时,求此时F点的坐标.
参考答案与试题解析
1.如下列图,抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A〔﹣1,0〕,B〔3,0〕两点,与y轴交于点C.
〔1〕求抛物线的解析式;
〔2〕如下列图,直线BC下方的抛物线上有一点P,过点P作PE⊥BC于点E,作PF平行于x轴交直线BC于点F,求△PEF周长的最大值;
〔3〕点M是抛物线的顶点,点N是y轴上一点,点Q是坐标平面一点,假如点P是抛物线上一点,且位于抛物线的对称轴右侧,是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形?
假如存在,直接写出点P的横坐标;假如不存在,说明理由.
【解答】解:
〔1〕把A〔﹣1,0〕,B〔3,0〕两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3,
得到,
解得,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3.
〔2〕如图1中,连接PB、PC.设P〔m,m2﹣2m﹣3〕,
∵B〔3,0〕,C〔0,﹣3〕,
∴OB=OC,
∴∠OBC=45°,
∵PF∥OB,
∴∠PFE=∠OBC=45°,
∵PE⊥BC,
∴∠PEF=90°,
∴△PEF是等腰直角三角形,
∴PE最大时,△PEF的面积中点,此时△PBC的面积最大,
如此有S△PBC=S△POB+S△POC﹣S△BOC=•3•〔﹣m2+2m+3〕+•3•m﹣=﹣〔m﹣〕2+,
∴m=时,△PBC的面积最大,此时△PEF的面积也最大,
此时P〔,﹣〕,
∵直线BC的解析式为y=x﹣3,
∴F〔﹣,﹣〕,
∴PF=,
∵△PEF是等腰直角三角形,
∴EF=EP=,
∴C△PEF最大值=+.
〔3〕①如图2中,
当N与C重合时,点N关于对称轴的对称点P,此时思想MNQP是正方形,易知P〔2,﹣3〕.点P横坐标为2,
②如图3中,当四边形PMQN是正方形时,作PF⊥y轴于N,ME∥x轴,PE∥y轴.
易知△PFN≌△PEM,
∴PF=PE,设P〔m,m2﹣2m﹣3〕,
∵M〔1,﹣4〕,
∴m=m2﹣2m﹣3﹣〔﹣4〕,
∴m=或〔舍弃〕,
∴P点横坐标为
所以满足条件的点P的横坐标为2或.
2.如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D,C关于抛物线的对称轴对称,直线AD与y轴相交于点E.
〔1〕求直线AD的解析式;
〔2〕如图1,直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FG⊥AD于点G,作FH平行于x轴交直线AD于点H,求△FGH周长的最大值;
〔3〕如图2,点M是抛物线的顶点,点P是y轴上一动点,点Q是坐标平面一点,四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形,点Q′与点Q关于直线AM对称,连接MQ′,PQ′.当△PMQ′与□APQM重合局部的面积是▱APQM面积的时,求▱APQM面积.
