第一部分第1章11集合的含义及其表示.docx

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第一部分第1章11集合的含义及其表示

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7

/〃〃/4〃〃/

集合的概念

观察下面的语句:

（1）所有小于10的自然数;

⑵高一⑵班的所有帅哥;

⑶20U年〜2012赛季所有参加CBA联赛的球队;

⑷方程0—1=0的所有实数根;

⑸我们班的高个子同学.

问题1:

以上各语句中所要研究的对象分别是什么？

分别为自然数，帅哥，球队，实数根和高个子同学.

问题2：

哪几个语句中的对象不能确定？

为什么？

（2）、（5）中对象不能确定.因为帅哥和高个子没有明确的划分标准•

问题3：

你能指出第

（1）、（4）中的确切的对象吗？

（1）中：

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9・

（4）中：

1,-1.

集合的定义：

一般地，一定范围内某些.

对象的全体构成一个集合,集合中的

称为该集合的元素,简称元.

HSflU产枚*SSiEHSB

〃〃〃4njgi蒋/〃〃

已知英文字母分元音字母和辅音字母.

问题1：

记元音字母组成的集合为A,辅音字母构成的集合为B,那么字母O与字母G与4、B关系怎样？

字母O是集合A的元素，不是集合〃的元素.字母G是集合〃的元素，不是集合A的元素.

问题2：

能否存在某个字母，它既是4的元素，又是集合〃的元素？

没有.

〃〃〃热初I無〃〃〃

关系

定义

记法

读法

属于

a是集合A的元素

“属于A

不属于

«不是集合A的元素

a曲或aWA

a不属于A

问题上述五个集合中的元素能分别一一列举出来吗？

（1）、

（2）、（5）中元素可以列举出来，（3）、⑷

中元素不能一一列举，因为它们中的元素有无穷多个.

问题2：

设（3）、（4）中元素为X,请用等式（或不等式）分别将它们的特征表示出来.

（3）中元素xM5,（4）中元素兀=2川，

问题3：

（2）、（5）中的两个集合有什么关系，如何表

示呢?

（2）、（5）中两个集合（分别记为集合4、⑵的元

素完全相同，所以是相等集合，可表示为人=〃・

//////Q解么%

1.

列举法

描述法

将集合的元素出来,并置于花括号

“｛汀内，元素之间用逗号分隔，用这样表示集合的方法称为列举法将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，形式，用这样表示集合的方法称为描述法

如果两个集合所含的元素（即A中的元素都是

B的元素，B中的元素也都是4的元素），那么称这两个集合

相等•

知识点四

集合的分类

〃〃/74Q答屛〃〃/

考察下列集合:

⑴方程0—4=0的解组成的集合;

⑵不等式x>3的解组成的集合;

⑶方程0=—1的解组成的集合.

问题1:

集合

（1）中有几个元素?

提示：

两个，分别是2和一2・

问题2：

集合

（2）中的元素能数得尽吗?

数不尽.即集合中的元素有无限个.

问题3：

集合（3）中的元素是什么？

集合（3）中没有元素.

有限集

含有有限个元素的集合

无限集

含有无限个元素的集合

空集

不含任何元素的集合，记作0

［归纳-升华-领悟］、

1.集合是具有共同的特征（或属性）的对象组合而成，且这个特征（或属性）有确定的划分标准・

2.集合与元素间的关系是用符号“e，，或表示的，是集合中的元素，必须是确定的，对于集合A与元素4,要么aeA,要么zzM,二者必居其一.集合中的元素是不同的，任何两个相同的对象在同一集合中，只能算作一个元素.

3.列举法和描述法是表示集合的两种常用方法.列举法表示集合直观明了，可以明确知道集合中具体的元素及元素个数，但当元素个数无限时，多用描述法.

9S9U产权*拿SIEtt&C

考点一

集合的概念

判断下列每组对象能否构成一个集合:

1高一

（1）班成绩较好的同学;

22012年度诺贝尔文学奖获得者;

3立方接近于零的正数;

42012年奥运会所有比赛项目；

©1,23,2.

