平面几何中的向量方法印.docx
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平面几何中的向量方法印.docx
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平面几何中的向量方法印
2.5.1平面几何中的向量方法
教学目标:
1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”;
2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.;
3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.
教学重点:
用向量方法解决实际问题的基本方法:
向量法解决几何问题的“三步曲”.
教学难点:
如何将几何等实际问题化归为向量问题.
教学方法:
讲练结合
教学过程:
一、复习引入:
1.两个向量的数量积:
2.平面两向量数量积的坐标表示:
3.向量平行与垂直的判定:
4.平面内两点间的距离公式:
5.求模:
练习
教材P.106练习第1、2、3题.;教材P.107练习第1、2题.
二、讲解新课:
例1.已知AC为⊙O的一条直径,∠ABC为圆周角.求证:
∠ABC=90o.
证明:
设
例2.如图,AD,BE,CF是△ABC的三条高.求证:
AD,BE,CF相交于一点.
例3.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图,
你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗?
思考1:
如果不用向量方法,你能证明上述结论吗?
思考2:
运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤?
“三步曲”:
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
例4.如图,□ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗?
课堂小结
用向量方法解决平面几何的“三步曲”:
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
课后作业
1.P113习题2.5A2
教学反思:
2.5.2向量在物理中的应用举例
教学目标:
1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识;
2.通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力,体会数学在现实生活中的作用.
教学重点:
运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算.
教学难点:
将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.
教学方法:
讲练结合
教学过程:
一、复习引入:
1.你能掌握物理中的哪些矢量?
向量运算的三角形法则与四边形法则是什么?
二、讲解新课:
例1.在日常生活中,你是否有这样的经验:
两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种形象吗?
探究1:
(1)为何值时,|
|最小,最小值是多少?
(2)|
|能等于||吗?
为什么?
探究2:
你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗?
(1)问题的转化:
把物理问题转化为数学问题;
(2)模型的建立:
建立以向量为主体的数学模型;
(3)参数的获得:
求出数学模型的有关解——理论参数值;
(4)问题的答案:
回到问题的初始状态,解决相关物理现象.
例2.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=500m,一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度|
|=10km/h,水流速度|
|=2km/h,问行驶航程最短时,所用时间是多少(精确到0.1min)?
思考:
1.“行驶最短航程”是什么意思?
2.怎样才能使航程最短?
三、课堂小结
向量解决物理问题的一般步骤:
(1)问题的转化:
把物理问题转化为数学问题;
(2)模型的建立:
建立以向量为主体的数学模型;
(3)参数的获得:
求出数学模型的有关解——理论参数值;
(4)问题的答案:
回到问题的初始状态,解决相关物理现象.
四、课后作业
1.P113习题2.5A3
教学反思:
复习课
教学目标
1.理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2.了解平面向量基本定理.
3.向量的加法的平行四边形法则(共起点)和三角形法则(首尾相接)。
4.了解向量形式的三角形不等式:
|||-||≤|±|≤||+||(试问:
取等号的条件是什么?
)和向量形式的平行四边形定理:
2(||+||)=|-|+|+|.
5.了解实数与向量的乘法(即数乘的意义):
6.向量的坐标概念和坐标表示法
7.向量的坐标运算(加.减.实数和向量的乘法.数量积)
8.数量积(点乘或内积)的概念,·=||||cos=xx+yy注意区别“实数与向量的乘法;向量与向量的乘法”
知识与方法
向量知识,向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用,而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体,能与中学数学教学内容的许多主干知识综合,形成知识交汇点,所以高考中应引起足够的重视.数量积的主要应用:
①求模长;②求夹角;③判垂直
典型例题
例1.对于任意非零向量与,求证:
|||-|||≤|±|≤||+||
证明:
(1)两个非零向量与不共线时,+的方向与,的方向都不同,并且||-||<|±|<||+||
(3)两个非零向量与共线时,①与同向,则+的方向与.相同且|+|=||+||.②与异向时,则+的方向与模较大的向量方向相同,设||>||,则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。
例2已知O为△ABC内部一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设
=,
=,
=,
且||=2,||=1,||=3,用与表示
解:
如图建立平面直角坐标系xoy,其中,
是单位正交基底向量,则B(0,1),C(-3,0),设A(x,y),则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°),即A(1,-),也就是=-
=
,=-3所以-3=3+|即=3-3
例3.下面5个命题:
①|·|=||·||②(·)=·③⊥(-),则·=·④·=0,则|+|=|-|⑤·=0,则=或=,其中真命题是()
A①②⑤B③④C①③D②④⑤
巩固训练
1.下面5个命题中正确的有()
①=·=·;②·=·=;③·(+)=·+·;④·(·)=(·)·;⑤
.