【解答】解:
〔1〕令﹣x2+2x+3=0,
解得x1=﹣1,x2=3,
∴A〔﹣1,0〕,C〔0,3〕,
∵点D,C关于抛物线的对称轴对称,
∴D〔2,3〕,
∴直线AD的解析式为:
y=x+1;
〔2〕设点F〔x,﹣x2+2x+3〕,
∵FH∥x轴,
∴H〔﹣x2+2x+2,﹣x2+2x+3〕,
∴FH=﹣x2+2x+2﹣x=﹣〔x﹣〕2+,
∴FH的最大值为,
由直线AD的解析式为:
y=x+1可知∠DAB=45°,
∵FH∥AB,
∴∠FHG=∠DAB=45°,
∴FG=GH=×=
故△FGH周长的最大值为×2+=;
〔3〕①当P点在AM下方时,如图1,
设P〔0,p〕,易知M〔1,4〕,从而Q〔2,4+p〕,
∵△PMQ′与▱APQM重合局部的面积是▱APQM面积的,
∴PQ′必过AM中点N〔0,2〕,
∴可知Q′在y轴上,
易知QQ′的中点T的横坐标为1,而点T必在直线AM上,
故T〔1,4〕,从而T、M重合,
∴▱APQM是矩形,
∵易得直线AM解析式为:
y=2x+2,
∵MQ⊥AM,
∴直线QQ′:
y=﹣x+,
∴4+p=﹣×2+,
解得:
p=﹣,
∴PN=,
∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4××PN×AO=4×××1=5;
②当P点在AM上方时,如图2,
设P〔0,p〕,易知M〔1,4〕,从而Q〔2,4+p〕,
∵△PMQ′与▱APQM重合局部的面积是▱APQM面积的,
∴PQ′必过QM中点R〔,4+〕,易得直线QQ′:
y=﹣x+p+5,
联立,解得:
x=,y=,
∴H〔,〕,∵H为QQ′中点,
故易得Q′〔,〕,
由P〔0,p〕、R〔,4+〕易得直线PR解析式为:
y=〔﹣〕x+p,
将Q′〔,〕代入到y=〔﹣〕x+p得:
=〔﹣〕×+p,
整理得:
p2﹣9p+14=0,
解得p1=7,p2=2〔与AM中点N重合,舍去〕,
∴P〔0,7〕,
∴PN=5,
∴S□APQM=2S△AMP=2××PN×|xM﹣xA|=2××5×2=10.
综上所述,▱APQM面积为5或10.
3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕与x轴交于A,B两点〔点A在点B的左侧〕,与y轴交于点C,点A的坐标为〔﹣1,0〕,且OC=OB,tan∠ACO=.
〔1〕求抛物线的解析式;
〔2〕假如点D和点C关于抛物线的对称轴对称,直线AD下方的抛物线上有一点P,过点P作PH⊥AD于点H,作PM平行于y轴交直线AD于点M,交x轴于点E,求△PHM的周长的最大值;
〔3〕在〔2〕的条件下,以点E为端点,在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N,使得∠NEP为锐角,在线段EB上是否存在点G,使得以E,N,G为顶点的三角形与△AOC相似?
如果存在,请求出点G的坐标;如果不存在,请说明理由.
【解答】解:
〔1〕∵点A的坐标为〔﹣1,0〕,
∴OA=1.
又∵tan∠ACO=,
∴OC=4.
∴C〔0,﹣4〕.
∵OC=OB,
∴OB=4
∴B〔4,0〕.
设抛物线的解析式为y=a〔x+1〕〔x﹣4〕.
∵将x=0,y=﹣4代入得:
﹣4a=﹣4,解得a=1,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4.
〔2〕∵抛物线的对称轴为x=﹣=,C〔0,﹣4〕,点D和点C关于抛物线的对称轴对称,
∴D〔3,﹣4〕.
设直线AD的解析式为y=kx+b.
∵将A〔﹣1,0〕、D〔3,﹣4〕代入得:
,解得k=﹣1,b=﹣1,
∴直线AD的解析式y=﹣x﹣1.
∵直线AD的一次项系数k=﹣1,
∴∠BAD=45°.
∵PM平行于y轴,
∴∠AEP=90°.
∴∠PMH=∠AME=45°.
∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+MP+PM=〔1+〕PM.
设P〔a,a2﹣3a﹣4〕,M〔﹣a﹣1〕,如此PM=﹣a﹣1﹣〔a2﹣3a﹣4〕=﹣a2+2a+3,
∵PM=﹣a2+2a+3=﹣〔a﹣1〕2+4,
∴当a=1时,PM有最大值,最大值为4.
∴△MPH的周长的最大值=4×〔1+〕=4+4.
〔3〕如图1所示;当∠EGN=90°.
设点G的坐标为〔a,0〕,如此N〔a,a2﹣3a﹣4〕.
∵∠EGN=∠AOC=90°,
∴时,△AOC∽△EGN.
∴=,整理得:
a2+a﹣8=0.
解得:
a=〔负值已舍去〕.
∴点G的坐标为〔,0〕.
如图2所示:
当∠EGN=90°.