解答本题可根据集合的意义，考虑每组对象是否具有明确的标准，是否互异，这是判断它们能否构成集合的依据・

②④中的对象都是确定的，而且是不同的，因而能构成集合；

①中“成绩较好"的标准不明确，不能构成集合；

③中“接近零”的标准不明确，不能构成集合；

5中含有两个2,不满足互异性，不能构成集合.

判断某些对象能否组成集合，关键看这些

对象是否具有集合中元素的确定性，互异性特征，若具有则可以组成集合，否则就不能组成集合.

〃〃//腿値集^//////

1.下列各组对象：

①接近于0的数的全体；②比较小的

正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体;

④正三角形的全体；⑤的返似值的全体.

接近于0的数”，“比校小的正整数”对象不明确，即元素不确定，所以①②不能构成集合；同样，“述的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数是不是

它的近似值，所以⑤也不能构成集合；③④能构成集合.③④

2.判断下列说法是否正确，并说明理由.

（1）某个单位里的年轻人组成一个集合.

i这些数组成的集合有五个元素.

个集合•

（1）不正确.因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能作为元素来组成集合.

（2）不正确.对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的,

即集合中的任何两个元素都是不同的，故这个集合是由三个元素组成的.

（3）正确.集合中的元素相同，只是次序不同，它们都表示同

一个集合.

已知集合4=也一2,加2+5仪,12},且一3eA,

由一3eA,得一3=4—2或一3=

2a^+5a,求出a后再进行验证.

由一3UA,则一3=a—2或一3=2a^+5a,

/.a=—1或《=—号.

当《=—1时，a—2=—3,2a^+5a=—3,

“=—号时，a—2=—孑工一3H12,故《=—号.

根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验，此类问题常因忽略检验而错解，在运用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的应用.

//////^值4^//////

3・集合卩={1,/M,加2—3加一1},若3ep且一1GP,贝IJ实数加的值为・

V3ep且一1GP・・・・当加=3时，P={1,3,-1},与一IGP矛盾.当zn^—3/71—1=3时，加=4或/zi=—1（舍去），此时P={1,4,3}・符合题意.・・・加=4・

4

4.已知2丘{1,0,X},求实数V的值.

若2=0,贝吐=0,此时集合为{1,0,0},不符合集合中元素的互异性，舍去；

若兀2=1,贝収=±1,当x=l时，集合为{1,0,1},舍去；

当x=-l时，集合为{1,0,-1},符合条件；

若兀2=兀，贝吐=0或x=l,由上可知，兀=0和X=1都舍去.综上所述，X=—1.

考点

集合的表示方法

用适当的方法表示下列集合.

（1）〃=

（2）方程卫+'2_4工+创+13=0的解集;

（3）平面直角坐标系中所有第二象限的点.

先弄清集合中的元素是数.点，还是

其它对象，是有限个还是无限个，然后再选择适当方

法表示•

且wGN,•••1+"=1，2,3,6・

1十X

.".x=0,l,2,5,S叮;-=6,3,2丄

{632,1}•

（2）方程*2+/-4x+6j+13=0可化为

（x-2）2+©+3）2=0,

x=2,

1

•:

方程的解集可表示为{（2,-3）}.

⑶{（心y）\x<0且>>0}.

（1）用列举法时要注意元素的不重不漏，不计次序，且

元素与元素之间用“，”隔开.

（2）用描述法表示集合时，常用的模式是｛KlpWb其中

工代表集合中的元素，P（切为集合中元素所具备的共同特

征.要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确.

么么0&值集衬么％

5.选择适当的方法表示下列集合:

（1妙2_1的一次因式组成的集合;

（2）-\AcIcoinetoBEjhig”中的所有字母组成的集合;

III

（3）以A为圆心，r为半径的圆上的所有点组成的集合.