A..①②⑤B.①③⑤C.②③④D.①③
2.下列命题中,正确命题的个数为(A)
①若与是非零向量,且与共线时,则与必与或中之一方向相同;②若为单位向量,且∥则=||③··=||④若与共线,与共线,则与共线;⑤若平面内四点A.B.C.D,必有
+
=
+
A1B2C3D4
3.下列5个命题中正确的是
①对于实数p,q和向量,若p=q则p=q②对于向量与,若||=||则=③对于两个单位向量与,若|+|=2则=④对于两个单位向量与,若k=,则=
4.已知四边形ABCD的顶点分别为A(2,1),B(5,4),C(2,7),D(-1,4),求证:
四边形ABCD为正方形。
3.1.1两角差的余弦公式
教学目标
掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用,使学生初步理解公式的结构及其功能,为建立其它和(差)公式打好基础.
教学重点:
通过探索得到两角差的余弦公式;
教学难点:
探索过程的组织和适当引导,这里不仅有学习积极性的问题,还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题,运用已学知识和方法的能力问题.
教学方法:
讲练结合
教学过程:
(一)导入:
问题1:
我们在初中时就知道
,
,由此我们能否得到
大家可以猜想,是不是等于
呢?
根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的!
下面我们就一起探讨两角差的余弦公式
(二)探讨过程:
在第一章三角函数的学习当中我们知道,在设角的终边与单位圆的交点为,
等于角与单位圆交点的横坐标,也可以用角的余弦线来表示。
思考1:
怎样构造角和角
?
(注意:
要与它们的正弦线、余弦线联系起来.)
思考2:
我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题,两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明?
(1)结合图形,明确应该选择哪几个向量,它们是怎样表示的?
(2)怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果?
两角差的余弦公式:
(三)例题讲解
例1、利用差角余弦公式求
的值.
解:
分析:
把构造成两个特殊角的差.
点评:
把一个具体角构造成两个角的差形式,有很多种构造方法,例如:
,要学会灵活运用.
例2、已知
,
是第三象限角,求
的值.
解:
因为
,
由此得
又因为
是第三象限角,所以
所以
点评:
注意角、的象限,也就是符号问题.
思考:
本题中没有
,该如何分析呢?
(四)练习:
1.不查表计算下列各式的值:
解:
2.教材P127练习1、2、3、4题
(五)小结:
两角差的余弦公式,首先要认识公式结构的特征,了解公式的推导过程,在解题过程中注意角、的象限,也就是符号问题,学会灵活运用.
(1)牢记公式
(2)在“给值求值”题型中,要能灵活处理已、未知关系.
(六)作业:
P127练习1、2、3、4题
教学反思:
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(一)
教学目标
理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的方法,体会三角恒等变换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用.
教学重点:
两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用;
教学难点:
两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.
教学方法:
讲练结合
教学过程:
(一)复习式导入:
(1)大家首先回顾一下两角差的余弦公式:
.
(2)
?
(二)新课讲授
问题:
由两角差的余弦公式,怎样得到两角差的正弦公式呢?
探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.
.
探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征,并思考两角和与差正切公式.(学生动手)
.
探究3、我们能否推倒出两角差的正切公式呢?
探究4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有
、
的形式呢?
(分式分子、分母同时除以
,得到
.
注意:
5、将
、
、
称为和角公式,
、
、
称为差角公式。
(三)例题讲解
例1、已知
是第四象限角,求
的值.
解:
因为
是第四象限角,得
,
,
于是有:
思考:
在本题中,
,那么对任意角,此等式成立吗?
若成立你能否证明?
练习:
教材P131面1、2、3、4题
例2、利用和(差)角公式计算下列各式的值:
(1)、
;
(2)、
;(3)、
.
解:
(1)、
;
(2)、
;
(3)、
.
练习:
教材P131面5题
(四)小结:
本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式,我们要熟记公式,学会灵活运用.
(五)作业:
P137习题3.1A6、7、8
教学反思:
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(二)
教学目标
1、理解两角和与差的余弦、正弦和正切公式,体会三角恒等变换特点的过程;
2、掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及
类型的变换。
教学重点:
两角和、差
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- 平面几何 中的 向量 方法