设点G的坐标为〔a,0〕,如此N〔a,a2﹣3a﹣4〕.
∵∠EGN=∠AOC=90°,
∴时,△AOC∽△NGE.
∴=4,整理得:
4a2﹣11a﹣17=0.
解得:
a=〔负值已舍去〕.
∴点G的坐标为〔,0〕.
∵EN在EP的右面,
∴∠NEG<90°.
如图3所示:
当∠ENG′=90°时,
EG′=EG××=〔﹣1〕×=.
∴点G′的横坐标=.
∵≈>4,
∴点G′不在EG上.
故此种情况不成立.
综上所述,点G的坐标为〔,0〕或〔,0〕.
4.如图〔1〕,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A〔x1,0〕、B〔x2,0〕两点〔x1<0<x2〕,与y轴交于点C〔0,﹣3〕,假如抛物线的对称轴为直线x=1,且tan∠OAC=3.
〔1〕求抛物线的函数解析式;
〔2假如点D是抛物线BC段上的动点,且点D到直线BC距离为,求点D的坐标
〔3〕如图〔2〕,假如直线y=mx+n经过点A,交y轴于点E〔0,﹣〕,点P是直线AE下方抛物线上一点,过点P作x轴的垂线交直线AE于点M,点N在线段AM延长线上,且PM=PN,是否存在点P,使△PMN的周长有最大值?
假如存在,求出点P的坐标与△PMN的周长的最大值;假如不存在,请说明理由.
【解答】解:
〔1〕在Rt△AOC中,tan∠AOC==3,且OC=3,
∴OA=1,如此A〔﹣1,0〕,
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
如此点A〔﹣1,0〕关于直线x=1的对称点B的坐标为〔3,0〕,
设抛物线的表达式为y=a〔x﹣3〕〔x+1〕,
将点C〔0,﹣3〕代入上式得﹣3a=﹣3,
解得:
a=1,
∴抛物线的解析式为y=〔x﹣3〕〔x+1〕=x2﹣2x﹣3;
〔2〕∵点B〔3,0〕、C〔0,﹣3〕,
如此BC=3,
∴S△BCD=×3×=3,
设D〔x,x2﹣2x﹣3〕,连接OD,
∴S△BCD=S△OCD+S△BOD﹣S△BOC
=•3•x+•3•〔﹣x2+2x+3〕﹣×3×3
==3,
解得x=1或x=2,
如此点D的坐标为〔1,﹣4〕或〔2,﹣3〕;
〔3〕设直线AE解析式为y=kx+b,
将点A〔﹣1,0〕、E〔0,﹣〕代入得:
,
解得:
,
如此直线AE解析式为y=﹣x﹣,
AE==,
设P〔t,t2﹣2t﹣3〕,如此M〔t,﹣t﹣〕,
∴PM=﹣t﹣﹣〔t2﹣2t﹣3〕=﹣t2+t+,
作PG⊥MN于G,由PM=PN得MG=NG=MN,
由△PMG∽△AEO得=,即=,
∴MG=PM=NG,
∴C△PMN=PM+PN+MN=PM=〔﹣t2+t+〕=﹣t2++6=﹣〔t﹣〕2+,
∴当t=时,C△PMN取得最大值,此时P〔,﹣〕.
5.:
如图,直线y=﹣x+2与x轴交于B点,与y轴交于C点,A点坐标为〔﹣1,0〕.
〔1〕求过A、B、C三点的抛物线的解析式.
〔2〕在直线BC上方的抛物线上有一点D,过D作DE⊥BC于E,作DF∥y轴交BC于F,求△DEF周长的最大值.
〔3〕在满足第②问的条件下,在线段BD上是否存在一点P,使∠DFP=∠DBC.假如存在,求出点P的坐标;假如不存在,说明理由.