SK9IlRF（2*$SiEHaa

（l）{x+l,X-1}；

（2）{W,e,hc,o,m,t,B,i,j,n,g}；

（3）{PIIE4l=r}.

6.用描述法表示下列集合:

（1）正偶数集;

⑵使7=兀2+；_6有意义的实数X的集合;

（3）坐标平面内第一.三象限角平分线上的点的集合;

⑷方程/+（加+2）x+/n—l=O（wGR）的解集.

（1）正偶数集可表示为{xlx-2«,«eN*}.

⑵要使y有意义，必须使分母不为0,即工+*-6工0,可得兀工2且xH-3,故集合可表示为{xlx€R,兀工2,xH-3}・⑶第一、三象限的角平分线应是直线y=x,故集合为{（X,y）\y=x,X€R,y€R}.

（4）{xlx^+（w+2）x+/M-1=0,X€R,mCR}.

集合相等

考点四

已知集合/1={兀，xy,x—y］,〃={0,Ixl,y］,且A=B,求尤与y的值.

解答本题可考虑利用集合相等的定义来解.即元素完全相同，还要注意集合中元素的互异性.

voez?

A=fi,AOeA.

若兀=0,贝ljA={0,0,—y}不成立，

/.x/0.

尊SflU产枚*$SiEH品^

又•••只能X—y=（L--x=j.

从而4={0,X,x2},〃={0,Lrl,x}.

/.x2=lxl..•・x=O或x=1或x=—1.

经验证x=0,x=l均不合题意，

-*-x=—1,BPx=—1,y=—1适合.

（1）判断两个集合相等的依据是两集合的元素必须完全相同.

（2）

灵活运用元素的互异性是解好本题的关键.

/〃//集利％

7,设4、占WR,集合{1,a+b,a}与{0,号，方}相等，贝Ijb—a=

*-*{!

»a+b,4}与{0,2，方}相等,

又aHO,.\a+b=0,•••夕=~1-

.••{1,a+hja}={1,0,a},{0,h}={0,-1,h}.

从而a■-1,Z>=1,-«=!

-（-!

）=2.

2

■>

8.数^X={xlx=2/i+l,«WZ},Y=[y\y=4k±i,的关系是・

・・•若畀为奇数，可设«=2*-l（*ez）.贝iJx=4A：

—1,

若刃为偶数，可设n=2k（kEZ）,贝lJx=4A:

+l.

・・・X=Y・

X=Y

［方法-规律-小结］

1.集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征

（1）确定性：

对于一个给定的集合，任何一个对象或者是这个集合的元素，或者不是这个集合的元素，两者必居其一.也就是说，某个对象是不是该集合中的元素，必须有一个明确的判断标准，这是集合最基本的特征.

（2）互异性：

集合中的任何两个元素都是能区分的（即

互不相同），相同的对象归入任何一个集合时，只能算作

这个集合的一个元素.

（3）无序性：

在一个集合中，通常不考虑元素之间的

顺序，也就是说，{a,b,c}={b,c,a}.

2.集合常用的表示方法是列举法和描述法

（1）一般情况下，对有限集，元素不太多的情况下，宜

釆用列举法，应注意：

①元素间用“，”分隔；②集合中元素必须满足三个特性；③若元素个数较多或无限个且构成集合的这些元素有明显规律，也可用列举法，但必须把元素规律显示清楚后才能用省略号.

（2）对无限集，一般釆用描述法.它的优点是形式简

洁，能充分体现集合中元素的特征，但应注意六点：

①写清楚集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质;

③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且S“或⑤所有描述的内容都要写在括号内;

⑥用于描述的语句要力求简明、确切.

3.解集合问题的关键是：

弄清集合是由哪些元素构

成的，即将抽象的问题形象化、具体化，将描述法表示的集合用列举法表示，或用图示法来表示抽象的集合,或用图形表示集合，如用数轴表示数集，用平面直角坐标系中的图形表示相关的集合.