【解答】解:
〔1〕直线y=﹣x+2与x轴交于B〔2,0〕,与y轴交于C点〔0,2〕,
设过A、B、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
把A〔﹣1,0〕、B〔2,0〕、C〔0,2〕的坐标代入,
∴a=﹣1,b=1,c=2,
∴抛物线的解析式为:
y=﹣x2+x+2,
〔2〕设D〔x,﹣x2+x+2〕,F〔x,﹣x+2〕,
∴DF=〔﹣x2+x+2〕﹣〔﹣x+2〕=﹣x2+2x,
所以x=1时,DF最大=1,
∵OB=OC,
∴△OBC为等腰直角三角形,
∵DE⊥BC,DF∥y轴,
∴△DEF为等腰直角三角形,
∴△DEF周长的最大值为1+
〔3〕如图,
当△DEF周长最大时,D〔1,2〕,F〔1,1〕.延长DF交x轴于H,作PM⊥DF于M,
如此DB=,DH=2,OH=1
当∠DFP=∠DBC时,△DFP∽△DBF,
∴,
∴DP=,
∴=,
∴PM=,DM=,
∴P点的横坐标为OH+PM=1+=,
P点的纵坐标为DH﹣DM=2﹣=,
∴P〔,〕.
6.如图,抛物线y=﹣x2+〔m﹣1〕x+m〔m>1〕与x轴交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕,与y轴交于点C〔0,3〕.
〔1〕求抛物线的解析式;
〔2〕点D和点C关于抛物线的对称轴对称,点你F在直线AD上方的抛物线上,FG⊥AD于G,FH∥x轴交直线AD于H,求△FGH的周长的最大值;
〔3〕点M是抛物线的顶点,直线l垂直于直线AM,与坐标轴交于P、Q两点,点R在抛物线的对称轴上,使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形,求直线l的解析式.
【解答】解:
〔1〕把C〔0,3〕代入y=﹣x2+〔m﹣1〕x+m得m=3,
∴抛物线的解析式为:
y=﹣x2+2x+3,
〔2〕令y=﹣x2+2x+3=0,解得:
x1=﹣1,x2=3,∴A〔﹣1,0〕,B〔3,0〕,C〔0,3〕,
∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称,
∴D〔1,2〕,AD的解析式y=x+1,设AD与y轴交于E,
∴OA=OE=1,
∴∠EAO=45°,
∵FH∥AB,
∴∠FHA=∠EAO=45°,
∵FG⊥AH,
∴△FGH是等腰直角三角形,
设点F坐标〔m,﹣m2+2m+3〕,
∴点H坐标〔﹣m2+2m+2,﹣m2+2m+3〕,
∴FH=﹣m2+m+2,
∴△FGH的周长=〔﹣m2+m+2〕+2×〔﹣m2+m+2〕=﹣〔1+〕〔m﹣〕2+
∴△FGH的周长最大值为;
〔3〕∵抛物线y=﹣x2+2x+3的定点坐标为〔1,4〕,
∴直线AM的解析式为y=2x+2,
∵直线l垂直于直线AM,
∴设直线l的解析式为y=﹣x+b,
∵与坐标轴交于P、Q两点,
∴直线l的解析式为y=﹣x+b与y轴的交点P〔0,b〕,与x轴的交点Q〔2b,0〕,
设R〔1,a〕,
∴PR2=〔﹣1〕2+〔a﹣b〕2,QR2=〔2b﹣1〕2+a2,PQ2=b2+〔2b〕2=5b2,
∵△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形,
∴PR2=QR2,即〔﹣1〕2+〔a﹣b〕2=QR2=〔2b﹣1〕2+a2,
∴﹣2a=3b﹣4,①
∴PR2+QR2=PQ2,
即〔﹣1〕2+〔a﹣b〕2+〔2b﹣1〕2+a2=5b2,
∴2a2﹣2ab﹣4b+2=0,②
联立①②解得:
,,
∴直线l的解析式为y=﹣x+或y=﹣x+2.
7.如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与坐标轴交于A,B,C三点,抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对称.
〔1〕直接写出点D的坐标和直线AD的解析式;
〔2〕点E是抛物线上位于直线AD上方的动点,过点E分别作EF∥x轴,EG∥y轴并交直线AD于点F、G,求△EFG周长的最大值;
〔3〕假如点P为y轴上的动点,如此在抛物线上是否存在点Q,使得以A,D,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?
假如存在,请求出点Q的坐标,假如不存在,请说明理由.
【解答】解:
〔1〕将x=0代入得y=3,
∴C〔0,3〕.
∵抛物线的对称轴为x=﹣=1,C〔0,3〕,
∴D〔2,3〕.
把y=0代入抛物线的解析式得:
0=﹣x2+2x+3,解得x=3或x=﹣1,
∴A〔﹣1,0〕.
设直线AD的解析式为y=kx+b,将点A和点D的坐标代入得:
,解得:
k=1,b=1,
∴直线AD的解析式为y=x+1.
〔2〕如图1所示:
∵直线AD的解析式为y=x+1,
∴∠DAB=45°.
∵EF∥x轴,EG∥y轴,
∴∠GEF=90°,∠GFE=∠DAB=45°
∴△EFG是等腰直角三角形.
∴△EFG的周长=EF+FG+EG=〔2+〕EG.
依题意,设E〔t,﹣t2+2t+3〕,如此G〔t,t+1〕.
∴EG=﹣t2+2t+3﹣〔t+1〕=﹣〔t﹣〕2+.
∴EG的最大值为.
∴△EFG的周长的最大值为+.
〔3〕存在.
①以AD为平行四边形的边时,PQ∥AD,PQ=AD.
∵A,D两点间的水平距离为3,
∴P,Q两点间的水平距离也为3.
∴点Q的横坐标为3或﹣3.
将x=3和x=﹣3分别代入y=﹣x2+2x+3得y=0或y=﹣12.
∴Q〔3,0〕或〔﹣3,﹣12〕.
②当AD为平行四边形的对角线时,设AD的中点为M,
∵A〔﹣1,0〕,D〔2,3〕,M为AD的中点,
∴M〔,〕.
设点Q的横坐标为x,如此=,解得x=1,
∴点Q的横坐标为1.
将x=1代入y=﹣x2+2x+3得y=4.
∴这时点Q的坐标为〔1,4〕.
综上所述,当点Q的坐标为Q〔3,0〕或〔﹣3,﹣12〕或〔1,4〕时,以A,D,P,Q为顶点的四边形是平行四边形.
8.如图,抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴相交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕,交y轴与点D,点C〔0,〕,连接AC.
〔1〕求直线AC的解析式;
〔2〕点P是直线AC上方的抛物线上一动点,过点P作PE∥y轴,交直线AC于点E,过点P作PG⊥AC,垂足为G,当△PEG周长最大时,在x轴上存在一点Q,使|QP﹣QC|的值最大,请求出这个最大值以与点P的坐标;
〔3〕当〔2〕题中|QP﹣QG|取得最大值时,直线PG交y轴于点M,把抛物线沿直线AD平移,平移后的抛物线y′与直线AD相交的一个交点为A′,在平移的过程中,是否存在点A′,使得点A′,P,M三点构成的三角形为等腰三角形,假如存在,直接写出点A′的坐标;假如不存在,请说明理由.
【解答】解:
〔1〕令y=0如此,﹣x2﹣x+3=0,解得x=﹣3或x=2,
∴A〔﹣3,0〕,B〔2,0〕.
设直线AC的解析式为y=kx+b,将点A和点C的坐标代入得:
,
解得:
k=,b=,
∴直线AC的解析式为y=x+.
〔2〕延长PE交OA与点F,如此PF⊥OA.
∵PF⊥OA,PG⊥AC,
∴∠EFA=∠PGE.
又∵∠PEG=∠FEA,
∴∠EAF=∠EPG.
∵OC=,AO=3,
∴tan∠GPE=tan∠EAF=.
∴sin∠GPE=,cos∠GPE=.
∴PG=PE,EG=EP.
∴△PEG的周长=PE+PG+EG=〔1+〕PE.
∴当PE取得最大值时,△PEC的周长最大.
设点P的坐标为〔t,﹣t2﹣t+3〕
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